2013高考数学三轮冲刺押题基础技能闯关夺分必备向量的概念及基本运算(含解析)

1、向量的概念及基本运算【考点导读】1.理解平面向量和向量柑等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向帛的加法、减法、数乘的运算并理解其几何意义.3.了解平面向最基本定理及其意义.【基础练习】1出卞列命题：若问二町 则u=b；若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是-2-且a/b :若E确命题材的序2.化简- BD + CD一品得03在四边形宓9形如?为梯形4如图，设点只0是线段肋的三等分点.20A = d，OB =6，则OP=a + b,OQ =+（用a、b表示）5设勺冋A, B,D三点共线， 求k的值试以“、b为基分析：本题可以G是ACBD的点拨：利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基

2、本定理，在解题中，应尽可能地转化 到平行四边形或三角形中，结合向量的加减法.数乘运算解决.例2己知任意四边形如?的边肋和的中点分别为F.四边形为平行四边形的允要条件;若“= b.b = c .则a =c；“ =b的充要条件是a = b求证：AB+DC = 2EF .分析:构造三角形，利用向量的三角形法则证明证明：如图，连接防和 比，由EA+AB = EB和丽+ FR=ERM得，EA+AB=EF+FB （1）由ED + DC二EC和EF + FC = EC可得，ED + DC二EF + FC (2)其中.例1-3-:E. F分别为和恭的中点，A EA+ED = O, FB+FC = O代入（3）

3、式得，AB+DC = 2EF点拨:运用向最加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形.例3.已知6瓦6不共线，OP = aOA+bOB，求证：A,P.B三点共线的充要条件是a+b = l分析：证明三点共线可以通过向量共线來证明.解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数久，使得AP = 2AB ,即OP-OA=2(OB-OA), Op = (l-/l)oA+/loa : OP = aOA+bOB ,:.a=1几,b = 2 * a+b = l再证充分性：若a+b = l.则AP =OP-OA二(a-l)0A+bb = b(6B-0A)=bA,与A直共线， A,P,B三点共线.

4、点拨:向量共线定理是向量知识中的-个基本定理， 通常可以证明三点共线、 直线平行等问题. 反馈练习：1.己知向最“和b反向，则卜列等式成立的是（C）A. I a I = I a bB. a b - MbC. a 4-1= ab. D. a b - ab3设你为单位向量.（1）若a为平面内的某个向量，则a二|a| 山；（2）若”与金平行，则=la a0； （.3）若a与兔平行且丨“=1则a二上述命题中，假命题个数是3D为BC边中点，H2OA+OB + OC = 0,那么0点的位置为AD的中点(1) + (2)得.EA+ED + +DC = 2EF+FB+FC2.设四边形ABC有DC=则这个四边形

5、A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形4.已知O是AAB-4-5.在C中，己知D是AB边上-点，若丑2更，屁押+入阪则=|6设久B、U D、0是平面上的任意五点，试化简:7+BC + CD, DB+AC + BD , (3)-OA-OC + OB-COo解析：原式二（晶+Bd）+CEi = Ad + cb =A6；原式二(DB+BD)+AC = O+AC = AC；原式二(OB-OA) + (-OC-CO)= AB-(OC + CO)= AB + O= ABo7设x为未知向量，a . b为已知向量，x满足方程2x-(5d+3x-4b ) +丄“-3/二0, 29则x二一一a + b(用a.

6、 b表不)28在四面体0-磁 中，OA = a.OB = /.OC = c.D为 證的中点，E为AD的中点，则 1 OE=a b c（用d，b、c表示）2449.已iu|OA|= 1,|OB|= V3, OAOB = 0,点C在ZAOC内，ZAOC =30。. _.ni设OC = mOA+ nOB(ni nGR),则等于3n10.如图平行四边形OADB的对角线0D, AB和交于点C,线段BC上右一点M满足BC二3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,设&瓦= b,试用a上表示Olvi.阪， 帚 解: BM= -BC= -BA,BM= -BA= -(OA-OB = -(a-b)3666、 6- 1514 OM=OE+BM = -a + -b . CN = -CD,/. ON = -CD = -OD66333. ON=-OD=-(OA+OB)= -(a+b):. MN=ON-OM =丄a-b3332611设两个非零向量勺、6 不共线，如果血二2 + 3e2,BC = 6勺+ 23e2,CD = 4勺-求证：ABD三点共线.（2）设勺、勺是两个不共线的向量，已知AB = 2+k2，BC二勺+32，CD = 2-勺, 若ABD三点共线，求k的值.解：（1）证明：.因为就=6+23勺,西=4勺一8勺所以BD = 10勺十15勺又因为AP二2勺+3勺得BD = 5AB即BD/