三角函数与平面向量地综合应用

1、标准实用文案三角函数与平面向量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换(1) 公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式(2) 公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系(3) 注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围2 三角函数的性质(1) 研究三角函数的性质，一般要化为 y Asin( x )的形式，其特征：一角、一次、一函数 (2) 在讨论 y Asin( x) 的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想， 一般地，可设 t x ，y Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的3 解三角

2、形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现4 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、 垂直等问题 特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性【自我检测】cos sin 1 已知角终边上一点P( 4,3) ，则2的值为11 9 cos sin22_2 已知 f(x) sin( x )3cos( x )的一条对称轴为y 轴，且 (0 ，文档标

3、准实用文案)，则 _.Ax3. 如图所示的是函数()sin() (>0， >0，|0， )f xB A2图象的一部分，则f(x)的解析式为4 (2012 ·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为 1 ，延长 BA 至 E，使 AE 1，连接 EC、 ED，则 sin CED _.5. 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC，AD AB，AD 1 ，BC 2，AB 3 ， P 是 BC 上的一个动点，当 PD ·PA取得最小值时， tan DPA 的值为 _【题型深度剖析】题型一三角恒等变换例 13 3sin cos 2 1设 < <， sin ，求

4、的值3445tan 思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系探究提高三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简， 角的转化是三角变换的“灵魂” 要注意角的范围对式子变形的影响sin4 37 【训练 1 】已知 cos 5，则 sin 的值是66()232344A 5B.CD.555题型二三角函数的图象与性质例 2(2011 ·浙江)已知函数 f(x) Asin(x )， x R， A>0,0< <， y f(x)的部分图32文档标准实用文案象如图所示， P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为 (1 ， A)(1) 求 f (x

5、)的最小正周期及的值；2 (2) 若点 R 的坐标为 (1,0) ，PRQ，求 A 的值3思维启迪： 三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决探究提高本题确定的值时，一定要考虑的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点【训练 2 】已知函数()AsinxBcos(， ， 是常数，>0) 的最小正周期为2 ，f xxA B 1并且当 x 时， f(x)max 2.32123(1) 求 f(x )的解析式； (2) 在闭区间，上是否存在f(x )的对称轴？如果存在，求出44其对称轴方程；如果不存在，请说明理由题型三三角函数、平面向量、解三角形的综合应用已知

6、向量 m 3sinxxx例 3， 1 ， n cos， cos 2.4442(1)若 m ·n 1 ，求 cos x 的值；3(2)记 f (x)m ·n ，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b ，c，且满足 (2 ac)cosB b cos C，求函数 f(A)的取值范围思维启迪： (1) 由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值(2) 在ABC 中，求出A 的范围，再求f(A)的取值范围文档标准实用文案探究提高(1) 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2) 三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进

7、行转化，注意角的范围对变形过程的影响【训练 3 】在ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b ， c，且 lg a lg b lg cosB lg cos A0.(1) 判断ABC 的形状；(2) 设向量 m (2 a，b )，n (a， 3 b )，且 m n ，(m n )·(n m )14 ，求 a， b ，c的值【高考中的平面向量、三角函数客观题】x典例 1 ： (5 分)(2012 ·山东)函数 y 2sin(0 x9) 的最大值与最小值之和为()63A23B0C 1D 13考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想解题策略根据整体思想

8、，找出角x的范围，再根据图象求函数的最值63解后反思(1) 函数 y Asin( x )可看作由函数y Asin t 和 tx 构成的复合文档标准实用文案函数(2) 复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到典例 2 ：(5 分 )(2012 ·天津)在ABC 中，A90 °，AB 1 ，AC2.设点 P，Q 满足 APAB ， ，则 等于()AQ(1 )AC， R.若 BQ ·CP 21B.24A.C.D 2333考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力解题策略根据平面向量基本定理，将题中的向量 BQ ，CP分别用向量 AB，

9、AC表示出来，再进行数量积计算解后反思(1) 利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础； (2) 本题在求解过程中利用了方程思想【感悟提高】方法与技巧1 研究三角函数的图象、性质一定要化成y Asin( x ) B 的形式，然后利用数形结合思想求解2 三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解失误与防范1 三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围； 2向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角【专项训练 1 】，|a | 1，|b|1 (2012 ·大纲全国)ABC 中， AB

10、 边的高为 CD ，若 CB a，CA b ，a·b 0() 2，则 AD等于文档标准实用文案11223344A. a bB. a bC. a bD. a b333355552 已知向量 a (2 ， sin x)，b (cos 2x,2cosx)，则函数 f (x) a·b 的最小正周期是 ()BC 2 D 4 A.23 已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边， 向量 m (3 ， 1) ，n (cosA，sinA)若 m n，且 acos B bcos A csinC，则角 A， B 的大小分别为() 2 A.，B.，C.，D.，633636332c

11、os，4 已知向量 OB (2,0)，向量 OC (2,2)，向量 CA (2sin )，则向量 OA 与向量 OB的夹角的取值范围是()555A. 0，B. ，C.，D.12，4412122125 (2012 ·北京)在ABC 中，若 a 3， b3，A ，则C 的大小为 _36 在直角坐标系xOy中，已知点A( 1,2) ， (2cosx， 2cos 2x)，C(cosx,1) ，其中xB 0 ，若 AB OC ，则 x 的值为 _7 已知函数 f(x) sinx cos x，且 f(x) 2f(x)，f (x)是 f( x)的导函数， 则1 sin 2 x2 x sin 2 x

12、cos_.8 (10 分)已知ACA(3,0) ，B(0,3) ， (cos，sin 3 ， ，的坐标分别为)， ，.BC 22 2sin 2sin 2 (1) 若 |AC|BC|，求角 的值； (2) 若 AC·BC 1，求的值1 tan文档标准实用文案9 (12 分 )设锐角三角形ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c， a 2 b sin A.(1) 求 B 的大小； (2) 求 cos Asin C 的取值范围【专项训练 2 】1 (2012 ·江西)已知 f(x)sin 2 x，若 a f(lg 5)， b f lg14，则5()A a b 0

13、B a b 0C a b 1D ab 1133) ，则 |a tb | ( t R)的最小值等于2 已知 a ， b (1 ，22()A 1B.3C.122D.22文档标准实用文案3 SABC33在ABC 中， AB·BC 3 ，ABC 的面积，则AB 与 BC夹角的取值范围是22 A.，B.，C.，D. ，24364633对 x R 恒成立，4 (2011 ·安徽)已知函数 f( x) sin(2 x )，其中 为实数 f(x) f6且 f> f()，则 f(x)的单调递增区间是25，cos1 3若 0< < ， < <04 ， cos，则

14、cos _.22342326 (2012 ·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ，此时圆上一点P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1) 时， OP的坐标为 _分 )已知 f(x) log asin 2xx(a>0且 a1) ，试讨论函数7 (13 sin 422的奇偶性、单调性文档y Asin( x )的形式，其特征：一角、一次、标准实用文案三角函数与平面向量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换(1) 公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式(2) 公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用

15、的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系(3) 注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围2 三角函数的性质(1) 研究三角函数的性质，一般要化为一函数 (2) 在讨论 y Asin( x) 的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想， 一般地，可设 t x ，y Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的3 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积 )，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现4

16、平面向量平面向量的线性运算， 为证明两线平行提供了重要方法平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、 垂直等问题 特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性【自我检测】cos sin1 已知角 终边上一点 P( 4,3) ，则2的值为 _11 9 cos sin 22文档标准实用文案3答案4cos sin sin ·sin 2解析11 9 sin ·cos tan .cos sin 22y 3根据三角函数的定义得tan .x 4cos sin32所以11 .9 4cos sin 222 已知 f(x)sin( x )3cos( x )的一条对称轴为y

17、 轴，且 (0 ，)，则 _.答案6解析f(x) sin( x ) 3cos(x ) 2sinx ，由 k (k Z)及 (0 ，)，可得 .3326f(x) Asin( x ) B(A>0 ， >0 ，| 0 ，3. 如图所示的是函数)图象的一部分，2则 f(x)的解析式为2 答案 f(x) 2sin 3 x 6 1解析由于最大值和最小值之差等于4，故 A2，B1.由于 2 2sin 1，且 | 0 ，得 .26由图象知 () 2 k(k Z)，222 得 2 k 3(k Z)又 >2 ，文档标准实用文案20< <1. .32 函数 f(x) 的解析式是 f(x

18、) 2sinx 1.364 (2012 ·四川改编)如图，正方形 ABCD 的边长为1 ，延长 BA 至 E，使 AE 1 ，连接 EC、ED，则 sin CED _.10答案10解析方法一应用两角差的正弦公式求解由题意知，在Rt ADE 中，AED 45 °，在 Rt BCE 中， BE2 ， BC 1 ，12CE5 ，则 sin CEB， cos CEB.55而CED 45 °CEB，sin CEDsin(45 °CEB)2 (cos CEB sin CEB)222110×5.2510方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解由题意得

19、ED2，EC122 2 5.在EDC 中，由余弦定理得CE2 DE2 DC23cos CED2CE·DE10 ，10又 0< CED< ，sin CED1 cos 2CED文档标准实用文案3101 102.10105. 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC，AD AB，AD 1，BC2 ，AB3， P 是 BC 上的一个动点，当 PD·PA取得最小值时，tan DPA 的值为 _12答案35解析如图，以 A 为原点，建立平面直角坐标系xAy ，则 A(0,0) ，B(3 ，0) ， C(3,2) ， D(0,1) ，设CPD ，BPA ，(3 ，) (0 2

20、)PyyPD( 3,1 y )， PA ( 3， y) ， 1352 y 2 ，· PD PAyy9241 P 3 ，1，当 y 时， PD·PA取得最小值，此时22易知|DP| AP|， .3在ABP 中， tan 6 ，122tan 12tan DPA tan( )2 1 .tan35【题型深度剖析】题型一三角恒等变换例 13 3sin cos 2 1设 < <， sin ，求的值3445tan 思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系3 解方法一由 < <，34文档标准实用文案 3得 < <，又 sin ，1242454

21、所以 cos .45所以 cos cos( ) 442 cos cos sinsin，44441072所以 sin.10sin 2sin 2 145 2故原式sin cos(1 2sin).50cos3，得 sin32方法二由 sin cos ，455两边平方，得 1 2sincos18，257即 2sin cos >0. 253 由于 < <，故 < < .3432)2 1 2sin32因为 (sin coscos ，2542故 sin cos 5，722解得 sin，cos.下同方法一1010探究提高三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，

22、角的转化是三角变换的“灵魂” 要注意角的范围对式子变形的影响文档标准实用文案sin4 3，则 sin 7 【训练 1 】已知 cos 的值是656()232344A 5B.CD.555答案C43334 3? sin4解析cos sin?sin cos ，65225657 4 sin .所以 sin 665题型二三角函数的图象与性质例 2(2011 ·浙江)已知函数 f(x) Asin(x )， x R， A>0,0<<， y f(x)的部分图32象如图所示， P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为 (1， A)(1) 求 f (x)的最小正周期及的值；

23、2 (2) 若点 R 的坐标为 (1,0) ，PRQ，求 A 的值3思维启迪： 三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决2 解(1) 由题意得T 6.3因为 P(1 ，A )在 y Asin(x )的图象上，3所以 sin( ) 1.3又因为 0< <，所以 .26(2) 设点 Q 的坐标为 (x0 ， A)文档标准实用文案3 由题意可知x0，得 x 0 4 ，所以 Q(4 ， A)3622 连接 PQ ，在PRQ 中，PRQ，由余弦定理得3RP2 RQ2PQ2A29 A2 94A21cos PRQ，解得 A2 3.又 A>0 ，2RP

24、3;RQ2A· 9A22所以 A3.探究提高本题确定 的值时，一定要考虑的范围；在三角形中利用余弦定理求A 是本题的难点【训练 2 】已知函数 f(x) Asinx Bcosx(A， B，是常数， >0) 的最小正周期1为 2 ，并且当 x 时， f (x)max 2. 3(1) 求 f (x)的解析式；2123(2) 在闭区间，上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果44不存在，请说明理由(1) 因为 f (x)A 2 B2 sin( x )，由它的最小正周期为2解2，知 2 ， ，11又因为当 x 时， f (x)max 2，知 2 k(k Z)， 2

25、k (k Z)，3326 2sin x所以 f (x)2sin x2 k.66故 f(x)的解析式为 f(x) 2sin x . 6(2) 当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称1211235965轴，令 x k (k Z)，解得 x k ，由k ，解得12k ，又62343412文档标准实用文案2123上存在 f(x)的对称轴，其方程为16k Z ，知 k5 ，由此可知在闭区间，x .443题型三三角函数、平面向量、解三角形的综合应用已知向量 m 3sinxxx例 3， 1 ， n cos， cos 2.4442(1)若 m ·n 1 ，求 c

26、os x 的值；3(2)记 f (x)m ·n ，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b ，c，且满足 (2 ac)cosB b cos C，求函数 f(A)的取值范围思维启迪： (1) 由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值(2) 在ABC 中，求出A 的范围，再求f(A)的取值范围(1) m ·n xxx解3sin·coscos 24441 cosx32x1xsin2 sin2 ，2262m ·n 1 ，sinx16 .22cosx1x1 2sin 2 ，32622 1cos x cosx .332(2) (2 a c)cos B b

27、cos C，由正弦定理得(2sin A sin C)cos B sin Bcos C，2sin Acos B sin Ccos B sin Bcos C.2sin Acos B sin( B C)A B C，sin( B C) sin A0.1A2cos ，0<< ， .0<< .BBB323文档标准实用文案 A A1 <2 <2， sin， 1 .66262又f(x) sinx1 .262 (A) sinA1 .f2623故函数 f (A)的取值范围是1，.2探究提高(1) 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数

28、问题(2) 三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响【训练 3 】在ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b ， c，且 lg a lg b lg cosB lg cos A0.(1) 判断ABC 的形状；(2) 设向量 m (2 a，b )，n (a， 3 b )，且 m n ，(m n )·(n m )14 ，求 a， b ，c的值解(1) 因为 lg alg b lg cosB lg cos A 0 ，a cos B所以1，所以 sin 2 Asin 2 B 且 ab .b cos A因为 A ，B (0 ，)且 AB，所以

29、2 A2B，即 A B且 AB.2所以ABC 是非等腰的直角三角形(2) 由 m n，得 m ·n 0.所以 2 a2 3 b2 0.由 (m n )·(n m )14 ，得 n2 m 2 14 ，所以 a2 9 b 24 a2 b 2 14 ，即 3 a2 8 b 2 14. 文档标准实用文案联立，解得a6 ， b 2.所以 ca2 b 210.故所求的 a， b ，c 的值分别为6 ， 2，10.【高考中的平面向量、三角函数客观题】x典例 1 ： (5 分)(2012 ·山东)函数 y 2sin(0 x9) 的最大值与最小值之和为()63A23B0C 1D 1

30、3考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想解题策略根据整体思想，找出角x的范围，再根据图象求函数的最值63 x 7 解析由题意.3636画出 y 2sinx 的图象如图，知，当 x3时， y min 3.63 当 x3 时， y max 2.62故 ymax ymin 2 3.答案A解后反思(1) 函数 y Asin( x )可看作由函数y Asin t 和 tx 构成的复合函数(2) 复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到典例 2 ：(5 分 )(2012 ·天津)在ABC 中，A90 °，AB 1 ，AC2.设点 P，Q 满足 APAB ， ，则 等于()AQ(1 )AC， R.若 BQ ·CP 21B.24A.C.D 2333考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力文档标准实用文案解题策略根据平面向量基本定理，将题中的向量 BQ ，CP分别用向量 AB， AC表示出来，再进行数量积计算解析BQ AQ AB (1 )ACAB ，CP AP AC AB AC， 222 4(1) 342，即 .· ( 1)ACABBQ CP3答案B解后反