16圆的方程与直线和圆的位置关系

1、圆的方程与直线和圆的位置关系一、知识梳理1. 圆的定义：在平面内，至U 的距离等于的点的叫圆2. 圆的标准方程：圆心为 C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为 .圆的一般方程： ，其中圆心为 ，半径为3点与圆的位置关系：设点 P(x0,y0)，圆 C: (x -a)2 (y -b)2 =r2(1) 当(xoa)2十(y°b)2=r2 时，则；(2) 当(xoa)2+(y。 b)2>r2 时，则；(3) 当(xoa)2+(y° b)2v r2 时，则.4.直线与圆的位置关系：设直线 1 : Ax + By +C = 0 ,圆 C : (x -a)2 + (y _b)2

2、= r2,并设圆心C到直线丨的距离为d(1) l与C相交二 直线与圆的方程组成的方程组有个解，A 0或dr :(2) l与C相切二 直线与圆的方程组成的方程组有个解，氐0或dr :(3) l与C相离二 直线与圆的方程组成的方程组有个解，卜 0或dr.5.圆与圆的位置关系：设圆。1，圆。2的半径分别为A , 2，圆心距OQ2二d ,(1)若d AA十山，则两圆：(2 )若d =十2，则两圆(3)若 ri _r2| <d cr +r2，则两圆 ； (4)若 d = ri，则两圆；(5)若 d < a -r2，则两圆 .二、填空题1. (*)过点P(-2,2)，圆心是C(3,0)的圆的方

3、程为 .2. (*)直线x y 5=0被圆x2 +y2 4x + 4y+4 = 0截得的弦长为 .3. (*)从圆(x1)2 +(y 1)2 =1外一点P(2,3)向圆引切线，则切线长为 .4. (*)过点A(4,1)的圆C与直线x y1=0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为 .5. (*)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l : y = x-1被圆C所截得的弦长为2 2，则过圆心且与直线 丨垂直的直线的方程为 .6. (*)已知圆心在x轴上，半径为.2的圆C位于y轴左侧，且与直线 x y=0相切，则圆C的方程是.2 27. (*)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆x y

4、=4上有且仅有四个点到直线12x-5y c = 0的距离为1,则实数c的取值范围是 .8. (*)直线y=kx+3与圆(x3)2+(y 2)2 =4相交于M , N两点，若 MN|工2运，则k的取值范围是.9. (* )若直线y=x+b与曲线y =3_j4x_x2有公共点，则b的取值范围是 .10. (* )如果圆(x-a)2 (y-a)2 =4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是.三、解答题11. (* )求经过点 A(4,3) , B(5,2), C(1,0)的圆的方程方法提炼：12. ( *)过点P(-3, /)作直线l，当直线丨的斜率为何值时，(1) 直线 l 将圆(x

5、 -1)2 - (y 2)2 =4平分？2 2(2) 直线l与圆(x -1)(y 2) =4相切？(3) 直线l与圆(x -1)2 - (y 2)2 =4相交，且所截得的弦长为2？方法提炼：13.( * )已知实数x、y满足方程x2 y2 - 4x 1 =0.(1) 求的最大值与最小值；x(2) 求yX的最大值与最小值；(3) 求x2 y2的最大值与最小值；方法提炼:14. (* )已知圆 C : (x -1)2 (y -2)2 二 25及直线 l : (2m1)x (m 1)y 二 7m 4(m R).(1) 证明：不论 m取什么实数，直线丨与圆C恒相交；(2) 求直线l被圆C截得的弦长的最

6、短长度及此时的直线方程；方法提炼： 15.( * )在等腰 ABC 中，已知 AB = AC，B(-1,0)，D(2,0)为 AC 的中点.(1)求点C的轨迹方程;(2)已知直线 l : x y -4 =0 ,方法提炼：四、作业总结:答案：1. (x - 3)2 y2 = 29 ；2. .14 ；3.2 ；4. (x - 3)2 y2 = 2 ； 5. x y - 3 = 0 ；2 26. (x 2) y =2 ; 7. (-13,13) ; 8.一|,0 ;9.1一2运,3 ; 1°.(一竽，乎 U(¥£11.解：设所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F =

7、 0，由题得:4D 3E F 25 =0D - -6-2I彳5D +2E +F +29 = 0，解得彳 E =D F 1=0故所求圆的方程为 x2 y2 - 6x - 2y *5=02412.解：(1)由题得，直线过圆心(2)设直线丨的方程为y 4(1,一2) , k 2 41+3二 k(x 3)，即 k y k 4 0,由题得4解得k = 0或k .3(3)设直线丨的方程为y 4 =k(x 3)，即kx 一 y 3k -4 =0 ,27，解得"节|k +2 +3k 4 由题得:Pk2 +113解：(1) x2 y2 -4x，1 =0可化为(x-2)2 y2 =3，其表示以点(2,0

8、)为圆心，.3为半径的圆，设 y=k，即y=kx，当直线y = kx与圆相切时，斜率 k取最大值和最小x 亠2k-0|=-、3，解得 k _. 3，故=.3 ,-3.4x max亠x miny =x b，当直线y = x b与圆相切时，纵截距 b取最大值和最=3 ,解得 b = -2 二 6 ,故 y - x m ax = -2 6 ,Vk2 +1(2)设 y -x =b，即值，此时I Xmax小值，此时 _V2_y _ X min=-2_、622(3) x y表示圆上点与原点距离的平方，由平几知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2 ,故maxX2 y

9、2i - '2-7 4 3 , X2 y2 i 巳2 - .衣=7 - 43.14 (1)证明：由(2m1)x (m 1)y = 7m 4(m R)得 m(2x y -7) (x y - 4) = 0 ,2x 亠 y. 7 0 f x - 3解 y 一得 -, 直线丨恒过定点(3,1), ； (3-1)2 (1-2)2 =5 ： 25 X y _4 二0 y 二1点(3,1)在圆内部.不论m为何实数，直线丨与圆C恒相交.(2)解：由(1)得直线丨恒过定点(3,1)，由平几知识知当直线丨过点(3,1)且与此点的圆C的半径垂直时，直线丨被圆所截得的弦长AB最短，由垂径定理知CxA B =

10、2、2r 一 C M 2 5 一 ( 3 2 1 )(1451 1此时k丨 丄 丄 2 ,kCM2 -11-3故直线丨的方程为y_1=2(x_3)即2x_y_5=：0.15 .解：(1)设 C(x, y),D(2,0)为 AC 的中点，.A(4-x,-y).2 2B(-1,0)，由 AB = AC，得 AB 二 AC .(x5)2 y2 =(2x4)2 (2y)2 . 整理得(x-1)2 y2 =4 .A , B , C三点不共线，.y = 0 . 则点C的轨迹方程为(x -1)2 y2 = 4(y严0).(2)解法1 ：由条件，易得直线 BE的方程为x - y 1 = 0 设直线CF的方程为x - y b = 0 ,当EF取得最大值时，直线CF与圆(x-1)2 y2 = 4相切.1 0+b| 设 M(1,0)，由 _! =2，得V2