专题1.2极值点偏移问题利器极值点偏移判定定理-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(解析版)

1、一、极值点偏移的判定定理对于可导函数 yf (x) ，在区间 (a, b) 上只有一个极大 （小）值点 x0 ，方程 f ( x)0 的解分别为 x1 , x2 ，且 a x1 x2 b ，（ 1）若 f (x1 )f (2x0x2 )x1x2()x0 ，即函数 yf ( x) 在区间 (x1, x2 ) 上极（小）大值点，则2x0 右（左）偏；（ 2 ）若 f (x1)f (2x0x2 ) ，则 x1x2() x0 ，即函数 yf ( x) 在区间 (x1, x2 ) 上极（小）大值点2x0 右（左）偏 .证明：（ 1）因为对于可导函数y f (x) ，在区间 (a, b) 上只有一个极大（

2、小）值点x0 ，则函数 f (x) 的单调递增（减）区间为(a, x0 ) ，单调递减（增）区间为(x0 , b) ，由于 a x1 x2b ，有 x1 x0 ，且2x0 x2 x0 ，又 f ( x1) f (2x0x2 ) ，故 x1() 2x0x2 ，所以x1 x2( ) x0 ，即函数极（小）大值2点 x0 右（左）偏；（ 2）证明略 .左 快右慢（极值点左偏mx1x2 ）左慢右快（极值点右偏mx1x2 ）22左快右慢（极值点左偏mx1x2 ）左慢右快（极值点右偏mx1x2 ）22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（ 1）求出函数f ( x) 的极值点 x0 ；（ 2）

3、构造一元差函数F (x)f ( x0x)f ( x0x) ；（ 3）确 定函数 F ( x) 的单调性；（ 4）结合 F (0)0 ，判断 F ( x) 的符号，从而确定f ( x0x) 、 f ( x0x) 的大小关系 .口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f ( x) 满足 f ( x1 )f ( x2 ) ， x0为函数 f ( x) 的极值点，求证：x1x22x0 .（ 1）讨论函数f ( x)的单调性并求出f (x) 的极值点 x0 ；假设此处f ( x)在 (, x0 ) 上单调递减，在(x0 ,) 上单调递增（ 2

4、）构造()()() ；F xfx0xfx0x注：此处根 据题意需要还可以构造成F (x)f ( x)f ( 2x0x) 的形式 .（ 3）通过求导 F' (x) 讨论 F ( x) 的单调性，判断出 F (x) 在某段区间上的正负， 并得出 f ( x0x) 与 f ( x0 x)的大小关系；假设此处 F ( x) 在 (0,) 上单调递增，那么我们便可得出F ( x) F ( x0 )f (x0 )f (x0 )0 ，从而得到： xx0 时， f ( x0x)f ( x0x) .（ 4）不妨设 x1x0x2 ，通过 f (x) 的单调性，f ( x1 )f ( x2 ) ， f (

5、x0x) 与 f ( x0x) 的大小关系得出结论；接 上 述 情 况 ， 由 于 xx0 时 ， f ( x0x)f ( x0 x) 且 x1x0x2 ， f ( x1 )f ( x2 ) ， 故f ( x1 )f ( x2 )f x0(x2x0 )f x0(x2x0 )f (2 x0x2 ) ，又因为x1 x0 ， 2x0x2 x0 且f ( x) 在 (, x0 ) 上单调递减，从而得到 x12x0x2 ，从而 x1x2 2x0 得证 .（ 5）若 要证明 f ' ( x1 x2 )0 ，还需进一步讨论x1x2 与 x0 的大小，得出x1x2 所在的单调区间，从222而得出该处函

6、数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x1 x2 2x0 ，故x1x2x0，由于f ( x) 在 (, x0 ) 上单调递减，故2xxf ' ( 12 )0 .【说明】（ 1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（ 2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f ( x) 的单调性、极值点，证明f ( x0x) 与f ( x0x) （或 f ( x) 与 f (2x0 x) ）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x1x22x0 或f ' ( x1x2 ) 0 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题

7、2三、对点详析，利器显锋芒已知函数f ( x)xe x ( xR) .(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值；(2) 若 x1x2 ，且 f ( x1 )f ( x2 ) ，证明： x1x22 . x21 ， 2x21， f ( x) 在 (,1) 上单调递增，x12x2 ， x1x22 .函数 f (x)x44 x3 与直线 y a(a1) 交于 A( x1 ,a) 、 B( x2 ,a) 两点 .33证明： x1 x22.已知函数f ( x)2ln x ，若 x1x2 ，且 f (x1 )f ( x2 ) ，证明： x1 x24 .x【解析】由函数f ( x)2ln x 单调性可知

8、：若 f (x1 )f ( x2 ) ，则必有 x12 x2 。x所以 4 x12，而 f ( x1 )f (4x1 )2ln x12ln( 4 x1) ，x14x1令 h( x)22ln xln( 4x) ，则x4xh' ( x)22112(4 x)22x2x(4x)2x2 ( 4x)x2(4 x) 2x 4 xx2 (4 x) 28( x2)20x2 (4x)2所以函数 h( x) 在(0,2)为减函数，所以h( x)h( 2)0，所以 f ( x1)f (4x1)0即 f ( x1 )f ( 4x1 ) ，所以 f (x2 )f (4x2 ) ，所以 x1 x24 .fxx2ex

9、ax2x1 x2 2 .已知函数1 有两个零点 .设 x1, x2 是 f x的两个零点，证明：四、招式演练已知函数g xexa x2 ，其中 a R, e 2.71828 为自然对数的底数， f x 是 g x 的导函数 .2（）求fx 的极值；（）若 a1 ，证明：当 x1 x2 ，且 f x1fx2 时，x1x20 .【答案 】(1) 当 a0 时，fx 无极值 ; 当 a0时 ,fx 有极小值flnaaalna ;(2)详见解析 .【解析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出函数f（ x）的导数，设函数F（ x） =f （x）

10、f（ x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可试题解析：（）fxgxexax 的定义域为,，fxexa当 a0时，fx0 在 x,时成立，fx在,上单调递增，f x无极值 .当 a0 时 ，f xexa 0 解 得 x lna ， 由 f x0得 x ln a； 由 fx0 得x lna ，所以 fx 在,lna上单调递减，在lna ,上单调递增，故 fx有极小值flnaaalna .（）当 a1 时，f xexx 的定义域为,，f x ex 1，由 f xex 1 0，解得 x0.当 x 变化时，f x ，fx 变 化情况如 下表：x,000,fx0+fx单调递减极小值单调递增 x1x2 ，且 fx1fx2，则 x10x2 （不妨设 x1x2 ）已知函数 f xlnxax2 ，其中 a R（ 1）若函数 fx 有两个零点，求a 的取值范围；（ 2）若函数 f1，且方程 f xm 的两根为 x1 , x2 ，且 x1x2 ，证明： x1 x2 4a .x 有极大值为2【答案】（1） 01;（ 2）见 解析 .a2e（ 1）当 a0 时，fx0 函数 fx 在 0,上单调递增，不可能有两个零