奥数数的整除讲义、练习含答案

1、word.zl-数的整除1性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：1如果数 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和a+b或 差a-b也能被 c 整除。2如果数 a 能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，那么 数 a必能被数 c 整除。 3假设干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么， 它们的积也能被这个数整除。 4如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能 被这两个互质数的积整除。反之，假设一个数能被两个互质数的积整 除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：1假设一个数的末两位数能被 4或 25整除，那么这 个数能被 4或 25整除。2假设

2、一个数的末三位数能被 8或 125整除，那么这个数能被 8或 125整除。 3假设一个数的各位数字之和能被 3或 9整除，那么这个数能被 3或 9整除。 4假设一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差以大减小能被11 整除，那么这个数能被 11 整除。 5假设一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被 7或 13整除，那么这个数能被 7或word.zl-13整除。奇偶性： 1奇数奇数 =偶数 2偶数偶数 =偶数 3奇数偶数=奇数4奇数x奇数=奇数5偶数x偶数=偶数6奇数x偶 数=偶数7奇数一奇数=奇数8【典型例题】例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，

3、所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例 2: 1200 这 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个?word.zl-例 3：任意取出 1998 个连续自然数， 它们的总和是奇数还是偶数？例 4：有“ 1 ，“ 2，“ 3，“ 4四张卡片，每次取出三张组 成三位数，其中偶数有多少个？word.zl-例 5 如杲 41 位数辽？口竺兰能被准除,那么中间方格内的数字是几 T【精英班】二二【竞赛班】例 6:某市举办小学生数学竞赛，共 20 道题，评分标准是：答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 1999 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还

4、是偶数？word.zl-【课后分层练习】 A 组：入门级1、判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除?2、abcabc能否被 7、11 和 13 整除?word.zl-3、六位数 7E36F5 是 1375 的倍数，求这个六位数。4、10 897 能被 13 整除，求中的数word.zl-5、有 8 个学生都面向南站成一排，每次只有7 个学生向后转，最少要做多少次才能使 8 个学生都面向北？B 组：进阶级1、有一个四位数 3AA1，它能被 9 整除，那么数 A 代表多少?word.zl-2、一个一百位数由 1 个 1，2 个 2，3 个 3，4 个 4，5 个 5，6 个 6，

5、7 个7，及 72 个 0 组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？3、某市举办小学生数学竞赛， 共 30 道题，评分标准是： 根底分 15 分， 答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 199 人 参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？word.zl-4、10 897 能被 13 整除，求中的数。C 组：挑战级1、能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？word.zl-2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过假设干次后各次减去或加上的数可以不同，变为右下表？为什3、左下列图是一套房子的平面图

6、，图中的方格代表房间，每个房 间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开场，依次不 重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？word.zl-【典型例题】例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是 17 的倍数的数中最大的为 17X5=85 C17X6=102. 于是所求数的前两位数字为 85.因为 8+5=13，故所求数的个位数字为 2、5、8 时，该数能被 3 整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是 858.例 2: 1200 这 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？解：1

7、200 中，能被 6 整除的数共有 33 个200-6=33，能被 8 整 除的数共有 25 个200-8=25但6, 8 =24, 200- 24=88,即 1200 中，有 8 个数既被 6 整除，又被 8 整除。故总共有： 33+258=50。例 3：任意取出 1998 个连续自然数,它们的总和是奇数还是偶数？ 解：任意取出的 1998 个连续自然数, 其中奇数、 偶数各占一半, 即 999 个奇数和 999个偶数。999 个奇数的和是奇数, 999 个偶数的和是偶数, 奇数加上偶数和为奇数,所以它们的和是奇数。例 4：有“ 1 , “ 2 , “3 , “ 4四张卡片,每次取出三张组成

8、三位数,其中偶数有多少个？解：组成的三位数个位数字只能是 2 或 4 两种情况,假设个位数字是 2, 百位、word.zl-十位数字可从余下的数字中取，这样可组成 3X2=6个三位偶数；假设个位数字是 4 同样也可以组成 6 个三位偶数。这样总共12 个。例5如果41位数色二口兰二能被了整臨 那么中间方格內的数字是几?【精英班】 解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7整除，所以厘沟眇9 也能被 7 超陽L厂P184-用牛555 口 999 二 55- 500000 999 +55D99X 10 “一 * *-因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7 整除，所以

9、等号右边第二个数也能被 7 整除，推知 55 99 能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的 特征，口 995= 44 也应能被 7 整除。由口確被 7 整除，易知内应是 6。【竞赛班】例6:某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答 对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛， 问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：对于每个学生来说，20道题都答对，共得5X20=100分偶数。假设 该学生答错一题，应从100分中扣5+1=6丨分，无论他答错多少道题，扣 分的总数应是6的倍数，即扣分的总数也是偶数，100分中扣除偶数分仍得 偶数分；同样假设他不答一题，应从100分

10、中扣除5-仁4分，无论他 不答多少道题，扣分的总数应是4的倍数，即扣分的总数也是偶数，所以100分中减去偶数仍得偶数，每个学生得分数word.zl-是偶数，那么无论有多少人参加数学竞赛，学生得分的总数和一定是偶数。【课后分层练习】A组：入门级1判断306371能否被7整除？能否被13整除?解：因为371-306=65, 65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。2、abcabc 能否被 7、11 和 13 整除?分析与解因为 abcabc-abXlQQU 1001 是 7, 11 和 1 弓的倍数，所以 赢嬴能被 7,和灌热3、六位数 7E36F5 是 137

11、5 的倍数，求这个六位数。解：因为 1375=5X5X5X11=125X11,根据能被 125 整除数的特征，这个数的末三位能被 125 整除，可知道 F=2，又因为这个数是 11 的倍数，所以 7+3+2 E+6+5= 1-E 是 11 的倍数，那么 E=1.所以这个六位数是 713625.4、10 897 能被 13 整除，求中的数。解：10 口 8-971=1008-971+ 0=37+ 0。上式的个位数是乙假设是 13 的倍数， 那么必是 13 的 9 倍， 由 13X9-37=80,推知中的数是 8。5、有 8 个学生都面向南站成一排，每次只有7 个学生向后转，最少要做多少次才能使

12、8 个学生都面向北？word.zl-解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。由于每一轮恰有7个学生向后转，8 个学生向后转的次数总和为 7X8=56次。因此最 少要做 56- 7=8次才能使 8 个学生都面向北。B 组：进阶级1、有一个四位数 3AA1，它能被 9 整除，那么数 A 代表多少？解：3+A+A+1=4+2A，根据能被 9 整除数的特征，4+2A 是 9 的倍数。 因为4+2A 是偶数，所以 4+2A=18 , A=7.2、 一个一百位数由 1 个 1, 2 个 2, 3 个 3, 4 个 4, 5 个 5, 6 个 6, 7 个乙及 72 个 0 组成，问这个百位自然数有可能

13、是完全平方数吗？解： 任何一个自然数的平方除以 3都余1或0而这个一百位数的数字 和是140,140 除以 3 余 2,所以这个一百位数不可能是完全平方数。3、某市举办小学生数学竞赛， 共 30 道题，评分标准是：根底分 15 分， 答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 199 人 参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：仿照例 6:这 199 位同学的得分总分是奇数。4、10 897 能被 13 整除，求中的数。解：10 口 8-971=1008-971+ 0=37+ 0。上式的个位数是乙假设是 13 的倍数，那么必是13 的 9 倍，由13X9-37=80,

14、推知中的数是 8。C 组：挑战级word.zl-1、能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？ 解：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反 证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有 5 组，每组的两数之和都能被 3 整除，推知 110 的和也应能被 3 整除。实际上，110 的和等于 55,不能被 3 整除。这个矛盾说明假 设不成立，所以题目的要求不能实现。2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否 经过假设干次后各次减去或加上的数可以不同，变为右下表？为去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和 加上或减去那个数的 2 倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数 的总和为1+2+9=45，是奇数，经过假设干次变化