高一数学必修四2.5平面向量应用举例

1、2. 5.1平面几何中的向量方法利用向量解决平面几何问题举例例1.求证：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两5?证明:AD = bAD2= b2 =bAC2=a+b2 =(： + 厉2D5=1" 方卩=(a 方)Ca +2a-b+b向量关系几何化2 2向量运算关系化b+bI AC I2 +TdS l2= l(a +T) = 2(7AD2)所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 焦化为由量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系,

2、如距离、夹角等问题;(3) 把运算结果“翻译”成几何元素。简述：几何问题向量化> 向量运算关系化向量关系几何化例2如图,ABCD点E、F分别是AD、DC边的中点,BK BF分别与AC交于R、T两点,你能发现A& RT、TC之间的关系吗?利用向量 解决平面几何问题举例D FCAB简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化例2.如图，在口4BCD中，点E、F分别是AD、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点乩T两点. 你能发现A乩RT、TC之间的关系吗？ 解：由图可猜想：AR=RT=TC.证明如下：？££l&AB=a,Ab=b,则由 ARIIAC

3、 , b /M ER/EB , A ER = yEB =y(a-byeR. z由向量基本定理得 _l_y =兀=丿=亍X 33 2 一23同理可证：TC = -AC.3于是RT = -AC3故猜想：AR=RT=TC成立.D F CA a B2.5.2向量在物理中的应用举例探究（一）:向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120。角的等长 的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据 力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具 的重力具有什么关系？每根绳子的拉力 是多少？f1+f2+g=o 思考2：两个人共提一个旅行包，或在单 杠上做引体向上运动，根据生活经验， 两只丰臂的夹角大小与庙宛力气的大小 有什么关

4、系？|fJ = |F2I=ion|C10N夹角越大越费力.思考3：假设两只手臂的拉力大小相等, 夹角为6 ，那么IF、|G|.f0之间的 关系如何？./"、2 c os20 e0° , 180° ) |G上述关系表明，若重力G定，则拉力的大小是关于 夹角°的函数并且拉力大小和夹角大小成正比例关系.探究（二）：向量在运动学中的应用思考1:如图，一条河的两岸平行，一艘 船从A处出发到河对岸，已知船在静水中 的速度|vj =10km/h,水流速度|v2 = 2km/h,如果船垂直向对岸驶去，乘么船 的实际速度v的大小是多少？>V| + V2=JVl+V2

5、VJ丿=J104S/ hA思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少：思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短?|vj = 10km/h|v2| = 2km/h与上游河岸的夹角为78. 73° 思考4：如果河的宽度d=500m,那么船 行驶到对岸至少要几分钟？所以 t =x 60 q 3.1(min).I vl a/96卜向量法解决几何问题”的两个角度:Ii非坐标角度和坐标角度例3.如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量证明:(1) PA=EFBEPA±EF&知ii应用1、已知：AD. B

6、E、CF是ABC的三条中 线；求证：AD. BE、CF交于_点.2、已知 &BC的三个顶点4(x1, yl), 8(x2, y2), C(x3, y3),则重心G的坐标为3、用向量法证明：三角形三条高线交于一 点.BDC$知ii应用1、已知：AD. BE、CF是AABC的三条中线; 求证：AD. BE、CF交于一点.证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE.易知 GDEAGAB, de= 所以，BG=BE.CG=CB+BG =CB+2lBE 一 一 L =CB+(-CA-CB) = l_(cS+C4)3*知识应用1、已知：AD. BE、CF是2XABC的三条中线; 求证：AD>

7、BE、CF交于一点.用2、已知ZkABC的三个顶点Ag 力），B（x2,丿2）， C（x3,旳），则重心G的坐标为（心+?“，力+挈必） 解：设原点为O,贝IIOG=OA- AG =OA+ AD=5A + i（AB+AC）=OA + -（ OB-OA+OC-OA）OA+OB+OC3三角形四心的向量表示1-13、用向量法证明：三角形三条高线交于一点.证明：设H是高线BE、CF的交点， 且®AB=a, AC=bf AH=h, 则BH=h-at CH=h-b, BCb-a. 因为丽丄疋乙肓丄簸 所以（h a ） b= （h b ） a =0. 化简得示（7产）=0 入方丄岚. 所以，三角形

8、三条高线交于一点.介AHD CD(1) 若o是AABC所在平面上一点, 则点O是AABC的夕卜心;(2)若G是/XABC所在平面上一点，且满G4+GB+GC=0, 则点G是ABC的重心;三角形四心的向量表示（3）已知O是平面内一定点，A. B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足前=芮+2aS | At + llA&l Lltl 丿则点P的轨迹一定通过AABC的（疋0, +）, 内心；（4）点O是三角形ABC所在平面内的一点, 满足苗 OB=OB OC=OC OA, 则点O是AABC的垂心.例1、已知0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足qpOA+2(AB+AC

9、) 则P点的轨迹一定通过AABC的(C)A外心B内心C重心D垂心点拨：由OP = OA+2(A5+AQ得出 AP=A(AB+AC)由平行四边形法则和共线定理可得AP定 经过 ABC的重心。变式1、已知P是平面上一定点，a5b5c是平面上不 共线的三个点，点0满足 1/一一PO = -PA + PB +3V则0点一定是AABC的（C）A外心B内心C重心D垂心点拨:由心护+略得出 3POPA + PB + PCPO -PA + PO -PB + PO - PC = 6Ad+5d+CO=0故0是4 ABC的重心。变式2、已知0是平面上一定点，A5B5C是平面上不 共线的三个点，动点P满足OP = O

10、A+A()(2 e0, + oo)ABAC=；1；AB sinB AC sinC则P点的轨迹一定通过AABC的（） A外心B内心C重心D垂心OP = OA + A(+>ABsinBACABAC)(2e0, + oo)sinC点拨：在ZkABC中，由正弦定理有 UsinB二花sinC令/二 AB smB = AC sin C一 2 > 一> (XOP = OA + -(AB + AC) -e0, + oo) t11)=> AP=-(Zb+AC)由平行四边形法则和共线定理可得AP定经过 ABC的重心。C例2、已知0是平面上一定点，A5B5C是平面上不共 线的三个点，动点P满

11、足0P =+ 2(AC+>ABcosBACAB)(2e0, + oo)cosC则P点的轨迹一定通过 ABC的（） A外心B内心C重心D垂心ABACAB cosB)(2g0, + oo)cosC点拨：取BC的中点D,贝!|血=OB±°CAB)(2g0, + oo)cosC由已知条件可得DP = A(AB cosB又因为BC DP = AB BC AC BCABcos BAC cos C)= (-|bc|+|bc|)= o2 一 AC +所以茕丄丽所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过 ABC的外心。A外心的向量表示结论1： 0是三角形的外心o 网=|ob|

12、= oc、2 2 2或 04 =OB =OC+ -ABcosBACACAB结论2：_AABC平面一定点0,动点P满足)(2e0, + oo) cosCP点轨迹经过ZkABC的外心例3、已知0是平面上一定点，A5B5C是平面上不共 线的三个点，动点P满足OP = OA + 2(ABABcosB+雪J)(go,+s)AOcosC则P点的轨迹一定通过 ABC的（）A外心B内心C重心D垂心0P = 0A7(ABAC+ABcosB)(2 g0, + oo) cosCI一I)(2e0, + oo)Ad cosC点拨：由已知等式可知乔"（一+ AC ABcosB即 BC AP = A(一,) =

13、2(-BC + BC) = 0AB cosB AC cosC在等式的两边同时乘以BC:+ :=> AP ± BC故点P的轨迹一定通过ZiABC的垂心。D变式3、已知0是平面上一点，A,B,C是平面上不共 线的三个点，点。满足页亦二亦荒二荒页贝！10点一定是ZkABC的（D）A外心B内心C重心D垂心点拨：刃丽二丽况OAOB-OBOC( OA-OCyOBQCAOBO同理可得CBA.OAAB1OCCA1OB垂心的向量表示结论1： 0是AABC的垂心的充要条件是OA OB = OB OC = 0C OA结论2、动点P满足OP = OA + A(ABAbIcosB4CAC cosC)(2

14、 E 0, + °O)P点的轨迹经过AAB C的垂心例4、已知0是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点空I,咗是AABC的A, B, C所对的三边）点0满足 aOk + bOB + cOC 二 6+ c OA+AC = 0同理可得(Q + b + c)05 = (b + cBC(a + /? + c)OC - ybCA + cCB贝！|0点一定是ZkABC的内心则0点一定是AABC的(B )A外心 B内心 C重心 D垂心 点拨：由已知条件可得 aOA + bOA+AB(o + b + c)OA = -bAB + cACAB AC BC=O.)-=0可知ZBAC的平分线垂AC|

15、k r 1+AB点拨：从（AB ACAB ACX 1)=AB AC 2例5、已知非零向量AB AC满足（=廿尸k kAB AC, 1， r且（AB AC= =）石,则 AABC 为（D）A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形直对边BC,故 ABC为等腰三角形；从（=二1可知cosA=,所以=60° ,2故 ABC为等边三角形。例6、已知o是平面上一点,a、b、c是平面上不共线 的三个点,点0满足(_AABAB= OB(_. _, ABA _ BCB_K= ocCACAACcb=0则0点一定是AABC的（B）A外心 B内心 C重心 D垂心则0点一定是AABC的内心例7、已知0为AABCfs在平面内一点，且满足:OA2 +BC2=OB2 +CA l2=l OC2 + AB 2.问：0是厶ABC的心。证：设OA = a,OB = b,OC = c,贝V:荒=7 乙冯=方一乙而=5方.由题设:OA2 +BC F=l OB2 +CA2=OC2 +AB2.化简：+(74)2二产+仗一刁二冷©匚)2 > > 得：cb = ac = ba 从而 AB OC = (b-a)-c* * *=b c a c = 0，同理:岚丄前，鬲丄前.C 垂丿止丄宛1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题