交通系统中的混沌现象研究进展和展望-

1、 孙连菊1,21 曲阜师范大学运筹与管理学院,日照(2768262 北京交通大学轨道交通控制与安全国家重点实验室,北京(100044摘要: 混沌理论是揭示自然界及人类社会中普遍存在的复杂性的理论,混沌表现的是确定性的非线性系统的貌似无规则的内在随机性。近四十年来,混沌理论的应用已渗透于各个学科。交通系统是复杂大系统,组成系统的各元素之间存在的非线性关系是混沌存在的根源。本文首先简单介绍了混沌理论的基本概念、基本特征及其研究内容,然后介绍了交通流行为,交通分配与交通需求,交通管理与控制中的混沌现象以及交通流的混沌预测方法等研究的现状,分析了交通系统中混沌理论和应用研究两个方面存在的问题,最后对今

2、后的研究方向进行了展望。关键词: 交通系统,混沌,交通系统,交通流中图分类号:U491.1+12/O415.51. 引言二十世纪的科学大事当推相对论和量子力学, 此外唯一可与之相提并论的当属非线性混沌理论,混沌被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命, 它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线, 将经典力学研究推进到一个崭新的时代郑会永等(1998。混沌理论揭示的是自然界及人类社会中普遍存在的复杂性, 是有序与无序的统一、确定性与随机性的统一。混沌表现的是确定性的非线性系统的貌似无规则的内在随机性,复杂系统所表现的非线性动力学性质,是混沌存在的根源。复杂系统是自然和社会事物存在的普遍形式

3、。非线性混沌科学不但在认识论上有重大的哲学意义, 在求解基本问题时有重大科学意义, 而且在研究生态环境、医疗诊断、经济发展、科学决策等问题时, 都有重要应用价值。混沌及其动力学问题的研究覆盖了自然科学和社会科学各个领域, 它的发展必将影响和引发人们自然观的巨大改变。60年代混沌学研究热潮悄然兴起,渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域,成为一门新兴学科。并取得了一些价值很高的应用成果。特别是,混沌理论在气象预报、股市预测和信息加密技术等方面的成功应用,使混沌理论展现出无穷的魅力王东山等(2003。交通系统是复杂大系统,组成系统的各元素之间存在着复杂的非线性关

4、系,必然导致一些混沌现象的产生。例如:拥挤的马路上车辆时走时停;交通事故导致的交通堵塞;城市中有的道路车水马龙,而有的道路人车稀少,商业区和人口密集的地方交通拥挤不堪,而有的地方交通却宽松有余;一条道路上的交通流存在着高峰期和低峰期,随时间在不断地变化,而且每天都遵循着同样的变化规律;不同的人选择的交通方式不同,而各种交通方式的交通量却遵循一定的变化规律等等。在这些常见的交通现象中,都有混沌的影子。国内外已经开始了对交通中的混沌现象的研究,并取得了初步的成果。从各种数据库检索1本课题得到曲阜师范大学硕士科研启动基金的资助。-1- 2. 混沌的基本概念和基本特征对于混沌、混沌系统的概念,自然科学

5、界、哲学社会科学界各有带着自己学科色彩的解释,至今并没有公认的严格定义。一般认为,将不是由随机性外因引起的,而是由确定性方程(内因 直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌(唐巍等, 2000。为了便于后面的说明和理解,先简要地介绍混沌的基本概念和性质。2.1 混沌概念的演化混沌理论是从研究非线性相互作用系统而逐步发展起来的。19世纪50年代,许多物理学家在理论与实验的研究中都曾发现了与混沌和与混沌类似的现象。1963年,美国麻省理工学院教授Lorenz研究“长期天气预报”问题时,在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。多次计算表明,初始条件的极微小差异,均会导致计算结果的很大不同。Lorenz

6、用一种形象的比喻来表达他的这个发现:一只小小的蝴蝶在巴西上空煽动翅膀,可能在一个月后的美国得克萨斯州会引起一场风暴。这就是混沌学中著名的“蝴蝶效应”,也是最早发现的混沌现象之一。Lorenz的进一步研究发现,有些系统对确定的初始值从数学上讲能给出一个确定的解和过程,但在某些系统中,这个过程由于对初始值的依赖性十分敏感,因而从物理上看到的结果似乎是随机的过程(杨日萍,1997。这种随机过程中的无规则性,就是现代科学所说的“混沌”。混沌的原意指的是在确定性非线性系统中,不需要附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为(内在随机性,是一种既有确定性又有随机性的绞合状态。是指一种确定的系统中出现的无规则的

7、运动,这种无规则运动并不是杂乱无章, 而是一种深刻、复杂的行为。目前,科学家给混沌下的定义是:混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动,一个确定性理论描述的系统,其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测,这就是混沌现象,简单地说,混沌本质上是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的对初始条件具有极度敏感依赖性的回复性的非周期性行为状态。进一步研究表明,混沌是非线性动力系统的固有特性,是非线性系统普遍存在的现象。混沌学的任务就是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律,以求利用这些普遍遵循的共同规律来解决一大类复杂系统的问题。1963年,Lorenz发现混沌吸引子, 宣告了混沌时代的

8、到来,在短短的四十多年间,关于混沌及其应用的研究取得了丰富的成果。2.2 混沌的基本特征物质世界中的混沌现象随处可见,它把表象的无序性与内在的规律性结合在一起,具体地说,它有如下几个基本特征:(1 内部随机性体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则行为。混沌系统内的局部不稳定正是内随机性的特点,也是对初值敏感性的原因。-2- (2 分维性系统运动轨迹在相空间的几何形态可以用分维来描述。系统的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭曲,构成具有无穷层次的自相似结构,这种结构就是著名的奇怪吸引子,“吸引子”是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态。(3 系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性

9、这是混沌系统的典型特征,意指初始条件的十分微小的变化经过不断放大,对其未来状态会造成极其巨大的差别。如果称处于复杂有序运动体制的系统为混沌系统,那么混沌系统的基本特征可以归为以下几点:对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、不可分解性与不稳定性,另外还具有规律性成份、遍历性、分形性和自相似性。这些特征是各种混沌判别方法的依据(王东山等, 2003,此外,(吴彤,2000还给出了更为详尽的混沌的特征和判断方法,此处不再重述。2.3 混沌系统理论自1963年Lorenz发现混沌现象以来, 混沌研究已取得了很大的进步。混沌作为数学的一个分支, 不但促进了新的数学理论、数值计算和实验方法的蓬勃发

10、展, 而且在计算机模拟、虚拟现实、航空航天、材料科学、力学等领域获得了越来越广泛的应用, 成为一门新兴的学科, 显示出巨大的经济效益和优越性。正如杨家富等(2003所述:混沌理论的提出是一场科学革命,倡导和推动这一场革命的不只是物理学家,气象学家、生态学家、数学家、生理学家、计算机专家在其中起了重大作用。混沌学的应用不限于物理学,几乎涵盖了一切科学领域。混沌学代表着一场波及一切研究领域的十分广泛的科学革命。凡是受到牛顿力学确定性可预见性思想影响的学科领域,都会受到混沌学革命大潮的冲击,这其中当然也包括交通科学。混沌系统理论主要包括混沌产生的机理及预测、混沌性质与行为的描述、混沌造型、分类理论与

11、结构理论,上述三种理论应用于混沌分析的技术以及典型混沌系统的应用性理论。对于混沌产生的机理,伍言真等(1997陈述列举了混沌机理研究的主要成果,从广义上说, 混沌的同步、控制、检测和吸引子重构等方面的理论也属于机理研究的范畴。3. 交通系统中混沌现象研究的现状据资料显示,最早是由J.E. Disbro和M.Frame 于1989年把混沌引入交通领域,他们探讨了GM跟车模型在各种设定参数下的混沌现象(E.N. Lorenz,1997,1993年Johanns和Roozemond 只是用混沌思想来支持其全方位的交通管理策略但是并未研究交通系统中混沌问题本身,近些年来,关于交通中的混沌现象的研究文献

12、迅速增加。从应用领域来看,交通混沌的研究主要集中在交通流行为的混沌研究上,对交通其它方面的混沌现象研究很少。具体地说,关于交通中的混沌现象的研究有如下几个方面。3.1 交通流行为中的混沌研究交通流常常表现为不规则的复杂行为。交通流的复杂行为是否存在混沌,以及如何判别交通流中的混沌,这是人们关注的问题之一。揭示交通流中存在混沌现象的早期文献可以追溯到1994年,Dendrinos试图通过交叉路口实-3- 用各种方法来判断交通流中的混沌现象的研究占据了主流。替代数据方法是判定时间序列中是否具有混沌特性的一种有效方法,李英等(2000介绍了该方法中一种基于关联维数的混沌判据,并通过计算实测交通流时间

13、序列说明交通序列中含有混沌特性。Safonov et al.(2002研究了由时间延迟和车流密度的变化所引起单车道交通流的混沌现象,他们用功率谱和关联维来分析响应时间序列,表明系统存在混沌。卢宇等(2005以关联维数作为混沌判据,应用改进型替代数据法对微观实测交通流的时间序列进行了混沌判别。商朋见等(Shang, et al. 2005就从北京市西直门收集来的交通数据用非线性时间序列分析法进行了分析,发现交通系统的显著混沌特征,并提出基于动态相空间技术可以用来预测交通速度。他们还基于相空间重构和关联维方法对不同时间尺度的交通时间序列进行了非线性分析,虽然没有能够证明交通转化的动态过程中存在混沌

14、行为,但是提供了不排除这种可能的线索(Shang, et al. 2006。另一类判定方法就是利用模型进行仿真。张智勇等(2001分别基于Greenhields模型和Greenberg模型研究了交通流混沌。通过系统仿真技术及Lyapunov指数法定量地讨论了跟驰车辆的混沌特性,得出交通流存在混沌的结论。贺国光等人作了一系列的研究来说明跟驰模型产生的交通流存在着混沌现象,并且作了相应的仿真模拟和分析并说明交通流混沌具有传播特性(贺国光等,2003b, 2003c, 2003d, 2004a, 2004b;Tong Li, 2005。王辉球等(2005利用simu1ink软件基于皮埃莱跟驰模型,建

15、立了由十辆车组成的车队的动态仿真模型,得出皮埃莱跟驰模产生的交通流存在混沌现象。交通流中混沌时间序列分析法也有许多成果,李克平等(Li, et al., 2004b, 2005利用非线性时间序列分析法以及元胞自动机模型研究了交通流的复杂动态特性,尤其是非线性时间序列分析法,通过在重构的相空间中求得交通时间序列的规则吸引子和混沌吸引子,结果表明非线性技术可以成功的用于揭示交通流从有序到无序的动态转变。国外学者Nagatani作了一系列的研究,表明交通流存在混沌现象(Nagatani, 1999, 2003, 2004, 2005a, 2005b, 另外还有人将Hölder指数应用于交通

16、拥挤预警(Shang, et al., 2006,Kamarianakis等(2005研究了时间-空间自回归整合移动平均的应用,提出交通流的一种时空模型。3.2 交通流预测的混沌方法研究短期交通流预测是智能交通系统的理论基础和关键技术,近年来一直是智能交通系统的研-4- 判断交通流序列是否具有混沌特性是基于混沌理论预测的前提。关于交通流的可预测性,王进等(2005b分析了交通流历史数据样本的大小和数据中含有的噪声对交通流可预测性的影响以及随着预测步长的增知交通流可预测性衰减的特征。得出交通流可预测性是一个综合指标,不能仅以最大Lyapunov指数的倒数来确定,应综合分析考虑。并且其结果在实际的

17、交通流数据中得到了验证。交通流预测方面与混沌有关的文献大多集中于预测方法,而大多数的预测方法都是基于相空间重构的,最常用的是时间序列预测法。李克平等(Li et al., 2003a提出了基于混沌吸引子的时间序列预测法。李克平等(Li et al., 2002,2003b提出并不断改进混沌时间序列预测技术,通过抛弃局部Lyapunov指数特别大的那些预测邻点的方法使得预测误差不断减小。宗春光等(2003用混沌理论分析方法从非线性时间序列预测的角度对交通流量预测进行了研究,通过计算交通流系统相空间重构参数,给出了一种基于相空间重构理论的局部预测方法。黄鹍等(2003根据交通流已被证明的混沌特性,

18、采用非线性混沌模型来分析交通流时间序列,提出了新的预测模型,并运用遗传算法对模型参数进行了优化辨识。董超俊等(2004根据城市交通特点引入误差反馈系数,改进了混沌时间序列预测方法中的加权一阶局域法和基于最大Lyapunov指数的预测法,并将其成功应用于实时交通量预测。王正武等(2004利用Hurst指数识别高速公路短期交通流时间序列的长程相关性和长记忆性,并通过计算序列的互信息,分析了短期交通流混沌序列的可预测程度及预测精度。王进等(2005a研究并验证了基于相空间重构加权一阶局域的短期交通流预测方法。Smith等(2002比较了参数与非参数的短期交通流预测模型。将混沌理论和神经网络相结合,然

19、后从非线性时间序列预测的角度对交通流量进行预测也是一种有效的方法(Li, et al., 2001,2002;唐志强等,2005。另外有学者还提出了基于模糊神经网络(Yin, et al., 2002、遗传算法(Vlahogianni, et al., 2005小波分析的预测方法。杨立才等(2005提出了一种基于小波网络的路段交通流预测方法,把混沌优化算法引入小波网络的拓扑构造,给出了一种基于混沌优化算法的小波网络交通流量预测模型,且通过实验表明该算法的小波网络在交通流预测的精度和收敛速度方面明显优于常规BP网络。3.3 交通分配与交通需求方面的混沌研究在交通分配与需求方面,尚未检索到有关文献

20、,但在王东山等(2003中提到了有关研究,现在直接引用如下:乔林(1996借用logistic模型对交通运输需求系统产生混沌的过程进行了分析研究,得出的结论是,在一定条件下系统会出现混沌现象,表现出对初始条件敏感依赖性且运量不可预测。X. Zhang et al. (1998利用改进的重力模型对路网交通流进行了研究,用Lyapunov指数法和分形维法判别配流变化的混沌,找到了3个子区交通流在一定初始条件下的混沌吸引子。-5- 用混沌来研究路网交通分配和需求的确是非常有重要意义的探索。它既加深了人们对交通混沌现象的认识,也深化了人们对交通配流变化规律的认识,说明了有序来自于混沌和混沌来自于有序的

21、道理。3.4 交通管理与控制中的混沌现象研究诸多学者对混沌这一新兴学科在交通中的体现进行了细致的分析,最终的目的还是试图以之作为新的工具来解决日趋严重的各种交通问题。对交通管理和控制中的混沌现象的认识还为数不多,且还仅仅囿于分析阶段,有关应用的探讨则刚刚起步。张秀媛博士(2001在其博士论文中曾运用混沌理论分析交通运输的结合部问题,并首次提出在交通运输的结合部边界的众多子系统的变化呈多种演变结果的混浊现象。张秀媛等(2001a采用lotka-volterra 模型就运输市场需求层次和政策导向等因素对交通运输结合部的管理系统进行分析,表明该系统存在着混沌,并提出了建立交通运输混沌式管理模式的设计

22、思想。张秀媛等(2001b提出了综合运输枢纽内企业间合作动因双赢思想的精髓“和”正是一种双赢的分析处理组织内部矛盾的混沌方法。应用方面也有了一些尝试,Shahverdiev, et al.(1999利用离散动态系统的参数转变法研究了二维交通流模型中的混沌控制问题,同时考虑了立交桥(高架桥,车辆的不均匀分布以及同向车辆阻塞的影响。杨瑞等(2004以交通流这种非线性动力系统为研究对象,研究了交叉口的实施智能控制,建立起对城市主干道交通流的智能控制体系。李克平等(Li, et al., 2004c通过在指定路段地点设计一种控制信号提出了控制交通无序的新方法。Dong, et al.( 2005基于H

23、opfield网络和混沌理论提出了反馈多层混沌神经网络,这一网络可以有效地用于处理城市交通信号配时。Lo, et al.(2005基于交通中的流量-密度-速度基本图及Greenshield模型提出了一种离散动态模型控制方法,控制者通过设计吸引子对交通流的混沌行为实施控制。Bazzan(2005基于城市交通混沌现象提出了一种交通信号智能体协调的分布式方法。Nagatani(2006研究了往返车辆的动态行为特性及其混沌控制方法,指出即使在没有噪声的情况下这些车辆的行为依然表现出确定性混沌特征。4. 交通系统中混沌现象研究的问题与展望前面所述文献中得出了一致的结论:交通流存在着混沌,交通系统存在着混

24、沌。这为研究交通系统中的混沌现象提供了理论根据,从1989年第一篇文献发表算起,交通系统混沌现象研-6- 从理论研究上看,目前的研究主要集中在交通流中混沌现象的存在性研究上,多半将重点放在混沌现象的判别上,且多是借助于已有的模型来探索混沌的存在性。因而目前的混存研究只是抽象意义上的混沌,没有直接的实用价值,而且交通中其他方面的混沌现象与机理研究都较少,我们应该针对实际的更为复杂的交通流情况和交通中的其他领域和认识范围进行研究,并且直接基于实际交通系统来研究混沌的理论性问题,开创新的混沌判别方法才是更为重要的方向。从应用研究来看,把混沌理论应用于交通运输实际工作的成果多数集中于交通流的预测方法研

25、究上,少有文献把交通的混沌研究与交通的实际管理和控制结合起来。目前的研究还只是停留在从理论层面或者小规模甚至是几条路段的管理和控制上,极少有应用混沌理论来解决交通系统的系统问题。因此,我们希望把混沌理论融合到实际的交通规划、管理和控制中去,真正的解决系统问题,获得突破。如伍言真等(1997所言,从目前趋势看,混沌系统理论将向三个方向发展: 应用、综合和创造比较复杂的数学工具, 以求机理研究、分类与构造理论等的逐步发展,寻找数学和物理模型的新范例,研究应用理论和工程系统。在第一个方向上, 需要数学家的创造和与物理、工程专家的协作。交通系统作为一个复杂大系统,其中处处存在着混沌,用先进的混沌理论来

26、分析研究交通中存在的问题是一个全新且具有广阔前景的方法,有助于人们把握交通系统的规律性,为解决交通问题开辟新的途径。交通系统中混沌理论的研究刚刚起步,且是一个数学、物理学、非线性科学与交通等学科的交叉点,尽管研究难度较大,但各个学科领域的研究工作者们必将会越来越重视,该领域的研究成果也一定会源源不断地涌现出来。-7- 参考文献1 Dendrinos, D.S, (1994 Traffic-flow dynamics: A search for chaos J. Chaos Solitons and Fractals, 4(4, 605-617.2 Addison, P.S., Low, D.J

27、, (1996 Order and chaos in the dynamics of vehicle platoons J. Traffic Engineering and Control, 37 (7/8, 456-459.3 乔林, 1996 交通经济交互作用中的混沌现象D. 北方交通大学硕士学位论文.4 杨日萍, 1997 混沌理论人类观察世界的新窗口J. 南昌水专学报, 16(1, 77-80.5 伍言真, 丘水生, 1997 非线性系统理论及混沌研究的动态和评述J. 电路与系统学报, 2(3, 62-66.6 Lorenz, E.N. 著, 刘式达等译, 1997 混沌的本质M. 北

28、京: 气象出版社, 186-195.7 郑会永, 肖田元, 王新龙, 韩向利,1998 混沌及混沌保密通讯技术J. 中国图象图形学报, 12, 1042-1050.8 王亦兵, 韩曾晋, 史其信,1998 高速公路交通流建模J. 系统工程学报, 13(2, 83-89.9 冯蔚东,1998 基于自组织理论的交通流及其管控研究D. 天津大学博士学位论文: 天津.10 Zhang, X.Y., Jarrett, D.F,(1998 Chaos in dynamic of traffic flows in an origin -destination network J. American Inst

29、itute of Physics, 8(2, 503-513.11 Nagatani, T., (1999 Jamming transition in traffic flow on triangular latticeJ. Physica A , 271, 200-221.12 Shahverdiev, E.M., Tadaki, S.,(1999. Instability control in two dimensional traffic flow model J. Physics Letters A, 256, 5558.13 唐巍, 李殿璞, 陈学允,2000 混沌理论及其应用研究J

30、. 电力系统自动化, 7, 67-70.14 吴彤, 2000 非线性动力学混沌理论方法及其意义J. 清华大学学报(哲学社会科学版, 15(3, 72-79.15 李英, 刘豹, 马寿峰, 2000 交通流时间序列中混沌特性判定的替代数据方法J. 系统工程, 18(6, 54-58.16 张秀媛, 2001 交通运输结合部系统理论与方法研究D. 北方交通大学博士论文: 北京.17 张秀媛, 达庆东,2001a 交通运输结合部系统管理的内耗与混沌现象分析J. 系统工程理论与实践, 12, 90-94.18 张秀媛, 张国伍,2001b MAS协商在交通运输企业中的应用J. 交通运输系统工程与信息

31、, 1(3, 226-231.19 张智勇, 荣建, 任福田, 2001 跟驰车队中的混沌现象研究J. 土木工程学报交通工程分册 1(1, 58-59.20 Li, K.P., Chen, T.L., (2001 Nonlinear time series prediction using chaotic neural networks J. Communications in Theoretical Physics, 35(6, 759-762.21 Li, K.P., Chen, T.L., (2002a Phase space prediction model using neural

32、networks J. Communications in Theoretical Physics, 38(3, 313-316.22 Li, K.P., Chen, T.L., (2002b Phase space prediction model based on the chaotic attractor J. Chinese Physics Letter, 19(7, 904-907.23 Safonov, L.A., Tomer, E., Strygin, V.V., Ashenazy, Y., Havlin, S., (2002 Delay-induced chaos with m

33、ultifracal attractor in a traffic flow model J. Europhysics Letters, 57 (2, 151-157.24 Akritas, P., Akishin, P.G., Antoniou, I., Bonushkina, A.Y., Drossinos, I., Ivanov, V.V., Kalinovsky, Y.L., Korenkov, V.V., Zrelov, P.V., (2002 Nonlinear analysis of network traffic J. Chaos, Solitons and Fractals,

34、 14, 595606.25 Yin, H.B., Wong, S. C., Xu, J.M., Wong, C. K., (2002 Urban traffic flow prediction using a fuzzy-neural approach J. Transportation Research Part C, 10(2, 85-98.26 Smith, B.L., Williams, B.M., Oswald, R.K., (2002 Comparison of parametric and nonparametric models for traffic flow foreca

35、sting J. Transportation Research Part C, 10(4, 303-321.27 Nagatani, T., (2003 Complex behavior of elevators in peak traffic J. Physica A, 326, 556566.28 贺国光, 王东山,2003a 交通流的有序运动与混沌运动相互转化现象的仿真研究J. 土木工程学报, 36(7, 53-56.29 王东山, 贺国光,2003b 交通混沌研究综述与展望J. 土木工程学报, 36(1, 68-74.30 贺国光, 万兴义, 王东山,2003c 基于跟驰模型的交通流

36、混沌研究J. 系统工程,21(2, 50-55.31 贺国光, 万兴义, 2003d 基于最大Lyapunov 指数的交通流仿真数据混沌状态识别J. 自动化技术与应用, 22(4, 8-10,13.32 宗春光, 宋靖雁, 任江涛, 胡坚明, 2003 基于相空间重构的短时交通流预测研究J. 公路交通科技, 20(4, 71-75.33 杨家富, 杨家宽, 2003 试论混沌理论对现代科学技术的影响和作用J. 南京林业大学学报(人文社会科学版, 3(3, 20-26.34宗春光, 宋靖雁, 任江涛, 胡坚明, 2003 基于相空间重构的短时交通流预测研究J. 公路交通科技, 4, 11-15.

37、35 Akritas, P., Akishin, P.G., Antoniou, I., Bonushkina, Y. A., Drossinos, I. V., Ivanov, V., Kalinovsky, Y.L.,-8- 36 黄鹍, 陈森发, 周振国, 亓霞,2003 城市交通流量的非线性混沌预测模型研究J. 东南大学学报(英文版, 19(4, 410-413.37 Li, K.P., Chen, T.L., Gao, Z.Y., (2003a Time Series Prediction Based on Chaotic Attractor J. Communications on

38、 Theoretical Physics, 40(3, 311-314.38 Li, K.P., Gao, Z.Y., Chen, T.L., (2003b Improving the prediction of chaotic time series J. Chinese Physics, 12(11, 1213-1217.39 Li, K.P., Gao, Z.Y., (2004a Transition from Disorder to Order in Traffic Flow J. Chinese Physics Letter, 21(7, 1212-1215.40 Li, K.P.,

39、 Gao, Z.Y., (2004b Nonlinear dynamics analysis of traffic time series J. Modern Physics Letters B, 18(26/27, 13951402.41 Li, K.P., Gao, Z.Y., Chen, T.L., (2004c Controlling disorder in traffic flow by perturbation J. Communications in Theoretical Physics, 42(5, 711-714.42 杨瑞, 李洋, 吕文超, 2004 城市干路交通流实施

40、混沌智能控制方法的研究J. 林业机械与木工设备, 32(10, 22-23.43 董超俊, 刘智勇, 邱祖廉, 2004 基于混沌理论的交通量实时预测J. 信息与控制, 33(5, 518-522.44 王正武, 黄中祥, 况爱武, 2004 短期交通流序列混沌识别及预测精度分析J. 长沙交通学院学报, 20(2, 73-76.45 Nagatani, T., (2004 Dynamical transitions in peak elevator traffic J. Physica A, 333, 441452.46 贺国光, 王东山, 2004 仿真交通流混沌现象的传播特性研究J. 土木

41、工程学报, 37(l, 70-73.47 贺国光, 万兴义, 2004 基于混沌判据评价几类跟驰模型合理性的仿真研究J. 系统工程理论与实践, 4, 123-129.48 卢宇, 贺国光, 2005 基于改进型替代数据法的实测交通流的混沌判别J. 系统工程, 23(6, 21-24.49 王辉球, 缪立新, 吴逝江, 2005 基于跟驰模型的交通流混沌研究J. ITS通讯, 1, 19-22.50 杨立才, 贾磊, 何立琴, 孔庆杰, 2005 基于混沌小波网络的交通流预测算法研究J. 山东大学学报(工学版 , 35(2, 46-49,98.51 唐志强, 王正武, 招晓菊, 李宏,2005

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43、., Nagai, R., (2005 Chaotic and periodic motions of two competing vehicles controlled by traffic lights J. Chaos, Solitons and Fractals, 25, 245253.56 Shang, P.J., Li, X.W., Kamae, S., (2005 Chaotic analysis of traffic time seriesJ. Chaos, Solitons and Fractals, 25, 121128.57 Li, T., (2005 Nonlinear

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