中考几何最值问的题目(含问题详解)

1、实用标准文案几何最值问题一选择题（共6 小题）1（ 2015?孝感一模）如图，已知等边 ABC 的边长为6，点 D 为 AC 的中点，点E 为 BC的中点，点P 为 BD 上一点，则PE+PC 的最小值为（）A 3B 3C2D3考点 ：轴对称 -最短路线问题分析：由题意可知点A、点 C 关于 BD 对称，连接AE 交 BD 于点 P，由对称的性质可得，PA=PC，故 PE+PC=AE ，由两点之间线段最短可知，AE 即为 PE+PC 的最小值解答：解： ABC 是等边三角形，点D 为 AC 的中点，点E 为 BC 的中点， BD AC ，EC=3 ，连接 AE ，线段 AE 的长即为PE+PC

2、 最小值，点 E 是边 BC 的中点， AEBC，AE=3， PE+PC 的最小值是3故选 D点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键2（ 2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB ，AB=50cm ，A 、B 到 x 轴的距离分别为10cm 和 40cm，B 点到 y 轴的距离为30cm，现在在x 轴、 y 轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（）A 50B 50C5050D50+50考点 ：轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质精彩文档实用标准文案专题 ：压轴题分析：过 B 点作 BM y 轴交 y 轴于 E 点

3、，截取 EM=BE ，过 A 点作 AN x 轴交 x 轴于 F 点，截取 NF=AF ，连接 MN 交 X ，Y 轴分别为 P， Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长解答：解：过 B 点作 BM y 轴交 y 轴于 E 点，截取 EM=BE ，过 A 点作 AN x 轴交 x 轴于 F 点，截取 NF=AF ，连接 MN 交 x， y 轴分别为 P，Q 点，过 M 点作 MK x 轴，过 N 点作 NK y 轴，两线交于K 点MK=40+10=50 ，作 BL x 轴交 KN 于 L 点，过 A 点作 AS BP 交 BP 于 S 点 LN=AS=40 KN

4、=60+40=100 MN=50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50四边形PABQ 的周长 =50+50 故选 D点评：本题考查轴对称最短路线问题以及坐标和图形的性质， 本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长3（ 2014 秋?贵港期末）如图，AB BC，AD DC ， BAD=110 °，在 BC 、CD 上分别找一点 M 、 N，当 AMN 周长最小时，MAN 的度数为（）A 30°B 40°C 50°D 60°考点 ：轴对称 -最短路线问题分析：根据要使 AMN 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的

5、三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A ， A ，即可得出 AA M+ A = HAA =70°，进而得出 MAB+ NAD=70 °，即可得出答案精彩文档实用标准文案解答：解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点A ，A ，连接 A A，交 BC 于 M ，交 CD 于 N，则 A A即为 AMN 的周长最小值，作 DA 延长线 AH ， DAB=110 °， HAA =70 °， AA M+ A= HAA =70°， MA A= MAB ， NAD= A， MAB+ NAD=70 °， MAN=110 &

6、#176; 70°=40°故选 B点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M ，N 的位置是解题关键4（ 2014?无锡模拟）如图， MON=90 °，矩形 ABCD 的顶点 A， B 分别在 OM 、 ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变， 其中 AB=2 ，BC=运动过程中，当点D 到点 O 的距离最大时，OA 长度为（）ABC2D考点 ：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线分析：取 AB 的中点，连

7、接 OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE ，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、D 三点共线时点D 到点 O 的距离最大，过点A 作 AF OD 于 F，利用 ADE 的余弦列式求出 DF ，从而得到点 F 是 OD 的中点，判断出AF 垂直平分 OD ，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD 解答：解：如图，取 AB 的中点，连接 OE、 DE ， MON=90 °， OE=AE=AB= ×2=1 ，三边形 ABCD 是矩形， AD=BC=，在 Rt ADE 中，由勾股定理得， DE=2

8、，由三角形的三边关系得， O、 E、D 三点共线时点D 到点 O 的距离最大，此时， OD=OE+DE=1+2=3 ，过点 A 作 AF OD 于 F，则 cos ADE= ，即= ，精彩文档实用标准文案解得 DF=， OD=3 ，点 F 是 OD 的中点， AF 垂直平分 OD ， OA=AD=故选 B点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出 OD 最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观5（ 2015?鞍山一模） 如图，正方形 ABCD 的边长为4，点 E 在边

9、 BC 上且 CE=1 ，长为的线段 MN 在 AC 上运动，当四边形BMNE 的周长最小时，则tanMBC 的值是（）ABCD1考点 ：轴对称 -最短路线问题；正方形的性质分析：根据题意得出作EF AC 且 EF=，连结 DF 交 AC 于 M ，在 AC 上截取 MN=，此时四边形BMNE 的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案解答：解：作 EF AC 且 EF=，连结 DF 交 AC 于 M ，在 AC 上截取 MN=，延长 DF交 BC 于 P，作 FQBC 于 Q，则四边形 BMNE 的周长最小，由 FEQ= ACB=45 °，可求得 FQ=EQ=1 ， DPC

10、= FPQ， DCP= FQP， PFQ PDC，=， = ，解得： PQ= ，精彩文档实用标准文案 PC= ，由对称性可求得tan MBC=tan PDC=故选： A点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 M ，N 的位置是解题关键6（ 2015?江干区一模）如图， ABC 中， CA=CB ，AB=6 ， CD=4 ， E 是高线 CD 的中点，以 CE 为半径 C G 是 C 上一动点， P 是 AG 中点，则DP 的最大值为（）ABC2D考点 ：圆的综合题分析：根据等腰三角形的性质可得点 D 是 AB 的中点，然后根据三角形中位线定理可得 DP= BG ，然后

11、利用两点之间线段最短就可解决问题解答：解：连接 BG ，如图 CA=CB ， CDAB ， AB=6 ， AD=BD=AB=3 又 CD=4 ， BC=5 E 是高线 CD 的中点， CE= CD=2 ， CG=CE=2 根据两点之间线段最短可得：BG CG+CB=2+5=7 精彩文档实用标准文案当 B 、C、G 三点共线时， BG 取最大值为 7P是 AG 中点， D 是 AB 的中点， PD= BG， DP 最大值为 故选 A点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将 DP 转化为 BG 是解决本题的关

12、键二填空题（共3 小题）7（ 2014?江阴市校级模拟）如图，线段AB 的长为 4，C 为 AB 上一动点，分别以AC 、BC为斜边在 AB 的同侧作等腰直角 ACD 和等腰直角 BCE ，那么 DE 长的最小值是2考点 ：等腰直角三角形分析：设 AC=x ，BC=4 x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x， CD =（ 4x），根据勾股定理然后用配方法即可求解解答：解：设 AC=x ， BC=4 x， ABC ， BCD 均为等腰直角三角形， CD=x， CD =（ 4 x）， ACD=45 °， BCD =45 °， DCE=90 °，2222222 DE=

13、CD +CE =x +（ 4 x） =x 4x+8= （ x 2） +4，当 x 取 2时， DE 取最小值，最小值为：4故答案为：2点评：本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大， 关键是掌握用配方法求二次精彩文档实用标准文案函数最值8（ 2012?河南校级模拟）如图，矩形 ABCD 中， AB=4 ， BC=8 ，E 为 CD 边的中点，点 P、 Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2 ，当 BP= 4 时，四边形 APQE 的周长最小考点 ：轴对称 -最短路线问题专题 ：压轴题分析：要使四边形APQE 的周长最小，由于AE 与 PQ 都是定值，只需AP+EQ 的值最小即可为此，

14、先在BC 边上确定点P、Q 的位置，可在AD 上截取线段AF=DE=2 ，作 F点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为P 点，则此时AP+EQ=EG 最小，然后过G 点作 BC 的平行线交DC 的延长线于 H 点，那么先证明 GEH=45 °，再由 CQ=EC 即可求出 BP 的长度解答：解：如图，在 AD 上截取线段 AF=DE=2 ，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，过 G 点作 BC 的平行线交

15、 DC 的延长线于 H 点 GH=DF=6 ，EH=2+4=6 ， H=90 °， GEH=45 °设 BP=x ，则 CQ=BC BP PQ=8 x2=6 x，在 CQE 中， QCE=90 °， CEQ=45 °， CQ=EC ， 6 x=2，解得 x=4故答案为 4点评：本题考查了矩形的性质，轴对称最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求9（ 2013?武汉）如图， E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF 连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方

16、形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 1精彩文档实用标准文案考点 ：正方形的性质专题 ：压轴题分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD ， BAD= CDA ，ADG= CDG ，然后利用 “边角边 ”证明 ABE 和 DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得1=2，利用“SAS”证明 ADG 和 CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得2= 3，从而得到 1=3，然后求出AHB=90 °，取 AB 的中点 O，连接 OH 、 OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1 ，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D 、H 三点共

17、线时， DH 的长度最小解答：解：在正方形 ABCD 中， AB=AD=CD ， BAD= CDA ， ADG= CDG ，在 ABE 和 DCF 中， ABE DCF （ SAS）， 1=2，在 ADG 和 CDG 中， ADG CDG （ SAS）， 2=3， 1=3， BAH+ 3=BAD=90 °， 1+BAH=90 °， AHB=180 ° 90°=90°，取 AB 的中点 O，连接 OH、 OD ，则 OH=AO= AB=1 ，在 Rt AOD 中， OD=，根据三角形的三边关系，OH+DH OD ，当 O、 D、 H 三点共线时，

18、DH 的长度最小，最小值 =OD OH= 1（解法二：可以理解为点H 是在 Rt AHB ，AB 直径的半圆上运动当O、H、D 三精彩文档实用标准文案点共线时， DH 长度最小）故答案为：1点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出 DH 最小时点 H 的位置是解题关键，也是本题的难点三解答题（共1 小题）10（ 2015?黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在 ABC （其中 BAC 是一个可以变化的角）中， AB=2 ， AC=4 ，以 BC 为边在 BC 的下方作等边 PBC，求

19、AP 的最大值小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B 为旋转中心将 ABP 逆时针旋转60°得到 A BC，连接 A A，当点 A 落在 A C 上时，此题可解（如图 2）请你回答： AP 的最大值是6参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 Rt ABC 边 AB=4 ， P 为 ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是（或不化简为）（结果可以不化简）考点 ：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形专题 ：几何综合题分析：（ 1）根据旋转的性质知 A A=AB=BA =2 ，AP=A C，所以在 AA C 中，利用三角形三边关系来求 AC 即 AP 的长度；（ 2）以 B 为中心，将 APB 逆时针旋转 60°得到 A'P'B 根据旋转的性质推知 PA+PB+PC=P'A +P'B+PC 当 A' 、P'、 P、 C 四点共线时，（ P'A+P'B+PC ）最短，即线段 A'C 最短然后通过作辅助线构造直角三角形 A DC ，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段 AC 的长度解答：解：（ 1）如图 2