数值计算方法计划试题集及答案x

1、枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马。夕阳西下，断肠人在天涯。数值计算方法复习试题一、填空题：410AA1 41、101 4,则A的LU分解为O1410A1A116 41答案：04/15156 153、f(i)1, f(2)2 f(3) 1G J丿，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为1 1L2(x)(x 2)( x 3) 2(x1)( x 3)_(xl)(x 2)答案：1,22、近似值x* 0.231关于真值x0.229有(2 )位有效数字；4、设f(x)可微，求方程* 珂乂)的牛顿迭代格式是()；5XXn f ( Xn )n 1X 答案1 f(Xn)6、对 f(

2、x) x3 x 1，差商 f0,l,2,3 (1)J0,l,2,3,4(0 )；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间,b)内的根时，二分 n次后的误差限为b a(2nl)；10、已知f(l) = 2, f(2) = 3, f(4)=59,则二次Newton插值多项式中x?系数为(0.15)；11、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)o34612、y 10为了使计算X 1 (X I)2 (X I)3的乘除法次数尽量地少，应将该表1y 10 (3 (46t)t) t, t1达式改写为._x 1 ,

3、为了减少舍入误差，应将表达式' 2001 '1999 改写为13、用二分法求方程f（X） x3 x 1 °在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间 ，进行两步后根的所在区间为为 0.5,10.5, 0.75o3xi 5x210 2 x 4x14、求解方程组12。的高斯一塞德尔迭(k 1)XIX2 I)(k)(1 5 X2 )/3汕MO 该迭代格式为代格式的迭代矩阵的谱半径（二1215、设o, f(l) 16, f(2)46 侧 li (x)11（X）x( X的二次牛顿20插值多项式为 N2(x)16x 7 x( x 1) o、求积公式bf ( x)dxanAk f

4、（ xk ）的代数精度以（高斯型）求积公式为最高，具有（2n 1）次代数精度。21、次。如果用二分法求方程X 4 0在区间内的根精确到三位小数，需对分（10S(x)D3a( x l)2 b(x22、a二(31 ( X), 1 ( X),0 1已知23、k 0，2b=(3,1 (x)n 是以整数点 ° x l.(x )k0k JC),=(X , X ,125、区间上的三次样条插值函数26、改x 127、若用二分法求方程f X次。1） c 1 x 3是三次样条函数，则19 X"为节点的Lagrange插值基函数，则n(x4 x2 3)1 (x)kkkk 0）,当n女X）在a，b

5、上具有直到2阶的连续导数。x （ x 1）的形式，使it算结果较精确在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分)o1028XI 1.6x2Xi k 1k 1出求1.6X2*X20.4xi531、，肿32、33、设矩阵若3）34.线性方程组3x436、二、设矩阵单项选择题:1、0.4xiX27的 Gauss-Seidel1.60.64,迭代矩阵为-，此迭代法是否收敛2x211 ,则差商 f2,4,&16,323 的最小二乘解为分解为A LU ,则UJacobi迭代法解方程组Ax b的必要条件是（10321迭代公式_收敛_。8、C aii o, i2 2A 05设0 01,2,

6、 , n317,则 3)为(c ).D12A2B. 5C 7D34、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B ）A.对称阵B正定矩阵C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误并是（A ）产生的误差。(A)1AA的各阶顺序主子式不为零B.A.只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。A. 6B5C4D77、用1+x近似表示e*所产生的误差是(C)误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A )oA控制舍入误差B减小方法误差C.防

7、止计算时溢出D.简化计算X、用_3Jl x所产生的误差是(D)误差。91 +A舍入B观测C.模型D.截断10、324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A5B. 6C 7D. 8则抛物插值多项式中/的系数为(A11、设 f(-l)=l,f(0)=3,f(2)=4,XA.-0.5B 0 5C. 2D212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )oA3B4C5D213、(D)的3位有效数字是0.236X102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 102(C) 235.418(D) 235.54 X 10 114用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，

8、把方程f(x)=0衣示成x二(x),则f(x)=0的根是(B )o(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与y二(x)的交点3xi X2 4x31XI 2X29X3015、用列主元消去法解线性方程组4X13X2 X3第1次消元，选择主元为(A) o(A) -4(B) 3(C) 4(D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C )。(A) f(x,xO,xl ,x2, - ,xn)(x xl)(x x2) - (x xn l)(x xn),Rn (x) f ( x)(B)f n 1

9、)()Pn(X)(n 1)!2710(C) f(x,x0,xl,x2,xn)(xxO)(x xl)(x x2)(x xn l)(x xn),f(n 1)()Rn ( X) f ( X) Pn(X) nl( X)(D) (n 1)!18、用牛切法解方程f(x)=O ,初始xO足(A ),它的解数列xnn=0,l,2,一定收到方程f(x)=O的根。(A)f(xo)f (x) 0 (B)f(xo)f(x) 0 (C)f(xo)f (x) 0 (D)f(xo)f(x) 019、求方程x3x21=0在区1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相的迭代公式，迭代公式不收的是(A )o(A)i

10、，迭代公式:XkX 1Yxk 1X(B)3(C)x2迭代公式21/3:Xk(1 Xk)x3X 2 ,迭代公式:Xk I(D)21、解方程组Axb的简单迭代格式X(k I) BX(k)s收敛的充要条件是(1，23、有下列曹农 Uc $U.D1132±7507251,(B) 1)0(3)(A)(1)(A)(2)(B)1 ,所确定的插值多项式的次数是(1)(2)三次;(4)五次25、取31.732 计算 x厂(3)四次；V(3 I)4,下列方法屮哪种最好?(A) 28、由下列数农iftfj NewtuiH插值,V走的抽値多项°式的最咼次数心()3 51A 厶 J1比(D)(C)

11、3；(B)4；(D)2o2：；(C)2 3)2 :(A)5；11 Xk29、计算的Newton迭代格式为(A)Xk 3；瓦；(B)XkXk2Xk ； (D)30、用二分法求方程*3 次数至少为()(A)10；(B)12 ；4x 210(C)8；o在区间匚2】内的实根,要求误差限为-1210则对分(D)9 o32、设 li(x)是以 Xk k(kX(A)(B)35、已知方程x3)为节点的插值基函数,kli(k)(C) i；(D) lo0在x 2附近有根，下列迭代格式中在Xk 1xk r Xkxo2不收敛的是(2xi?3xk2 2。X01234|f(x)1243-5|(B)Xk(D)确定的唯一插值

12、多项式的次数为 ()(A)4；(B)2 ；(C)l ；(D)3 o三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打X “k I 2 Xk 5 (A)-36、由下列数据1、已知观察值' i yi)(i 0 1 2m)，用最小二乘法求n次拟合多项式P/X)的次数n可以任意取。、用21X2孑近似表示COSX产生舍入误差。22XO )( x X2X0 )( XI2)表示在节点XI 的二次 拉格朗ti插值基函数。( )4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()311253、矩阵12 5具有严格对角占优。5A=四、计算题:4xi2 X2X3 1 1XI4 X2 2x3

13、 181、用高斯塞德尔方法解方程组2xix2 5x3 22,取 x(°)(0,0,0)T ,迭代四次(要求按五位有效数字计算)0kX1G)X2(k)X3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192Xl(k 1)X2(kl)X3(k I)答案：迭代格式Xl(k 1)X(2k 1)-(11 2x2(k)X3(k)4811z(Xl(k 1)2x3(k)2(22、已知Xi1345f(Xi)2654P (x)分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式3

14、 ，并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(x 3)( x 4)( x 5)(x 1)( x 4)( x 5)L3 ( x) 2 6答案：(13)(1 4)(15)(3 1)(34)(3 5)5 (x 1)( x 3)( x 5)4 (x 1)( * 3)( x 4)(4 1)(4 3)(4 5)(5 1)(5 3)(5 4)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245115410/1 41P3 (x) N3(x) 2 2(x 1) (x l)(x 3) ( x 1)( x 3)( x 4)4f(2) P3(2) 5.55、已知Xi21012f(Xi)42135求f(x)的二次拟合曲

15、线P2( X并求f(0)的近似值。答案：解：1XiyiXi2Xi3Xi4xi yiXi2 yi0-244-816816 111211122201000003131113342548161020015100343415ao 10a215lOai3正规方程组为lOao 34a241103ao 9 a 1，玄2171014p2 ( x) 103 XLLX2P2 (X) -3LLX710141073f (0)P2 (0)106、已知sin x区间0.4, 0.8啲函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin 0.

16、63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差I R （ x） I Ml I （x）l23!3尽量小，即应使1 3（X）l尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果sinO.638910.596274,sin 0.63891A |( 0.638913!0.5962740.5)(0.638919 0.6)(0.638910.00.55032107、构造求解方程°x性，并将根求出来,lOxI Xn 12 0的根的迭代格式Xn 1(xn), n0,1,2,，讨论其收敛xn I10 4答案：解：

17、令 f（x）ex10x2,f(0)2 0, f(l)10 e且 f(x) ex 10），故 f (x) 0在（0,1）内有唯一实根.将方程f（X）0变形为(2 ex)10x则当 （0,1）时ex（X）(2 eX) I ( X)I1010e-110故迭代格式Xn 11(2 exn)10n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 0080.5,计算结果列表如下:lxx 1 0.000 000 9510 6*X0.090 525 008

18、且满足76所以XI2 X23x3142 xi5x22x3188、利用矩阵的LU分解法解方程组3xiX25x320。11 23ALU 2114答案：解：35124令 Lyb 得 y (14, 10, 72)T ,Uxy得x(1,2,3) 丁 .3xi 2x210x31510xi 4x2 X3 59、对方程组2xi 10x2 4 X3 8（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;（2）取初值x（°）（0,0,0）T ,利用（1）中建立的迭代公式求解，要求II x（k 1） x（k）|10 3解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x14 X2 X3 52 xi 10

19、X2 4 X3 8 3x12 X2 10 X3 15故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为Xl(k1)4x2*)x3（k）5)X2(k1)110(2xi(k U4 X3(k)8)x3(k1)-H103xl(k 1)2x2(k1)15)取x（°）（0,0,0） 丁，经7步迭代可得:TX*x (7)(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010).10、已知下列实验数据 x11 361 Q52.16f(Xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0<x<l时,f（X）ex,则f (x)要求近似值

20、有5位有效数字，只须误差e e d y,且。x有一位整数.Rl(n)(t|)丄 1042 12n 2Rl(n)(ex)12n2亠 110412n22即可，解得k 10 267.30877'6111xi4543X21211、用列主元素消元法求解方程组211X311O11145431254312ri 1*21114解：211112111115431254312F2-ri50-4_2-8F2门0-434-92555555门一 ri13179128500555555154312F3r2130131795555501313回代得X31,X26, XI3 o所以n 68 ,因此至少需将0,1 68

21、等份。12、取节点Xo0, xi 0.5, X2，求函数f（ x） ex在区间0,1上的二次插值多项式P2 ( x) e 0 (x 0.5)( x1-) e 0.5 (x 0)( x解：(0 0.5)(01)(0.5 0)(0.51)e 1( x 0)( x n 5)(1 0)(10.5)2(x 0.5)( x 1) 4e 0,5 x( x 1) 2e 1 x( x 0.5) f ( x) e x,f(x) e x , M 3 max If ( x) I 1 又X 0,11I R ( x) I I e x P (x) I _ I x( x 0.5)( x 1) I 故截断误差223!o15、用

22、牛顿(切线)法求 的近似值。取xo=1.7,计算三次，保留五位小数。解：“£是f(x) x 23 0的正根，f(x)2 x,牛顿迭代公式为Xxn2 3Xn3n 1xxn (n 0,1,2,)2Xn ,即22xn取xo=l .7,列表如卜:n123Xn1.732351.732051.73205L ( x)16、已知f (-1)=2, f(l)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式2 V丿及f(l, 5)的近似值, 取五位小数。L2 (x)2 (X 1)( x_巧 3 (x 1)( % 2)4 (x i)( x 1)解:(1 D(12)(1 1)(12)(2 1)(2 1)23_

23、(x l)(x 2)_ (x 1)( x 2)4一 (X1)( x1)323f(1.5) L2 (1.5)10.0416724301xi5131X2118、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组1 14X3 =8 ,取x(°)二(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为：Xl（kl）丄（3X3（k）5）X2（kl）丄（Xl（k 1）X3（k）1）3X（k 1）丄（X（k 1）X（k 1）8）43 0113 1系数矩阵11 4严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x（°）二（0,0,0）T,列表计算如下：kXl

24、（k）X2（k）X3（k）11.6670.889 2.19522.3980.867-2.38332.4610.359 2.52620、（ 8分）用最小二乘法求形如 y a bx2的经验公式拟合以下数据:Xi19253038yi19.032.349.073.32解：spanl, x AtI19 22521 1312 382yT 19.0 32.349.073.3解方程组At ACAtAATy3391173.6其屮33913529603ATy179980.7C解得：0.92555770.0501025所以a0.9255577 ,b 0.050102522、（ 15分）方程£Xnl对应迭代

25、格式迭代格式n 1 精确到小数点后第三位。1；（2）x解：（1）Xn3Xn1O判断迭代格式在-2（x） b （x 1） 31.5附近有根，把方程写成三种不風的笔价形式X f 1nl V7nn :（ 3）1*对应迭代格式xn 1.50的收敛性，选一种收敛格式计算x1（1.5）0.18 故收敛;x y1）3 X 1x 31对应1.5附近的根,(2)2x2 (4 丄VX,(1.5!)(3)(x)3x2 ,(1.5)3 1.52xo 1-5xi 1.3572 X2选择(1)：(X)10.17 1,故收敛；1,故发散。1.3309 X3 1.3259 x4 1.3249x5 1.32476, X6 1.

26、3247223、( 8分)已知方程组 AX f,其中4 324A 341 f 301424(1) 列岀Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。Xi(k 1)4 (243x2(k)4X2(k i) 4(303xi") X3(k)4 1X3(k D - (24 X2(k)4解：Jacobi迭代法:xi(k1)X9(k .1X2 1)4X3(k 1)丄(24 3x2(k)4(30 3xi(k i)X3(k)J24 X2ZGauss-Seidel 迭代法:1Bj D (L U)k 0,1,2,3,31、)0.790569(12

27、分)以 100,121,144为插值节点，用插值法计算皿的近似值，并利用余项估计误差。k 0,1,2,3,28V115用Newton插值方法：差分表:100100.047619012111-0.00009411360.04347831441210+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)= 10.7227555H 115100 115121 115 1441 3?一一100 215 6 29 0.001636 833、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组XI4X22X3243xiX25X3342xi6X2X3273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 233334.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 233334.33330.0 0000 1.93759.6875x 2.0000,3.0000,5.0000135xi122X234、（