4.2一元二次方程的解法(判别式)

1、班级姓名4.2学号一元二次方程的解法（4）5学习目标1、能用b2-4ac的值判别一元二次方程根的情况2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2-4ac对根的情况的判断作用 3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 学习重点：一元二次方程的根的情况与系数的关系 学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值教学过程一、情境引入：1. 一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么?x=-b±Jb2-4ac般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（aM0）,当b2-4ac0时，它的根是2a用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式

2、，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，当b2-4ac>0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac<0时，方程 无实数解（根）2. 用公式法解下列方程: x+ x1 = 0 X2-23x+3 = 0 2 x22x +1 = 03观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系 数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢?、探究学习:1尝试:不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？2 x 3x = 32 2 x+ 2x 8 = 0 x = 4x 4（答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没

3、有实 数根）问题：你能得出什么结论？可以发现b2-4ac它的符号决定着方程的解。2.概括总结.由此可以发现一元二次方程af+bx*c =0 (a工0)的根的情况可由b4ac来判定:当b 4ac>0时，方程有两个不相等的实数根当b 4ac =0时，方程有两个相等的实数根当b 4ac < 0时，方程没有实数根我们把bb-4ac=16-4 x 1X( -2) =16- (-8 ) =16+8=2>0该方程有两个不相等的实数根3.移项，得 4x2+3x+1=0/b2-4ac=9-4 x 4X 1=9-16=-7<04ac叫做一元二次方程aX2 + bx+c =0 (a工0)的根

4、的判别式。、【/若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢?当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2 4ac>0当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2 4ac =0、【/当一元二次方程没有实数根时，b24ac < 03.概念巩固：(1)方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=、X2 +4x=2 ；2X -2mx+4 (m-1) =0，所以方程的根的情况是(2) 下列方程中，没有实数根的方程是()2 2A. X =9B.4x=3(4x-1)2C.x(x+1)=1D.2y+6y+7=0(3) 方程aX+bx+c=0(a哮10实数根，那么总成立的式子是()2 2

5、A.b -4ao0B. b-4ac<0C. b2-4ac w 0D. b2-4ac >04. 典型例题:例1不解方程，判断下列方程根的情况:1、-X2 +2%/6x-6=0 ；223、4x +1 = -3x4、解：1. b2-4ac=24-4X( -1 )x( -6) =0该方程有两个相等的实数根22.移项，得 X +4x-2=0该方程没有实数根2 2 2 24. /b-4ac= (2m 2-4x 1 x 4 (m-1) =4nn-16 (m-1) =4m-16m+16=(2m-4) >0该方程有两个实数根例2 : m为任意实数，试说明关于x的方程x2-( m-1)x-3(m

6、+3)=0恒有两个不相等的实数 根。解:b2 -4ac = L(m -1 p -4 3(m +3 卩2=m +10m+37=m2 +10m + 52-52 +37= (m+52 +12不论m取任何实数，总有(m+5 2>0 b2-4ac= (m+5 2+12>12>0不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根例3: m为何值时，关于x的一元二次方程2X2- (4m+1) x+2m2-1=0：(1) 有两个不相等的实数根?(2) 有两个相等的实数根?(3)没有实数根？解：a=2, b=- (4m+1), c=2m2-1222- b-4ac=- (4m+1)-4X 2 (2

7、m -1) =8m+9(1)若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0(2)若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0 若方程没有实数根，则b2-4acv 09 即 8m+V0'mv89 当0>_ 时，方程有两个不相等的实数根89当m=_时，方程有两个相等的实数根89当mv 时，方程没有实数根8例4：已知关于x的方程kx2( 2k+1) x + k+3 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：方程有两个不相等的实数根2(2k+1) -4k (k+3)>02 24k2+4k+1-4k-12k>0 -8k+1> 0 即 kv -85. 巩固练习：

8、练习1.不解方程，判断方程根的情况：2 2 2 2 (1) x+3x-1=0;(2)x -6x+9=0;(3)2y-3y+4=0(4)x+5=2j5x练习2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。 练习3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于X的一元二次方程(a+b x2+2cx+ (a+b) =0的根的情况是()A没有实数根B、可能有且仅有一个实数根C有两个相等的实数根 D 、有两个不相等的实数根。三、归纳总结：一元二次方程的根的情况与系数的关系？b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情 况下判断一元二次方程的根的情况；反

9、过来由方程的根的情况也可以得知)2-4ac的 符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。【课后作业】学号.班级姓名1、元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根D.不能确定C没有实数根22、如果方程9x-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= 3、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 无实数根D.不能确定4、关于X的方程x2+2jkx+1=0有两个不相等的实数根，则k()A.k>-1B.k 场 C.k> 1 D.k >05、已知方程x2-mx+n=0有两个

10、相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m=,n=.6、若方程kx2 -6x +1 =0有实数根，则k的范围是7、若关于X的一元二次方程mx2 - 2x +1 = 0有两个相等的实数根，则m = &不解方程，判断下列方程根的情况(1) 2x2+x-6=0 ;(2) x2+4x=2 ；(3) 4x2+1 =-3x(4) 3x2-x + 1 = 3x(5) 5 (x2+1) = 7x(6) 3x243x = -49、k取何值时，关于X的方程2x2-(k+2)x+2k-2=0有两个相等的实数根？求出这时方程的根。10、已知关于X的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数