(完整word版)线性代数试题及答案(word文档良心出品)

1、线性代数习题和答案一、单项选择题（本大题共一个是符合题目要求的,第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。a11a12=m,a13a11a21a22a23a211.设行列式=n，则行列式A. m+n C. n- maii ai2 +ai3 a21 a22 十a23B. - (m+n)D. m- n等于（2.设矩阵A=1-20y o 0 1-20 1-2 o厂3-123.设矩阵A=10-1-214丿，A *是A的伴随矩阵，贝y A1-30中位于（1 , 2）的元素是（10B. 6D.-)B. B HC 时

2、 A=0D. | A0 时 B=CAT)等于()B. 2D. 4A. -6C. 24. 设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（A. A = 0C. A HO 时 B=C5. 已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A. 1C. 36.设两个向量组a 1, a 2,a s 和 3 1, 3 2, ,3 s均线性相关，则()A.有不全为0的数入1,入2,-，入s使入1 a什入2 a 2+- + 入 sa s=0 和入13 1+ 入 2 3 2+-入s 3s=0B.有不全为0的数入1,入2,，入s使入1(a1+ 3 1)+入2(a 2+ 32）+入s ( as+ 3 s)=0C.有不全为0

3、的数入1,入2,，入S使入1(a1- 3 1)+入2(a 2- 32）+入s ( as- 3 s)=0D.有不全为0的数入1,入2 ,，入s和不全为0的数卩1 ,卩2,，s使入1 a什入.2 a 2+ +入 s a s=0和卩1 3 1+卩2 3 2+卩S 3 s=0)7. 设矩阵A的秩为r,则A中（A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，B.所有r- 1阶子式全为D.所有r阶子式都不为2是其任意2个解，则下列结论错误的是A. n什n 2是Ax=0的一个解C. n 1-n 2是Ax=0的一个解9. 设n阶方阵A不可逆，则必有(A.秩(A

4、)3)阶方阵，下列陈述中正确的是(A. 如存在数入和向量a使A a =入B. 如存在数入和非零向量C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量11B. - n 1+- n 2是 Ax=b 的一个解22D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解)B.秩(A )=n - 1D.方程组Ax=0只有零解)a ,则a是A的属于特征值入的特征向量a ,使(入E - A) a =0，则入是A的特征值D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值, 入3的特征向量，贝y a 1, a 2, a 311. 设入0是矩阵A的特征方程的3重根，有( )A. k 3C. k=312. 设A是正交矩阵，则下

5、列结论错误的是(A.| A|2 必为 1.- 1. TC. A = A13. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为(:a 1, a 2, a 3依次是A的属于入1,入2, 有可能线性相关A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为 k，则必B. k3)B.| A必为1D. A的行(列)向量组是正交单位向量组B=C TAC 则()(2A. rI102-3G 1 13D.;12 00-35丿46丿B-l：2第二部分二、填空题(本大题共 10小题，每小题 小题的空格内。错填或不填均无分。1525非选

6、择题(共72分)2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每163616. 设 A =f T弋117. 设 A =(aij)315.2-2Aij表示A |中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则11 X 3 ,|A|=2 ,2 2 2(a11A21+a12A22+a13A23) +(a21A21 +a22A22+a23A 23) +(a31A21+a32A22+a33A23) =18. 设向量(2, -3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，贝U a=19. 设A是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20. 设A

7、是m X n矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个 数为.21. 设向量a、3的长度依次为2和3，则向量a + B与a - 3的内积(a +3 , a - 3 ) =-13J.则 A+2 B=22.设3阶矩阵A的行列式|A 1=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为23.设矩阵A =1110-3106-3 ，已知8丿是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为.24.设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为三、计算题(本大题共 7小题，每小题4,正惯性指数为3，则其规范形为6分，共42分)25.设A上1-126.试计算行列式00 , B=1丿

8、3-521(2:；1.求（1） ABT ； （2） |4A L110-5-13132-4-127.设矩阵A =30，求矩阵B使其满足矩阵方程 AB =A+2B3丿28.给定向量组a 1=1,a 2=,a 3=0,a 4=-102243丿4丿l1丿9丿试判断a 4是否为1 -22.329.设矩阵A =I a-24-131,-1203a 2,0623a 3的线性组合；若是,2 -63 .4丿则求出组合系数。求：(1)秩(A);(2) A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A= -22-2424的全部特征值为1 ,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T1AT=D .31. 试用配方法化下列

9、二次型为标准形2 2 2f(x 1 ,X2 ,X3)= x 1 +2X2 -3X3 +4X1X2 4X1X3 -4X2X3 , 并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分) 1= E+A+A 2E 1, E 2是其导出组Ax=O的一个基础解系.32. 设方阵A满足A3=0 ,试证明E- A可逆，且(E- A厂33. 设n 0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，试证明(1) n 1= n 0+ E 1, n 2= n 0+ E 2 均是 Ax=b 的解；(2) n 0, n 1, n 2线性无关。共28分）5.C答案：一、单项选择题(本大题共14小题，每小题

10、2分，1.D2.B3.B4.D6.D7.C11.A12.B二、填空题（本大题共9.A14.C8.A13.D10空，每空2分，共20分）10.B15.6G 316.17.418.-019.n 1+c( n20.n-r21.-522.23.177丿2- n 1)(或 n 2+c( n2- n 1）, c为任意常数三、计算题（本大题共1T -7小题，02每小题一2）6分，共42分）25.解(1) AB = 3-1=MB13VV-127.解6103(2) |4A|=4 A|=64|A而0A |=317251-11-513-41113-1201-100101-53-3-5-53012所以 |4A 1=6

11、4 (- 2) =- 12826.解111-15T10=-2.1-5-5-6-6-5_5=30 +10 =40.广223-40328?03280006-20003-1Q00-217丿Q0000丿(1 )秩(B)=3,所以秩（A)=秩(B)=3.=B.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B的列向量组的一个最大线性无关组，故A个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）的2个线性无关的特征向量为址/5 =2J5/15经正交标准化，得n 1=45/5,n 2=4J5/15、0丿卫/3丿入=-8的一个特征向量为30.解 A的属于特征值入=1E 1=（2，- 1，

12、0）T，E 2= （2, 0, 1） T.J*1、所求正交矩阵为对角矩阵（也可取31解 f(Xl, X2,fy1 =X1 设!y2 =2J5/5-75/500、2715/154/5/1575/30 .-8丿2/15/15-J5/3上5/1521/32/3-2/3Z0 2J5/50伍/ 52 2 2X3)= ( X1+2X2- 2X3)- 2X2 +4X2X3- 7X3 =(X1+2X2- 2X3) - 2 ( X2-X3) - 5X3 +2X2 2X3X2 X3因其系数矩阵X3C 1C = 10I0-2101/32/3-2/3 丿2 .即iX2x3=yi.)2y2y2 +y3y301可逆，故此线性变换满秩。1丿f(X1, X2, X3)的标准形2c2L2y1 - 2y2 - 5y3 2小题，每小题5分，共10 分) (E+A +A2) =E- A3=E ,经此变换即得四、证明题(本大题共32证由于(E- A)所以E- A可逆，且(E - A) -1= E+A+A2 33.证 由假设 A n 0= b, AE 1=0, A E 2=0.(1) An 1=A ( n 0+ E 1) = An o+A