人教A版高中数学必修5第二章数列2.3等差数列的前n项和教案(6)

1、课题：2.3.2等差数列的前n项和(2)【学习目标】1 .熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式【学习难点】灵活应用求和公式解决最值问题.【授课类型】新授课【学习方法】诱思探究法【学习过程】一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1 .前n项和Sn与an之间的关系对任意数列an, Sn是前n项和，Sn与an的关 系可以表小为an =2 .等差数歹的前n项和公式：s n(a1 +an) s n& +n(n-1)d223,若等差数列an的前n项和公式为Sn= An2+ Bn+ C则 A= , B=,

2、C=.二、新课学习：问题情境1 .如果an是一个等差数列，那么如何求|a n|的前n项和的最值呢？有几种 求法？该怎么求？2 .如果an是一个等差数列，那么|a n|还是等差数列吗？如果不再是等差数 列，如何求|a n|的前n项和？这一节课我们就来解答上面的问题.探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n项和Sn取到最值时序号n的规律.序 号等差数列基本量前n项 和SnSn的最值11,3,5,7,9 ,，a1 = , d .Sn=(Sn)min = , n =25, 3, -1,1,3 ,，a 二 , d =.Sn=(Sn)min = , n =34,2,0, 2, 4,，a 二

3、, d =.Sn=(Sn)max= , n =41, 2, 3, 一4, 一5，a1 = , d .Sn=(Sn)max= , n =通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到， 据此完善下列结论：(1)若ai>0, d<0,则数列的前面若干项为 项(或0),所以将这些项相加 即得Sn的最 值.若ai<0, d>0,则数列的前面若干项为 _项（或0）,所以将这些项相加即得Sn的最_值；特别地，若"0, d>0,则S是Sn的最值;若ai<0, d<0,则Si是Sn 的最 值.例1在等差数列an中，an = 2n14,试

4、用两种方法求该数列前 n项和Sn的 最小值.解方法一 van = 2n-14, . .ai=-12, d= 2.a i<av <a6<& = 0<a8<a9V .当n = 6或n=7时，Sn取到最小值.易求 S7= 42, . （Sn）min =42.方法二 Van = 2n-14, ；ai = 12.n ai + ann=22=n 13n=132 169当 n = 6 或 n= 7 时，S最小，且（Sn）min = 42.小结：在等差数列中，求 Sn的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，则

5、从第1项起到 该项的各项的和为最大（小）.由于S为关于n的二次函数，也可借助二次函数 的图象或性质求解.跟踪训练1在等差数列an中，d=25, S7=S9,求S的最大值.解方法一利用前n项和公式和二次函数性质.,179由 Sv= S9,彳# 25X 17+X(171)d =25X9+2X(9 1)d ,解得 d= 2,所以 S = 25n+n(n 1)( 2) = (n 13)2+169, 由二次函数性质可知，当n=13时，Sn有最大值169.方法二 先求出d= 2,因为& = 25>0,1an = 25-2 n-1 20,n0132'由,得an+1=252n"

6、1I n>12-2所以当n=13时，Sn有最大值.c c “ 13X13-1, c、$3=25X 13+2X( 2) = 169.因此Sn的最大值为169.方法三 由 S17=S9,彳4 ao+a+ a7= 0,W ao+ a7 - a1 + a6= a2+ a5 - a3+ a14,故 a13+ &4 = 0.由方法一知 d= 2<0,又因为 a1>0,所以 a3>0, a14<0,故当n= 13时，Sn有最大值.S3=25X13+13X 13-1X( 2) = 169.因此Sn的最大值为169.例 2 若等差数列an的首项 a1=13, d= 4,记

7、Tn=|a1| +|a?| + |a n| ,求 Tn.解,a1=13, d= - 4,a n = 17 4n.当n<4时，Tn= |a 1| + |a 2| + + |a n| =a+ 出+ + an= na+d = 13n+。"：1 X( 4) =15n2n2;当n5时，Tn= |a1| + |a 2| + + |a n| =(a1 + a2+ a?+ a4)一(a5+ ae + + an)c c c c c13+1 X42=$(Sn S) =23 Sn= 2X2-(15n 2n2) = 56+2n215n.15n2n2, n<4; . Tn='2n215n+

8、56, n>5.小结：等差数列an前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数 列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前 n项的绝对值之和.跟踪训练2已知等差数列an中，记Sn是它的前n项和，若&= 16, 0=24, 求数列|a n|的前n项和Tn.2X12a1 + -2-d=16,解由& = 16, 3 = 24,得 d4解得，a1 = 9, 、d= 2.4a1 + 2d=24.2a1 + d=16,即42a1 + 3d=12.所以等差数列an的通项公式为an=11 2n (n N*).当 n0 5 时，Tn= |a i| + |a 2| + +|a

9、n| =a1 + a2+，+ an Sn= 1 n + 10n.当 n>6 时,Tn= |a i| + |a 2| + + |a n| = a + a2 + + a5 a6 a7 一an 2s5Sn= 2X( 52+10X5) ( n2+10n) = n210n+50,mn2+10n,故=3rn、n210n+5On6 .随堂练习：1 .已知数列an的前n项和& =n2,则an等于(D )2A. nB. nC. 2n+1D. 2n-2.2.数列an为等差数列，它的前n项和为若&=(n+1)2+入，则入的值是(B )A. -2B. -1C. 0D. 1解析 等差数列前n项和S

10、的形式为S=an2+bn,入=- 1.3.设数列an的通项为 an = 2n7(n C N*),则|a ” + |a2| + + |az| =. 解析 |a 1| +|a2| + |a3| + |a?|(一a1) + ( &) + ( a?) + (a 4+ as+ a6 + a7)(a 1 + a2+ a3) + (a 4+ as+ ae+ a7)= (5 31) + (1 +3+5+7) = 5+3+ 1+ 1 + 3+ 5+ 7= 25.4.首项为正数的等差数列，前 n项和为S,且&=S,当n=时，S取到最大值.解析S3 Ss,S 8 4=a4+ as+ a6 + a7+ a8= 5a6=0,a 6= 0.- a 1 >0, - a 1>a2>a3>a4>a5>a6 = 0, a7<0.故当n = 5或6时，S最大.课堂小结：1 .求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nCN*,结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观."an>0