束缚态和散射态

1、实用标准文案(0)精彩文档束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态散射态束缚态：在势阱中E Vo情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的 解才是有物理意义的。散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于0 0,态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论2 2、势阱中的束缚态对势阱，有V(x) (x)，(0)见右图。在x 0处，V(x) 0。E 0为游

2、离态(自由态)，E E 可取任何连续值。定态 SchrodingerSchrodinger 方程为,积分lim dx可得出势阱跃变条件,0与势垒跃变条件比较：(0 )(0 )鬱(0)E 0时则可能存在束缚态，此时E E 取分立值。以下讨论E 0的情况。d22m.22Edx(x)0(0 ) (0 )2m2实用标准文案精彩文档0区域，SchrodingerSchrodinger 方程可以写成为(x)其中亠0，(E 0)解为x，可写为AexBex，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。考虑到V( x) V(x)，要求束缚定态有确定宇称(不简并，因为是一维)，(a)(a)偶宇称态(x)xcexce或

3、写成(x) ce|x|c c 为归一化因子。现在根据跃变条件求解。按的跃变条件,2m因此可得出粒子能量的本征值E。2m由归一化条件| |2dx |c|2/1,可得出c. m /21八L,2L / m是势的特征长度。这样归一化的束缚定态波函数可写为实用标准文案精彩文档所以3势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见 P60P60 思考题）。2 2、势与方势的关系，跃变的条件3势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。Eo（X）|x|/L这是3势阱中的唯一束缚态。属于能量在|x| L中找到粒子的几率为2 | (x) |2dx e20.1

4、353L(b)(b)奇宇称态波函数可表为(x)AexAex由x 0点波函数连续性条件可得A 0,所以不可能存在奇宇称束缚定态。从物理上考虑，奇宇称态在波函数x 0点必为 0 0。而3势阱又恰在点x 0起作用。从3势求解更为方便。不连续，但粒子流密度jx连续。实用标准文案精彩文档以下仅讨论的跃变条件。考虑粒子对方势垒的散射。V(x)|x|x|在其内部，SchrodiSchrodi ngernger 方程为实用标准文案精彩文档考虑粒子能量E Vo情况，在势垒内部（|x|），波函数可表为（x） AexBex其中,.2m（VE）/。显然(0)A B，而且(AexBex)。现在让Vo，0，而对3势垒，V

5、（x）dx(x)dx若保持2 Vo（常数），则方势垒将趋于一个3势垒(x)。利用()(AeBe),()(AeBe ）得，()()A(e e )B(ee )当0，V。（保持2、V）时，,2mV3/0但222mV0/m /2且当0时，e 1代入()() A(e e)B(ee )，由()()A(ee)B(ee )得lim ()(0)lim0A(2)B(2)lim022(A B)2m2-(0)即(0 )(0、2m 4、)2(0)此恰为前述的跃变条件。dx22m(VoE)实用标准文案精彩文档2 2、束缚能级与透射振幅极点的关系束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。散射问题中我们取

6、E 0,而在势阱束缚态的E 0。对E 0的透射振幅，S 1吟系。先讨论3函数势阱,由前可知，此恰为3势阱的唯一束缚能级。对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。作业：p82p8213133.53.5 一维谐振子如把E 0的透射振幅解析延拓到E0时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关V(x)(x),0)此时透射振幅由S 1罟2k1im其中k . 2mE /,(E 0)。（注意已将势垒透射振幅表达式中的如解析延拓到E00能阈（k为虚），由im1，则 S S 有单极点（一阶极点此时，E2k22m实用标准文案精彩文档势能为:V(x)1kx2m是粒子的质量k是谐振子的劲度系数k是谐振子的角频率m

7、7li=-bqu llbrpjm、薛定谔方程及解d22m获FEV(x)0d2dx212 2、mx 理想的谐振子是一个无限深势阱。因为|x|时，V(x)(x)0为束缚态。为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数,x，. m /，2E/上述方程可化为d22)()0经典物理的谐振子模型： 分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动量子物理的谐振子模型：黑体辐射场量子化等，把场中的粒子看作谐振子一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点， 则一维线性谐振子的EwigtIl WTMjJlMi诚卯1实用标准文案精彩文档

8、这是个变系数常微分方程。d2对方程产（）其解显然可以写为12) e2，因为()（2 2 ）求实际解代入方程（4 4）得所满足的方程,d2u这就是所谓的 HermiteHermite 方程。0为方程的常点。可在0邻域用幕级数展开。计算表明，一般情况下解为无穷级数。2当|时，（）e，不能满足有界条件。为得到有界解，幕级数要求中断为一多项式。可以证明，当2n 1时可以得出一多项式解un( ) Hn()（1 1）先讨论行为,求渐进解（此时可略去）根据束缚态边界条件,()e利用（）e2/2u()，有,e2/2u(2/2dudu()du2/2d2u(2dud2u(d2ue2/2(1)u(实用标准文案精彩文

9、档11EEn(n -) (n -)h22此时2 dn2,n= = 0,0, 1,2,1,2,Un( ) Hn( )( 1)ne ed第二项称为 n n 界厄米多项式，宇称为(-1)n(?)满足下列递推关系，Hn1( )2 Hn( ) 2n Hn1()Hn()是的n次多项式。Ho( )1H, )22H2( )42丄2x2归一化波函数为n(x) Ae2Hn( x)，是一个实函数1/2在求归一化系数 A A 时，要用到厄米多项式的正交关系,所以归一化波函数为最常用的几个态，dHn() -d2nHn 1()其中A2nn!.2e Hn( )Hm()d2nn!mnn(x)1/22nn!.(n1) edn2

10、x2/2d( x)ne2x21/2实用标准文案精彩文档2x2n 0，基态，Eoo(x)(偶宇称)n 1，第一激发态,E11/21(X)12x2xe2(奇宇称)实用标准文案精彩文档线性谐振子n=11=11 时的概率密度分布JI71 = 11X虚线代表经典结果：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小；在两端速度为零，出现的概率最大。讨论:1微观一维谐振子能量量子化E”(n 1)，n 0,1,2,n 2，第二激发态，E2线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度2(X)1/22(2x1)e2(偶宇称)n =1实用标准文案精彩文档V(x)-kx2-k/为总能量。1x 为振动转折点，I X |

11、1属于经典禁区。见右图。f/ 1能量特点：量子化，等间距E h1有零点能Eo 2符合不确定关系概率分布特点：E V区有隧道效应2基态的性质1零点能E02这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果。基态位置概率分布22 2Io(x)|2ex是个 GaussGauss 分布量子：在x= = 0 0 处概率最大在其它范围也能找到粒子。经典：在x 0处的粒子速率最大，概率最小。(| I 1)的区域中运动，而|x|1为经典禁区。在I x| 1处，势能Wo(x)2o(x)hl2h 7? = 0_4一基态谐振子只允许在| x |实用标准文案精彩文档但按照量子力学观点，粒子仍有一定几率出现在这个区域

12、。容易算出此几率为2 2e d / e d 0.161 0G /if如图所示。当n时，一 J .-1 ()1cr,r量子概率分布过渡到经典概率分布符合玻尔对应原理3跃迁有选择定则：n 1跃迁只能逐级进行各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线实用标准文案精彩文档例题：设粒子处在一维无限深势阱中,实用标准文案精彩文档V(x)0|x| a/2|x| a/2处于基态n 1，求粒子的动量分布。解：分析由V（x）对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方势阱当函数i（X）。这是粒子按照位置的分布。按照动量的分布只要作FourierFourier可以求得1（X）2x.cos aa0a|x| 2a|x|21ipx而（P）21(x)edx或f (k)121(x)ekxdx,(pk)则动量在P Pdp间的几率为2| (p)| dp2| f (k)| dk。其中（注意：这里不能用s函数来表示上述积分）n 1时的波变换即可。f(k)1(2 )1/2ikxdx(2 )1/2