七大函数,七大性质

1、实用标准文案七大函数 1 、一次函数 2、二次函数 3、反比例函数 4、指数函数 5、对数函数 6、幂函数 7、三角函数七大性质 1 、定义域 2、值域 3、最值 4、周期性 5、奇偶性 6、单调性 7、对称性壹 一次函数（正比例函数）1、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b则此时称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0 时，即： y=kx （k 为常数， k0）则此时称 y 是 x 的正比例函数。2、一次函数的性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式： y=kx+b。（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（ 0，b) ，与 x 轴总是交于

2、（ -b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。（ 3) k ，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限， y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过二、四象限， y 随 x 的增大而减小。当 b0 时，直线必通过一、二象限；当 b0 时，直线必通过三、四象限。当 b=0 时，直线通过原点。(4) 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k 0 时，直线只通过一、三象限；当 k0 时，直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰 二次函数精彩文档实用标准文案1函数 y ax 2bxc(a0)叫做一元二次函数。

3、其图象是一条抛物线。2根与系数的关系 - 韦达定理（1）若一元二次方程 ax2bxc0 a0 中，两根为 x1 ， x2 。求根公式 xbb24ac ，补充公式x1x2。2aa韦达定理 x1x2b ， x1x2c 。aa（2）以 x1， x2 为两根的方程为 x 2x1x2 xx1x20（3）用韦达定理分解因式 ax 2bxca x 2b xca xx1xx2aa3任何一个二次函数 yax2bxc(a0) 都可配方为顶点式： ya(xb )24ac b2，2a4a性质如下：（1）图象的顶点坐标为 (b , 4acb 2) ，对称轴是直线 xb。2a4a2a（2）最大（小）值 当 a0，函数图象

4、开口向上，y 有最小值， ymin4acb 2，无最大值。4a 当 a0，函数图象开口向下，y 有最大值， ymax4acb 2，无最小值。4a（3）当 a0 ，函数在区间 (,b ) 上是减函数，在 ( b , ) 上是增函数。2a2a当 a0 ，函数在区间上 (b , ) 是减函数，在 ( , b ) 上是增函数。2a2a4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b24ac000精彩文档实用标准文案二次函数yax2bxca 0 的图象有两个相异实数根有两个相等实数根一元二次方程bx1 x2b没有实数根ax2bxc0 a 0的根x1,2x1x22a2a不 等ax

5、2bx c 0 a 0x x x1或 x x2x xbR式 的2a解集ax2bx c 0 a 0x x1x x2叁 反比例函数1、定义：一般地，形如 yk （k 为常数， k0 ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：x（1）x 是自变量， y 是 x 的反比例函数；（2）自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数，函数值的取值范围是y 0 ；（3）反比例函数有三种表达式： yk （ k 0）， ykx 1 （ k0）， x yk （定值）（ k0 ）。x（4）函数 yk （ k0 ）与 xk （ k0）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时， x 也是 y 的反xy比例函数

6、。2、反比例函数解析式的特征：反比例函数yk0 ）（ kxk 的符号k0k0图像定义域和值域x 0 ， y0 ；即（， 0）U（ 0， +）x 0 ， y 0 即（，0） U（0， +）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在图像的两个分支分别在第二、第四象限， 在每每个象限内， y 随 x 的增大而减小。个象限内， y 随 x 的增大而增大。肆 指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果x na ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n N *2实数指数幂的运算性质精彩文档精彩文档实用标准文案（1） ar· a ra r s（2） (

7、ar) sa rs（3） ( ab) ra r a s均满足 (a0, r , s R) （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数ya x (a0, 且a 1) 叫做指数函数，其中定义域为 x R2、指数函数的图象和性质条件a>10<a<1665544图像33221111-4-2246-4-224600-1-1定义域x Rx R值域y 0y 0单调性在 R 上单调递增在 R 上单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（ 0， 1）过定点（ 0， 1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 a ，b 上， f (x)a x(a0且a1)值域是

8、 f ( a), f (b) 或 f (b), f (a) ；（2）若 x 0 ，则 f ( x )1 ；f (x) 取遍所有正数当且仅当 xR ；（3）对于指数函数 f (x)a x(a0且a1)，总有 f (1) a ；伍 对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果a x记作： xlog a N （ a 底数，N ( a N 0, a真数，那么数叫做以为底1)xa Nxlog a N 对数式） aN的对数，log a Nx ；2两个重要对数：常用对数：以10 为底的对数；1lg N自然对数：以无理数为底的对数2e2.71828ln N（二）对数的运算性质如果 a 0 ，且 a 1， M0

9、， N0 ，那么：1log a (M · N )log aM log aN；2log aMlog aM log a N ；N3log a M nn log a M(nR) 注意：换底公式log a blog c b（ a0，且 a 1； c0 ，且 c 1 ； b0 ）log c a利用换底公式推导下面的结论（1）log a m b nn log ab ； （2）log a b1mlog b a（三）对数函数1、对数函数的概念：函数 yloga x(a0 ，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0， +）注意：对数函数的定义与指数函数类似， 都是形式定义， 注

10、意辨别。如： y2 log 2 x ，y log 5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数5实用标准文案2、对数函数的性质：条件a>10<a<1332.52.5221.51.51 11 1图像0.50.5-112345678-10123456780-0.51-0 .51-1-1-1.5-1 .5-2-2-2.5-2 .5定义域x 0x 0值域RR单调性在 R上递增在 R上递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（ 1， 0）过定点（ 1， 0）指数函数与对数函数的比较记忆表 1指数函数 yaxa 0, a 1对数数函数 y log ax a 0, a 1定义域xRx

11、0,值域y0,yR图象过定点 (0,1)过定点 (1,0)减函数增函数减函数增函数x(,0)时，y(1, )x(时，y(0,1)x时，y(0,),0)(0,1)x(0,时，y(0,1)x(0,)时，y(1,)x(1,时，y (,0)性质x(0,1)时，y (,0)x(1,)时，y (0,)a baa ba bb陆 幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 y x (aR) 的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义 ,并且图象都过点（ 1，1）；（2）当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0, ) 上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当 01时

12、，幂函数的图象上凸；精彩文档实用标准文案（3）0 时，幂函数的图象在区间(0,) 上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴3、幂函数的图像幂函数（ 1)幂函数（ 2)幂函数（ 3)函数的应用一、方程的根与函数的零点1 、函数零点的概念： 对于函数 yf (x)( xD ) ，把使 f ( x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf ( x)( xD )的零点。2 、函数零点的意义： 函数 yf ( x) 的零点就是方程f ( x)0 实数根，亦即函数 yf ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标

13、。即：方程f (x)0 有实数根函数 yf ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点3 、函数零点的求法：1 （代数法）求方程 f ( x) 0 的实数根；的图象联系起来，并利用函2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf ( x)数的性质找出零点二、二次函数的零点：二次函数 y ax2bxc(a0) （1），方程 ax 2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程 ax 2bxc0有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 ax 2bxc0无实根，二次函数的图象与

14、x 轴无交点，二次函数无零点柒 三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函性数ysin xycos xytan x质精彩文档实用标准文案图象1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性RRx xk2,k1,11,1R当 x2kk时 ， 当 x 2k k时，2ymax1；ymax1；既无最大值也无最小值当 x2kk时，当 x 2kk时，2ymin1ymin122奇函数偶函数奇函数在 2k,2k22在 2k,2 kk上，k上，是增函数；是增函数；在 k,kk22在 2k,2k3在 2k,2 kk上， 上，是增函数22是减函数k上，是减函数对称中心 k ,0 k对称中

15、 k,0kk对称中心,0k对称轴 xkk222对称轴 xk k无对称轴三角函数（记忆）1、同角三角函数的基本关系式：sintancoscottancot1 ，sin 2cos 21cos，sin，精彩文档实用标准文案cscsin1，seccos1 ，22221sectan1， csccot注意： 提高解题速度。勾股数（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17） 2、诱导公式：把 k的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 。2公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六sin(2kx)sinxsin(x)sin xsin(x)sin xsin(2x)

16、sin xsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos( x)cosxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tan xtan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(2kx)cotxcot(x)cot xcot(x)cotxcot(2x)cot xcot(x)cotx3、三角函数公式：两角（和与差）的三角函数关系积化和差公式11sin·cossin(+)+sin(-) ， cos·sinsin(+)-sin( -)sin()=sin·coscos=·sin22cos&

17、#183;cos1+)+cos(-)，sin·sin1cos(+)-cos(- )=cos(= -2cos()=cos·cossin·sin2tan()tantan半角 公式1tantan1cos1cossin，cos222倍角 公式2sin2=2sin·cos1coscos2222-12tan=cos-sin=2cos=1-2sintan 22tan21costan 21 cossin1sin1cos和差化积公式升幂 公式sin+sin= 2 sincos1+cos= 2 cos22， 1-cos = 2sin 222221± sin=( s

18、incossin- sin= 2 cossin2)222cos+cos= 2 coscos1=sin2+ cos2， sin= 2 sincos2222降幂公式cos- cos= - 2sinsinsin21cos2， cos21 cos2221222tan+ cot=1 sin 2sin 222sincos，·sin+ cos=1sin=cos=( sincos22tan- cot= -2cot2， 1± sin)sin 33sin4 sin 322三倍角公式；1+cos = 2cos2， 1-cos= 2sin 2cos34 cos33cos ；22三角恒等变换：（ 1

19、）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： 2 是的二倍；4 是 2的二倍；是的二倍；是的二倍；224精彩文档实用标准文案3是 3的二倍；是的二倍；22 是的二倍。2364 15 o45o30o60 o45 o30 o；()； () ；2424 2() ()()() ；等等44（ 2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（ 3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将

20、常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：1sin 2cos2sec2tan 2tancotsin 90 otan 45o（ 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。（ 5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。（ 6）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。常用形式转换（1） 1tantan(a) ； 1tantan(a)（ 2） tantantan(a)(1

21、tan tan )1tan41tan4（3）1sin= 1 sin（ 4）1 sin|sincos|sin|2| cos2（5） tancot12（6） tgxctgxsin 2xcos2 x2 cos2xcossin 2sin x cos xsin 2 xsin1cossin2 cos22 sincos2 cos(cossin)（ 7）222222cot1cossin2sin22sincos2 sin(sincos)22222221cos 40 cos 80（ 8） cos20 cos40 cos80 = sin 20cos 20 cos 40cos80sin 402sin 201sin 2

22、01sin 80cos804sin 16018sin 20sin 208（ 9）sincos22 sin，其中 tan1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=sinxyy=cosxy3737-5-2 1-5-2 1222-3 2-23 2-4 -7 -3-2 -3-o2 5 34 x-4 -7-2 -3o2 54x22-1 2222-1 22精彩文档实用标准文案yy=tanx3-o3- 2222yy=cotxx-o32x- 2222、函数 yA sin(x)B（其中 A0，0）最大值是 AB ，最小值是 BA，周期是 T2，频率是 f，相位是x，初相是；2其图象的对称轴是直线xk(kZ )

23、，凡是该图象与直线yB 的交点都是该图象的对2称中心。图像的平移1、对函数y sin( ) k( 0, 0, 0,k0) , 其图象的基本变换有：AxA (1) 振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的 A 1, 伸长； A 1, 缩短(2)周期变换 ( 横向伸缩变换) ：是由的变化引起的1，缩短； 1, 伸长(3)相位变换 ( 横向平移变换) ：是由的变化引起的 0, 左移； 0，右移(4)上下平移 ( 纵向平移变换): 是由 k 的变化引起的k 0, 上移； k 0, 下移 由 ysin x 的图象变换出 y sin( x ) 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行

24、图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现. 无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换( 伸缩变换 )先将 y sin x 的图象向左 (0) 或向右 ( 0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍 ( 0) ，便得 y sin( x ) 的图象 .途径二：先周期变换 ( 伸缩变换 ) 再平移变换。先将 y sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1 倍 ( 0) ，再沿 x 轴向左 ( 0) 或向右 ( 0平移 | |个单位，便得y sin( x) 的图象

25、。2、由 y Asin( x) 的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin （ x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。3、对称轴与对称中心：对于 yAsin(x) 和 yAcos(x) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。4、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负 . 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数, 并且在同一单调区间；5、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“yA sin(x) 、 yA cos(x) ”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和精

26、彩文档实用标准文案定义法。6、五点法作y=Asin （ x+）的简图：五点取法是设 x=x+，由 x 取 0、 、3、 2来求相应的x 值及对应的 y 值，再描点作图。22正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：ysin xy cos xytan xyA sinxycot x（A、 0）定义域RR值域1, 11,1周期性22奇偶性奇函数偶函数x | x R 且 x k1, k Z2R奇函数x | x R且 x k , k ZRRA, A2奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数2k , 2k 1 , ；k ,kk , k 12k上为减函数（ kZ ）( A),22k2222k上为增函数上为增函数（kZ

27、 ）12 2k,2k2k1 2(A )上为增函数；单调性上为减函数上为增函数；2k,（ kZ ）22k32k2(A),23上为减函数2k2(A )（ kZ ）上为减函数（ kZ ）1、角度与弧度的互换关系：360° =2 180 °=1 °=0.01745 1=57.30° =57°18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式：1rad 180 ° 57.30 ° =57° 181 °0.01745 （ rad ）1802、弧长公式： l | | r .扇形面积公式：s扇形1lr1| |r 2a 的终边22y3、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（ x,y ） P 与原点的距离为r ，P （ x,y )r则 sinycosx ；tanyox；rrxcotx ；secr ；cscr.yxy4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）yyy16. 几个重要结论-+:+-+(1)y(2)yoxo+ xox|sinx|>|cosx|-y+-正弦、余割余弦、正割正切、余切sinx>cosxPT|cosx|>|sinx|cosx|>|sinx|O5、三角函数