【精选】全等三角形专题练习(解析版)

1、一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1.（1）已知aABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且NDEC=N DCE,若NA等于60 （如图）.求证：EB=AD ；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件 不变（如图），（1）的结论是否成立，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DFBC交AC于F,由平行线的性质得出NADF=NABC, NAFD二NACB, NFDC=NDCE,证明aABC是等边三角形，得出NABC=NACB=60 ,证出AADF是等边三角 形,ZDFC=12

2、0 ,得出AD二DF,由已知条件得出/FDC二NDEC, ED=CD,由AAS证明 DBEACFD,得出EB二DF,即可得出结论：（2）作DFBC交AC的延长线于F,同（1）证出DBEgZCFD,得出EB=DF,即可得出 结论.试题解析：（1）证明：如图，作DFII BC交AC于F, 则4ADF为等边三角形?. AD=DF, XV Z DEC=Z DCB fZ DEC+Z EDB=60 fZ DCB+Z DCF=60 ,Z EDB=Z DCA , DE=CD ,在 DEB和 CDF中，ZEBD = ZDFC = 120,/EDB = /DCF, DE = CD. DEB合 a CDF ,/.

3、BD=DF , BE=AD .(2). EB=AD 成立:理由如下：作DFBC交AC的延长线于F,如图所示：同(1)得：AD=DF, NFDONECD, NFDONDEC, ED=CD,又 YNDBE= NDFC=60, AADBEACFD (AAS),AEB=DF,AEB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定 与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知 识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2.已知0P平分NAOB, NDCE的顶点C在射线0P上，射线CD交射线0A于点F,射线 CE交射线

4、0B于点G.(1)如图1，若CDJ_OA, CEOB,请直接写出线段CF与CG的数量关系：(2)如图2,若NAOB=120。，ZDCE=ZAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理 由.【答案】(1) CF=CG； (2) CF=CG,见解析【解析】【分析】结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.结论：CF=CG,作CM_LOA于M, CN_LOB于N,证明CMFZCNG,利用全等三角形 的性质即可解决问题.【详解】解：(1)结论：CF=CG；证明：:0P 平分NAOB. CF_LOA, CGOB,/.CF=CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2） CF=CG.理由如下:如

5、图,过点 C 作 CM_LOA, CNJ_OB,二OP 平分NAOB, CMOA, CN1OB, NAOB=120&,.-.CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），AZAOC=ZBOC=605 （角平分线的性质），VZDCE=ZAOC,，ZAOC= Z BOC= Z DCE=605,，NMCO=909-60& =305, NNCO=90&-60& 二30。，NMCN=309+30-60。，NMCN=NDCE,*. ZMCF=ZMCN-ZDCN, NNCG=NDCE-NDCN,AZMCF=ZNCG,在2MCF 和aNCG 中，ACMF = 4CNGCM = CNZMCF = ZNCG.

6、,.MCFANCG （ASA）,.CF=CG （全等三角形对应边相等）：【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握 角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等.3. （1）如图（1）,已知：在 ABC 中，Z BAC=90, AB=AC,直线 m 经过点 A, BD_L1； 线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在 ABC中，AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=。，其中。为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立，

7、请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3） , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为N BAC平分线上的一点，且 ABF和 ACF均为等边三角形，连接 BD、CE,若N BDA=N AEC=N BAC,试判断 DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) DEF为等边三角形【解析】解：(1)证明：. BD，直线 m, CEJL直线 m,N BDA=N CEA=900.Z BAC=90, /. Z BAD+Z CAE=90.Z BAD+Z ABD=90, /. Z CAE=Z ABD.又 AB二“ AC”，ADB 合 CEA

8、 (AAS) . /. AE=BDt AD=CE.DE=,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证明如下： Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD +Z CAE=180- . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=。,AB=AC, AD於 CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE=AE+AD=BD+CE.(3) DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知， ADB合么 CEA, BD=AE, NDBANCAE, .e a ABF 和 ACF 均为等边三角形，Z ABF=Z CAF=60. . Z DBA+Z ABF=Z CA

9、E+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF, /. DBF合 EAF (AAS). /. DF=EF, Z BFD=Z AFE. , Z DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60. . DEF为等边三角形.(1)因为DE=DA+AE,故由AAS证 ADB合 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得 DE=BD+CE.(2)成立，仍然通过证明 ADB合口 CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由 ADB2 CEA得BD=AE, NDBA=NCAE,由 ABF和 ACF均等边三角形，得Z ABF=Z CAF=60

10、% FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以 DBFW EAF,所以 FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60 得到 DEF是等边三角形.4.如图，ABC中，。是8c的中点，过。点的直线GF交4C于E交AC的平行线BG于 G点,DE1DF，交48于点,连结EG、EF.(1)求证：BG=CF；(2)请你判断8E+CF与斤的大小关系，并说明理由.A【答案】(1)详见解析；(2) 8E+CFAEF,证明详见解析【解析】【分析】(1)先利用 ASA HaBGD=a CFD,从而得出

11、 BG=CF；(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE_LGF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三 边从而得出BE+CFEF.【详解】解：(1) ：BG/AC.：.ZDBG=ZDCF.为8c的中点，：.BD=CD又 *： NBDG=/CDF,在8G。与CFD中，4DBG = ZDCFbd = cdNBDG = ZCDF,.BGDgACFD (ASA).：.BG=CF.(2) BE+CFEF.,: BGDWMFD,，GO=FD. BG=CF.又OE_LFG,.EG=F (垂直平分线到线段端点的距离相等).，在 AEBG 中，8E+BGEG,即 BE+CFEF.【点睛】本题考查了三角形全等的

12、判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：sss、SAS、A AS. ASA、HL.5.如图1,在等边ABC中，E、D两点分别在边48、8c上，BE=CD, AD. CE相交于点(1)AABDCBD C 图1求N4FE的度数： 过点4作AH_LCE于H,求证：2FH+FD=CE；2PF(3)如图2,延长CE至点P,连接BP, Z8PC=30%且CF=CP,求k的值.9AF （提示：可以过点人作N必仁60。，AK交PC于点、K,连接K8）【答案】（。乙4FE=60； （2）见解析；（3）;【解析】 【分析】 （I）通过证明氏% /C4。得到对应角相等，等量代换推导出NAFE = 60。：（2

13、）由（1）得到N4FE = 60。，CE = AD则在用族 中利用30所对的直角边等 于斜边的一半，等量代换可得：（3）通过在上取一点K使得KF=AF,作辅助线证明aABK和“lb 全等，利用对应边 相等，等量代换得到比值.（通过将ACF顺时针旋转60也是一种思路.）【详解】（1）解：如图1中.图1ABC为等边三角形,：.AC=BC, ZBAC= ZABC= ZACB=60 9在BCE和CAO中，BE = CD ZCBE = ZACD = 60 , BC = CA：.aBCE 0 aCAD (SAS), ：.ZBCE=ZDAC. ZBCE+ZACE=60：.ZDACZACE=60：.ZAFE=

14、60(2)证明:如图1中，9： AHI EC,：.ZAHF=90在 RtZAFH 中，V ZAFH=60c9：.ZFAH=30:.AF=2FH, aEBC 9 OCA,：.EC=AD. ：AD=AF+DF=2FH+DF,：.2FHWF=EC.(3)解：在PF上取一点K使得KF=4F,连接4C BK, ZAFK=60 AF=KF9 AFK为等边三角形,：.ZKAF=609：.ZKAB=ZFAC.在zsABK和Ab中，rAB = AC NKAB = ZACF ,AK = AF： aABK aACF (SA5), BK = CF：.ZAKB=ZAFC=120：.ZBKE=120 - 60=60%ZB

15、PC=30：.NP8K=30,，BK = CF = PK = -CP.9:.PF = CP-CF=LcP,945z AF = KF = CP-(CF + PK) = CP-3cp = -CPLcp.PF _7AF -CP 59【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关 键.6.己知AB = 4cm, AC = BD =攵i .点。在AB L以1cm/s的速度由点A向点8运 动，同时点。在8。上由点3向点。运动，它们运动的时间为/(s).(1)如图，ACAB, BDVAB,若点。的运动速度与点P的运动速度相等，当/ = 1时，ZVIC尸与是否全等，请说

16、明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位 置关系：(2)如图，将图中的 AC_LA8,为改NC45 = N区4 = 60。”，其他条件不变.设点。的运动速度为xcm/s,是否存在实数%,使得4CP与BPQ 全等？若存在，求出相应的工、/的值；若不存在，请说明理由.。不52【答案】(1)全等，PC与PQ垂直：(2)存在，t = 23x = 2【解析】【分析】 (1)利用SAS证得ACPg/BPQ,得出NACP二NBPQ,进一步得出ZAPC+ ZBPQ= ZAPC+ Z ACP = 90。得出结论即可：(2)由ACPg/BPQ,分两种情况：AC=BP, AP=BQ,AOBQ, AP=BP,建立方程

17、组 求得答案即可.【详解】 解：（1）当 t=l 时，AP=BQ=1, BP=AC=3, 又 NA=/B=90,ACP 和BPQ 中, AP = BQOB）时，用等式表示线段之间的数 量关系（直接写出结果，不需要证明）.【答案】（1）证明见解析：证明见解析；（2） BF=AE-CD【解析】【分析】（1）根据等边对等角，求到NB = NC,再由含有60角的等腰三角形是等边三角形得 到AAO尸是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到ZAFB = ZADC = nO0,推出/名48,根据全等三角形的性质即可得出结论； 过点A做AGEF交BC于点G,由ADEF为等边三角形得到DA=D

18、G,再推出AE=GF, 根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG,由（1）可知，AE=GF, DC=BG,再由线段的和差和等 量代换即可得到结论.【详解】（1）证明：:AB = AC:.ZB = ZCDF = DE, ZADB = 60,且 E 与 A 重合，.A0F是等边三角形ZADF = ZAFD = 60:.ZAFB = ZADC = 20Q在AA5尸和中AAFB = ZADCZB = ZCAB = AC .AABFMCDBF = DC如图2,过点A做AGEF交BC于点G,V ZADB=60 DE = DF.,.DEF为等边三角形VAG/EFAZDAG=ZDEF =

19、 60% ZAGD= ZEFD = 60AZDAG=ZAGDA DA=DGADA-DE = DG-DF,即 AE=GF由易证AGBADC，BG = CD，BF = BG + GF=CD+AE（2）如图3,和（1）中相同，过点A做AGEF交BC于点G,图3由（1）可知，AE=GF, DC=BG,:.BF+CD = BF + BG = GF = AE故 BF = AECD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键.8. （1）如图（1）,己知：在2XABC 中，NBAC=90。，AB=AC,直线 m 经过点 A, 8口

20、，直 线m, CE_L直线m,垂足分别为点D、E.求证：DE=BD+CE.（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在ZiABC中，AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上，并且有NBDA=NAEC=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否 成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由.（3）如图（3） , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重 合），点F为NBAC平分线上的一点，且4ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若 ZBDA=ZAEC=ZBAC,求证:aDEF是等边三角形.【答案】（1）见解析：（2）成立，理由见解析；

21、（3）见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE,故通过证504三AAEC，得出DA=EC, AE=BD,从而证得 DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明三AC，得出BD=AE, AD=CE,所以 DE=DA+AE=EC+BD.（3）由三 ZVIEC得 BD=AE, ZBDA=ZAEC , 回/与均等边三角 形，得 NFBA=NFAC=60。，FB=FA,所以 NF3A+ND8A=NFAC+NEAC,即 ZFBD = ZFAB,所以 AEDF 三AEF,所以 FD=FE, ZBFD = ZAFE,再根据 ZBFD+ ZDFA=ZBFA = 60,得 NAFE+NDE4= = 60。，

22、即 NDFE= = 60。，故 DFE是等边三角形.【详解】证明：（1）.8LL直线小,CE_L直线切AZBDA=ZCEA=90 , VZBAC=90（图1）AZBAD+ZCAE=90 , V ZBAD+ZABD=90，NCAE=NABD,又 AB=AC , AAADBACEA，AE=BD, AD=CE, ADE=AE+AD= BD+CENBDA = NBAC=a, A ZDBA+ZBAD=ZBAD +ZCAE=180 aAZDBA=ZCAE, V ZBDA=ZAEC=a, AB=ACt因2）AAADBACEA,，ae=bd, ad=ceA DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，AAD

23、BACEA. BD=AE, ZDBA=ZCAEABF和4ACF均为等边三角形，J ZABF=ZCAF=60D A E（图3）:.NDBA+NABF=NCAE+NCAF, :. ZDBF=ZFAEVBF=AF, AADBFAEAF，DF=EF, ZBFD=ZAFE:.Z DFE= Z DFA+ Z AFE= Z DFA+ Z BFD=60 OEE为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.9.在平而直角坐标系中，点、A (0, 5) , 8 (12, 0),在y轴负半轴上取点,使。4 = EO,作NCEF=NAEB,直线CO交84的延长线于点D.At（1）根据

24、题意，可求得0E=；（2）求证：ADOECO：（3）动点P从E出发沿E-0-8路线运动速度为每秒1个单位，到8点处停止运动：动 点Q从8出发沿8-0-E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动.二者同时开始运 动，都要到达相应的终点才能停止.在某时刻，作PM_LCD于点M, QNJ_C。于点N.问 两动点运动多长时间0PM与OQN全等？717【答案】（1）5； （2）见解析；（3）当两动点运动时间为一、一、10秒时，0PM与 24OQN全等【解析】【分析】（1）根据OA=OE即可解决问题.（2）根据ASA证明三角形全等即可解决问题.（2）设运动的时间为t秒，分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴

25、、x轴上时：当点P、 Q都在y轴上时：当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止 时：列方程即可得到结论.【详解】（1） .4 （0, 5）, /. 0E=0A = 5, 故答案为5.(2)如图1中,图1:oe=oa9 obae.：.BA = BE,/. Z BAO=A BEO,/ Z CEF=NAEB,：.Z CEF=A BAO,：.Z CEO = 4 DAO,在aADO与 ECO中, /CEO = ZDAOOA = OE , ZCOE = ZAOD. ADO & ECO （ASA）.（2）设运动的时间为t秒，当PO = QO时，易证 OPM空 OQN.分三种情况讨论：当

26、点p、Q分别在y轴、X轴上时PO=QO得:5 - t=12 - 3a7解得t=K （秒）， 2当点P、Q都在y轴上时PO=QO得:5 - t=3t- 12,解得t=一（秒），4当点P在x轴上，Q在y轴上时，若二者都没有提前停止，则PO = QO得：t-5=3t- 12,7解得t=一（秒）不合题意：2当点Q运动到点E提前停止时，有L5 = 5,解得t=10 （秒），717综上所述：当两动点运动时间为一、一、10秒时，AOPM与AOQN全等.24【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关 键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题 型.10.综合与实践：我们知道两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你