3导数的应用2

1、欲速则不达，见小利则大事不成镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案3导数的应用2-研究函数的极值、最值复习目标：掌握求函数的极值、最值的导数方法及一般步骤，会运用比较法确定函数的最值点.重点难点：1 求函数的极值点应先求导，然后令 y =0得出全部导数为0的点，(导数为 0的点不一定都是极值点，例如y=x3，当x=0时，导数是0,但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为02 可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和

2、端点的函数值比较求得。【典型例题】题型一：求函数极值例1 .设a为实数，函数f (x) = x3 - x2 - x a.(1) 求f (x)的极值；(2) 当a在什么范围内取值时，曲线 y=f(x)与x轴仅有一个交点.例 2.已知 f (x) = ax3 bx2cx(a = 0)在 x =1 和 x = -1 处取得极值，且f (1) = -1.(1 )试求实数a, b, c的值.(2)试判断x =1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由11变式：函数f (x) =x3 3ax2 - 3(a - 2)x 1既有极大值又有极小值，求a的取值范围题型二：求最值例3 .已知函数f (x) = ax3

3、 - bx2 cx在点x0处取得极小值4，使其导函数f (x) 0的x 的取值范围为(1, 3)(1) 求f (x)的解析式及f (x)的极大值；(2) 当 x 23时，求g(x)二 f (x)6(m -2)x 的最大值。例 4.设函数 f(x)3x3 2ax_3a2x b，0。(1)求函数f (x)的单调区间、极值；(2)若X 0,3 a，试求函数f (x)的最值.【课后作业】1.函数f(x) =x3 ax2 3x -9,已知f (x)在x - -3时取得极值,则a =1322.已知f(x)是三次函数,g(x)是一次函数，且 f(x) 1 g(x)= x3+2x+3x+7, f(x)在x=1

4、处有极值2,求f(x)的解析式。3.已知：f (x) =2x3 -6x2 a(a为常数)在-2,2上有最大值是3,那么-2,2在上的最 小值是4.函数 f(x)=exsinx在区间0 上的值域是IL 25.函数f (x)二x 2 cos x在区间0,上的最大值为-2在区间 0,2二】上最大值为 .6. 设函数 f(x) -2x3 -3(a 1)x2 6ax 8,(1) 若f (x)在X = 3处取得极值，求实数 a的值；(2) 若f(x)在-：,0上为增函数，求实数 a的取值范围7.设函数f (x) x3 bx2 cx，已知g(x)二f (x) - f / (x)是R上的奇函数.求:(1) b

5、, c的值.(2) g(x)的单调区间和极值.8.已知定义在R上的函数f(x) =x2(2ax-3)，其中a为常数(1) 若a _0,求证：函数f (x)在区间(一 ：,0)上是增函数；(2) 函数g(x)二f(x) + f (x),xe0,1，在x = 0处取得最大值，求正数a的取值范围.329.已知函数f (x) =x ax bx c,在曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)的切线方程为 y=3x+1 ;(1)若函数f (x)在x = -2处有极值，求f (x)的表达式；(2) 在(1)的条件下，求函数 y=f(x)在3, 1上的最大值；(3) 若函数y二f (x)在区间2, 1

6、上单调递增，求实数 b的取值范围.答案：【典型例题】例 1. (1)极大值 f(_1)= 5 a ,极小值 f (1) = _1 a3275(2) a 127例 2.解：(1) f/(x) =3ax22bx c,由 f，(1) =0 , f，(-1) =0 , f(1) = -1 解得(2 )f (X)=亠3233f /(x) x2 ，当 X 1 或 x 1 时 f /(x)0 ,当22-1 ：x ：1时，f/(x) ：0.函数在-：，-1和1,= 上是增函数，在 -1,1上是减函数所以，当X = -1时，函数取得极大值f(_1)=1 ；当x=1时，函数取得极小值f(1) = _1./ 2 /

7、变式.解: f (x) =3x - 6ax - 3(a - 2)，由题意，f (x) = 0有两个不等的实根，即0 , 解得a 2或a ： -1.例 3解：(1)由题意知 f (x) =3ax2 2bx c = 3a(x -1)(x - 3)(a ： 0),在(：,1)上, f (x) : 0,在(1,3), f(x) 0,在(3,：)上,f (x) : 0.因此f(x)在X。=1处取得极小值4,在x=3处取得极大值。a b c - -4,f (1) = 3a 2b c = 0,f (3) = 27a 6b c = 0,解之得a 二-1,b =6,c 二-9,f (x) = -x3 6x2 -

8、9x.则f(x)在x =3处取得极大值f(3) -0.(2) g(x) - -3(x -1)(x -3) 6(m-2)x - -3(x2 -2mx 3),当 2 乞 m 乞3时，g(x)max = g(m) =3m2 9;当 m ：2时,g(x)在2,3上单调递减,g(x)max 二 g(2) = 12m - 21 ；当 m 3时,g(x)在2,3上单调递增,g(x)max 二g(3)=18m-36例 4.(1) f (x)二-x2 4ax -3a2.令 f (x)二 0 ,解得 x = a或x = 3a ；列表：x(-00, a)a(a,3a)3a(3a,母)f (x)一0+0一f(x)递减

9、43-a +b3递增b递减由表可知：当(c,a)时，函数f (x)为减函数；当(3a,v)时，函数f (x)也为减函数；当(a,3a)时，函数f (x)为增函数.4 3当x=a时，f (x)的极小值为a b ；当x=3a时，f (x)的极大值为b.3(2) x0,3a，列表如下:x0(0, a)a(a,3a)3af (x)一0+0f (x)b递减43.,一 -a +b3递增b由表知：当(0,a)时，函数f (x)为减函数；当(a,3a)时，函数f (x)为增函数.当x=a时，f (x)的最小值为a3 b ；当x = 0或x = 3a时，3f(x)的最大值为b.【课后作业】1.5322. f(x

10、)= x +2x -x+23. -37n4. 0,e?5. 解:/(x) = 1 -2sinx ,0si nx1，此时，函数在0,上为增-6函数，在一，一 上位减函数，比较 f (0), f(), f()可知，此时函数的最大值为IL6 262f(6)U 3 ;同理，在区间 0,2二1上最大值为f(2J=2 2.6. 解：(1) f/(x6x2 -6(a 1)x 6a，f (x)在 x =3 处取得极值，则 (3)=0，解 得a =3，经检验知当a = 3时，x = 3为f (x)的极值点.(2)令 fx) = 0，解得 x1 = a 或 x2 =1.当 a ： 1 时，若 x (v,a) (1, ：)，则 f /(x) 0，所以 f (x)在(-二，a)和(1,=)上为增函数，故当 0乞a：1时，f (x)在-：,0上为增函数.当 a _1 时，若 x ( -：,1) 一(a, ：)，则 f /(x) 0 ,所以 f (x)在(-：,1)和(a, ：)上为增函数，所以f(x)在-二，0上也为增函数.综上所述，当a0：)时，f (x)在:i.-匚?,0上为增函数.7. 解：(1) g(x) = f (x) - f / (x) = x3 (b -3)x2 (c - 2b)x - c由 g (0) = 0 得 c=0，再由 g( 0，即恒有 3x2 -bx b _0.