《圆锥曲线解题十招全归纳》

1、圆锥曲线解题十招全归纳招式一：弦的垂直平分线问题2招式二：动弦过定点的问题 4招式四：共线向量问题6招式五：面积问题13招式六：弦或弦长为定值、最值问题 16招式七：直线问题20招式八：轨迹问题24招式九：对称问题30招式十、存在性问题33招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线I与曲线N : y =兴交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(Xo,O)，使得. ABE 是等边三角形，若存在，求出X。；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线丨：y = k(x 1)， k 尸0， A(x-|, y1)， B(x2, y2)。由 yk(x 1)消 y

2、 整理，得 k2x2 (2k2 -1)x k0y x由直线和抛物线交于两点，得2242.：=(2k -1) -4k = -4k 10即 0 : k2由韦达定理，得:2k2 -1旨 X22 ，X1X2 二 1k则线段AB的中点为(2k2-112k线段的垂直平分线方程为:21 1 “1 -2k2y(x -2kk2 )令y=0,得X0 厶2k22k21，贝V E(丄一丄,0)22k2 27 ABE为正三角形,E(水-1,。)到直线AB的距离d为23 AB23八45口2k2 1 k22k解得k39满足式此时13X0【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦 AB的垂直平分线L的方程，往往是利

3、用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标 M，结合弦AB与它的垂直平分线 L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点 AB关于直线 m对称等等。例题分析 1已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于f yX2 ：卜 3 解:设直线AB的方程为y=x，b，由=x2，x，b-3二0= x. x2 - -1 ,进而可求出 A

4、By = x + b11112的中点m b)，又由M b)在直线x y二0上可求出b = 1 ,二x x-2 = 0，由弦2 22 2长公式可求出 |AB = J1+12 J12 4x(2) =3渥.例题2、已知椭圆C :解：（I）由已知椭圆a =2,则得c 、3,b =1。从而椭圆的方程为x27 y=1（II ）设 M （知 yj， Ng, y2），直线AM的斜率为则直线AM的方程为y = k/x 2），由”2 人（：+2）消 y整理得（1+4k；）x2x 4y =416k2X 16k； -4 = 0： -2和为是方程的两个根,2-8k；c16K2-4 血-2x1- 2 贝 y X-2， y

5、11 +4k121 +4k122冬，即点M的坐标为（彳型2 ,冬）,1 4k21 4k2 1 4k2同理，设直线 A2N的斜率为k2，则得点2N的坐标为（坠2 , 4k务）、1+4k； 1 + 4k；:yp 二&(t 2), yp 二 k2(t -2).& -k2k1k2-，:直线MN的方程为:ty 一 y2 - X2 _ x-1X _X!令y=0,得X严八x1y2，将点5 72N的坐标代入，化简后得:招式二：动弦过定点的问题2222 = 1(a b 0)的离心率为a b且在x轴上的顶点分别为Ai（-2,0）,A 2（2,0）。（I）求椭圆的方程；（II ）若直线丨：x =t

6、（t . 2）与x轴交于点T,点P为直线I上异于点T的任一点，直线 PAi,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直 线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论（“，即 V4又,t 2，02丁椭圆的焦点为tMN过椭圆的焦点。招式三：过已知曲线上定点的弦的问题2 2例题4、已知点A、B、C是椭圆E： U 上=1 (a b 0)上的三点，其中点 A (2. 3,0)是椭圆的右顶 a b点，直线BC过椭圆的中心0,且0，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线X=j3对称，求直线PQ的斜率。解: (I):=2，且BC过椭圆的中心OPC的方程

7、为:9k2 -18k -3 9k2 +18k3xp -xq =36k3(1 3k2)3(1 3k2)3(1 3k2) kPQ1Xp Xq 3yp -yQ.0C = AC vaLbc =0 N ACO =扌又；A (2 J3,0) 点 C 的坐标为(J5, J5)。v A (2.3,0)是椭圆的右顶点，.a = 2 3，则椭圆方程为:2 2$ ”1将点C('、3,、3)代入方程，得b2 =4，椭圆E的方程为2 2124(II) 丫 直线PC与直线QC关于直线x »3对称,-设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，从而直线y、3=k(x3)，即 y 二 kx ,3(1-k)

8、，由 y 二kx 3(1 _k)消 y,整理得:2 2x 3y -12=0(1 3k2)x2 6 .3k(1 -k)x 9k2 -18k -3 = 0 ： x 二 3 是方程的一个根,22十即 xp，k3(；83kk；)3同理可得:x9k3(118-3=kx，3(k) kx - .3(1 k) = k(x XQ)-2.3k =12k 2J3(1 +3k )招式四：共线向量问题1如图所示，已知圆C : （x 1） y =8,定点A（1,0）,M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上,且满足AM =2AP,NP AM = 0,点N的轨迹为曲线 E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F （0, 2

9、）的直线交曲线E于不同的两点G、H （点G在点F、H之间），且满足FG二 FH，求，的取值范围解：(1) AM =2AP,NP AM =0.二 NP 为 AM 的垂直平分线，二 |NA|=|NM|又 |CN | NM |=2、2,. |CN | AN | = 2.2 . 2.二动点 N 的轨迹是以点1 2223得(k2)x2 4kx 3=0. 由：0得 k2设 G(x1, y-i), H (x2, y2),2 2则 x-X2-4k1 k22-8k3r7(1),X1X2 二口221 2k2 又 FGFH ,(X1, y1 - 2) = '(X2, y2 - 2)x - x2,X1J ?X

10、23232k223(1 2k2)k24 :2133()31161vzg解得11又 0 ： ： 1,1.3又当直线GH斜率不存在，方程为x = 0,FGFH , =-3311-< <1,即所求，的取值范围是-,1）332:已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y二丄x2的焦点，离心率42 5为 （ 1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于m 点，若mAhaf, mb=?；-2BF ，求证：i 2 - -io.2x =4y，其焦点为(0,1),2 2解：设椭圆C的方程为冷爲=1( a > b > 0

11、)抛物线方程化为a b则椭圆C的一个顶点为c(0,1)，即 b=1 由 e-aa2b22、52 a2, a -5，椭圆C的方程为2xy -1 (2)证明:5X1XX2x，所以 I V 122(X1 X2)=一102X2 x24-2(论 + x2) + XjX2'2X1右焦点F(2,0)，设A(xi, yi), Bg, y2),M (0, y。)，显然直线l的斜率存在，设直2线I的方程为 y =k(x -2)，代入方程x y2 =1并整理，得52 2MA = (X1, % -y°),2、22220k20k 5(1 5k )x -20k x 20k 5=0 x-i x22 , X

12、jX2亍又1+5k21 + 5k2TTTMB = (x2 , y2 - y0 ) , AF = (2 - X1, - y1 ) , BF = (2 - x2, - y2),l r T I , T而 MA = A)AF, MB =BF，即(x1 £y1-yd= ,x-"，(x2-0, y2- y°) = '-2(2 x2, y2)3、已知 OFQ的面积s=2i6,且OFFQ二m。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过 Q,6 2 -|OF | = c,m = (1)c ,当|OQ|取得最小值时，求此双曲线方程。42 2解：设双曲线方程为 笃-与=1 , Q (X

13、), y。)。a bFQ =(x。-c,y。),1 厂.4yf6Sofq=| OF | y0 |= 2 i 6 , y0 ：2 c 6 2 OF FQ = (c,O)(x0 -c, y0) =c(x0 c)= (1)c = x4OQ = 丫 Xoy22涪+斧2鹿,当且仅当3TV'即 c=4 时,|OQ| 最小，此时 Q(®6)或(6g，所以2丄-12 . 2 1a b => <a2 +b2 =162ab2_ 422-.故所求的双曲线方程为1。=124 12类型1 求待定字母的值2例1设双曲线C:笃a-y2 =1(a 0)与直线L: X+y=1相交于两个不同的点 A

14、、B ,直线L与y轴交5于点P,且PA= PB，求a的值12设A、B两点的坐标，思路:将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求的值。解:设 A(xi,yi), B(X2,y2),P(0,1)'5 -T pA=/PB,. (Xi,yi557 兀(“2-。冷=/2.x y = 1联立 x22，消去 y 并整理得，(1 a2)x2+2a2x 2a2=0 (*)T A、B是不同的两点，二F21 -a - 0,4a4 8a2 (1-a2)0,a 0<a<2 且 a = 1.于是2a2X1+X2=21 - a且 X1 X2=-12a22 ，a即 17 X212空T,

15、且-X221 - a 122* 2，消去X2得,1 -a2 a22892 = ，-a 6017厂17二 a= ,. 0<a< 2 且 a = 1, a a= - °1313类型2求动点的轨迹例2如图2 ,动直线y = kx 1与y轴交于点A ,与抛物y2=X - 3交于不同的两点 B和C,且满足BP=入PC AB=入AC,其中R.。求 POA的重心Q的轨迹。入获得重心思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。解：由丿y = kx +1222得，k x +(2k 1)x+4=0.y =x_3设 P(x&#

16、39; ,y,' B(xi, yi), C(X2,y2),(图则 X1+X2=上竺，X1X2=tk2k2由 BP = PC 二.(x - y - yj = (X2 - x , y2 - y )(X -1) = '(X22-1) = x1=X2。、 c x"-X1 X2 -x": " 0 二=二X1x22x1x2x1 x281 -2k设重心1= j1 -2k 1 -2k消去 k 得，x2 y ' 6=0(*)Q(x,y)，则xX =3=.y 1yPx = 3x，代入(*)式得，3x 6y 4=0。y =3y -11 因为-丄21 48:k 且

17、k = 0= 4 ： x ：12且x =8x ： 4且x -3 34 8故点Q的轨迹方程是3x 6y 4=0 ( < x < 4且x式),其轨迹是直线 3x 6y 4=0上且不包括点3 3448 2A( ,0), B(4, ),C(,)的线段 AB。3 33 3类型3证明定值问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于 A、B两点，OA OB与a =(3,-1)共线。设M为椭圆上任意一点，且 0M = 0AOB，其中厂一 R.思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、 韦达定理、点在椭圆上满足

18、方程等证明定值。2 2解:设椭圆方程为 笃-与=1(a b 0), F (c,0).则直线AB的方程为a2b2y二X - c.代入椭圆方程中，化简得,2,2、22222,2小(a b)x -2acx ac -ab 0.设 A(xi,yi)，B(x2,y2)，则 x1X2c22222a ca c -a b2,X1X2 = a ba2 b2由 OA 0B 与 a =(3,-1)共线,OA OB =(xX2, % y2)得,3(力y2) (X1X2) =0。又 y1 =捲c,y2 =X2 -c,3c 阳 2a c.3(X1 X2 _2c) (X1 X2) =0,. X1X2，即 222 a +b笙

19、a=3b2.2而 c2 =a2 -b2,于是 a2 =3c2,b22 2因此椭圆方程为 二 与=1,即X23b b3y2 =3b2.设 M(x, y),由 OM = OA 0B 得,(x, y) =?；.(人,yj ：(X2, y2),.x = Xr 亠 | x2且 y = y 1 y2.因M为椭圆上一点，所以(X<|亠匚X2 )2亠3( y_j iy2)2 = 3b2.2222222即九(X1 +3y1 ) + 卩(X2 +3y2) +2入卩(X1X2 +3y1 y2)= 3b2 2 2 23c 23 221 2a c a b 3 2又 x1 x2, a c , bc , x1 x22

20、2 c .222a2 b28则 x1x2 3yjy2 = XjX2 3区-c)(x2-c) = 4xjX2 -3化 x2)c 3c2= -c2 -9c2 3c2 =0.而 X12 3y/ =3b2, x?2 3y?2 =3b2,2 2代入得，2：=2=1 ,，2：=2为定值。类型4探索点、线的存在性1例4在厶ABC中，已知B( 2, 0), C(2, 0), AD丄BC于D , ABC的垂心H分有向线段 AD 所成的比为 丄。3设P(- 1,0), Q(1,0),那么是否存在点 H，使一,成等差数列，为什么?|HP|PQ|HQ|思路：先将AC丄BH转化为代数关系，由此获得动点 H的轨迹方程；再

21、将向量的长度关系转化为代数(坐标)关系，通过解代数方程组获解。解：设 H(x, y),由分点坐标公式知 A(x,皱)3 (2,4y)(x2,y)= 0 ,3 AC 丄 BH ,整理得，动点H的轨迹方程为2 2U143(厂0)。?HP ,(x 1)2 y2 ,IPQF2,|HQ F (x-1)2丄丄|HP| |HQ|1 112假设成等差数列，则|HP|PQ| |HQ|PQ|1(x 1)2 y2、:1(x -1)2y2 H 在椭圆上a=2, b=.3, c=1 , P、Q 是焦点,HP +HQ =2a=4，即二 J(x十1)2 + y2 + J(x _1)2 + y2 = 4 由得，.(x 1)2

22、 y2 * (x -1)2y2 二(x 1)2y2. (x -1)2y2 =4 联立、可得，J(x+1)2+y2 =J(x-1)* =2 ,2 2 X =o,y h=3显然满足H点的轨迹方程 丄=1 ,4 3一 111 故存在点 H （0, ±/3），使 .,.,.成等差数列。|HP| |PQ|HQ|类型5求相关量的取值范围例5给定抛物线C: y2 =4x，F是C的焦点，过点F的直线I与C相交于A、B两点，且FB二 AF,4,9 1,求I在y轴上截距的变化范围。思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出I在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设 A

23、（x1,y1）， B（X2,y2），由 FB = ' AF 得，（x? T, y?） = ' （1 十），即x2 -仁丸口-捲）亠亠白2-22丿金由得，y2 =丸如$2 = 一绍1 y 1 = 4x，讨2= 4x：，X：=丸x。联立、得，X：=九。而：0 B（ 上."1）,或B（ 2、）.当直线I垂直于x轴时，=1,不符合题意。巴在-4'91上递减的,因此直线 I 的方程为（ -1）y =2、 （x -1）或（ -1）y =2（x -1）.直线I在y轴上的截距为 & 或-.由 九一1 九一1 九一1 -12 2存在、向量例6、双曲线。：-当=心0,b0

24、的右顶点为A，x轴上存在一点Q 2a,0，若C上a b存在一点P使AP _ PQ,求离心率的取值范围 。解：；PA_PQ. P点的轨迹 方程为22 _ a4，f 2 22 22.2即 y2 = _x2 +3ax 2a2 (x 式 a且x 式 2a)。由 <b x -ay =a b 2，消去 y 得y =x +3ax2a.2 22222. 22 .2 2342. 2b x -a3ax -2a a b = 0即 a b x -3a x 2a -a b = 0x-aa2 b2x-a2a2 -b20, x = a, x = a 3a 2 C = ac”a,解得心于2 2P在双曲线 笃 与二1的右

25、支上，xa,. aa b定值问题例7： A,B是抛物线y2 =2px(p - 0)上的两点，满足 OA_OB ( O为坐标原点)，求证：(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；(2)直线AB经过一定点。2 2 2 2 分析：(1 )设 A(x“ yj, Bg, y2)，则 yi p%, y? =2px尹(yy) =4卩轨JIf*OO又由 OA _OB= OA OB =0二 x/2 y,y2 = 0 = x1x4p , %y2 = 4p y-y2p(x-x2 Ka厂忌二代直线 AB 的方程为 y _ % = 2 p (x _xj= y = 2 p x _ 2 px1y1* 和2力 +

26、 y2% + y?2=y1 2pX y1y2=(x_2p)，故直线过定点(2p,0)。y1 y2y1 y2% y2招式五：面积问题2 2例题1、已知椭圆C:笃爲=1 (a> b>0)的离心率为-,短轴一个端点到右焦点的距离为.3 oa b3(I)求椭圆C的方程;:'3(n)设直线I与椭圆C交于a、b两点，坐标原点 o到直线I的距离为，求 aob面积的最大值。2解：(I)设椭圆的半焦距为 c,依题意 c6亍.b",a = 3,2.所求椭圆方程为y2=1。3(n)设 A(x1, yj , B(x2, y2)。 (1)当 AB 丄 x 轴时,设直线AB的方程为y = k

27、x m。由已知lm 二乜，得Tvnk2 2AB = , 3 o ( 2)当AB与x轴不垂直时,m2 = 3(k21)o4把y二kx m代入椭圆方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 - 3 = 0 ,T+X2=，X,"害AB j + k2)(+凸耗喻S3k2 13k2 112(k2 1)(3k2 1 -m2)3(k2 1)(9k2 1)12k2(3k2 1)2123423(k = 0)(3k1)9k4 6k2 1 9k2 丄 6k22 1当且仅当9k22，即k2k 一仝时等号成立。当k=0时,3AB =73 ,综上所述ABmax =2 o二当AB最大时， AOB面积取最大值

28、刈AB2max2 22X2、已知椭圆C:右.2a b=1(a> b > 0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3 .(I )求椭圆C的方程；(n )设直线I与椭圆C交于A、b两点，坐标原点O到直线I的距离为仝,灯AOB面积的最大值.2卜'、6解：(I)设椭圆的半焦距为 c，依题意=，a 31 ,.所求椭圆方程为a - 3,(n)设 A(xn yj , B(X2, y2). (1)当 AB 1 x 轴时，AB =3 . ( 2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y二kx m 由已知lml.1 k22二3，得 m2 二 3 (k2 1).4把y =kx m代入椭圆方

29、程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 -3=0 ,-6km.x-i x2厂3k2 123(m -1)X1X23k212 2=(1 k )(X2 -X1)=(1k2倍-勢12(k21)(3k2 12 2 (3k1)m2)3(k21)(9k2 1)2 2(3k1)2c12k2c= 3423.9k4 6k2 19k2 J_ 6k212(k=0) < 3124.2x3 + 6当且仅当9k2 -丄，即k二丄3时等号成立.当k=0时,k23AB = J3，综上所述 AB max = 2 . 3- 3X=max 22 2故 X。y0 1,二当AB最大时， AOB面积取最大值 |AB22 23

30、已知椭圆亍十1的左、右焦点分别为F1 , F2 .过F1的直线交椭圆于B, D两点，过F2的直线交2 2 椭圆于A, C两点，且AC 一 BD，垂足为P . (I)设P点的坐标为(X。，y0)，证明：匹西：1 ；32(n)求四边形 ABCD的面积的最小值.解：(I)椭圆的半焦距c -.匸2 =1，由AC 1BD知点P在以线段F,F2为直径的圆上,x2 y21001(n) (i)当BD的斜率k存在且k = 0时，BD的方程为y=k(x，1),2 2 22代入椭圆方程=1，并化简得(3k2 2)x2 6k2x 3k0 设 B(x1, y1), D(x2, y2)，则3 2x1 x2 乎,1 2 3

31、k223k2 _6XlX2 _3k2 2BD| = Ji +k»xi _X2 = J(1 +k2£(X2 +X2)2 4X1X2 = 4代k +1)；3k221因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为一丄，所以, k1四边形ABCD的面积S=Kbd|AC|24(k2 +1)2 (3k22)(2k2AC =4 ； 32 ''12Ik2丿 4V3(k +1)132 2k22k23当k2 =1时，上式取等号.-(k21)2963)(3k22)(2k23) 225J 2 J(ii)当BD的斜率k = 0或斜率不存在时，四边形 ABCD的面积S = 4 .96综上，四

32、边形 ABCD的面积的最小值为 96招式六：弦或弦长为定值、最值问题1、已知 OFQ的面积为2、. 6 , OF FQ（1）设6 <m <4, 6，求.OFQ正切值的取值范围;-1）c2当|0Q|取得最（2）设以0为中心，F为焦点的双曲线经过点 Q （如图），|0F |=c,m =小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设.OFQ|0F| |FQ|cos(二一巧二m1 |0F| |FQ |sin v -2 .6 tan 二一豪6 乞 m W、6-4 < ta n 八：-141(a .0,b 0),Q(x1,y1),则睫(ycy)b2（2）设所求的双曲线方程为笃a- S ofq

33、=|0F I |y十2花,-1 c2又 OF FQ.m，- OF FQ= (c,0)(X1 c, yj =(X1 c) c =-X16 c, | OQ | = x2 y；二4当且仅当c=4时，|0Q|最小，此时Q 的坐标是（，/6,、, 6）或（、, 6, - 6）a2 b222a b =16亠叮4b2 =122 2x y，所求方程为1.4122 22、已知椭圆x -1两焦点分别为4Fi、F2, P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足PFi PF2=1，过 P作倾斜角互补的两条直线 PA、PB分别交椭圆于 A、B两点.（I）求P点坐标；（H）求证直线AB的斜率为定值；（川）求厶PAB面积的最大值.

34、2 y。),解：(I)由题可得 Fi(0,、2), F2(0-、2)，设 Po(xo,y°)(x° 0, yo 0)则 PFi =(-x°, 2 2PF1 =(-心 - ' 2 -y°) , PF1 PF? =x0 -(2 -y0) =1 , v 点 P(x°, y°)在曲线上，则 葺 普=1，4242- X： =2，从而 号0 -(2 -£)=1，得 y° f；2 .则点 P 的坐标为(1, . 2).(H)由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k . 0)，则BP的直线方程为：y_、

35、.2k(x_1).y 时'2 =k(x -1)由 2y2得(2+k2)x2 +2k(Q_k)x +(运 _k)24=0，设 B(Xbb)，贝U1 : XB2 2) , Xb = 二亠，同理可得XA=1k2 k2 k2 k2 k2，I寸 入A22 k2 kyA -yB 二 *(Xa -1) -k(xB -1)8kT .所以：AB 的斜率 kAB 二空 空一2 为定值.2+kxa-xb|y = 2x m(川)设 AB 的直线方程：y = J2x +m .由彳 x2 y2，得 4x2 +2J2mx +m2 -4 =0 ,x u y _12 N由 =(2f2m)2 16(m2 4) >0

36、，得2J5cmc2J5 P 到 AB 的距离为 d =聖，111 2| m |1 921 .m - m 亠8、2则 s血ab =2|AB 1 d =2寸(4 gm ) 3 亏=<8m (m +8)刊8(2)=灯2。当且仅当m='2“. 2、22、2取等号三角形 PAB面积的最大值为、2。2x 23、已知椭圆y =1的左焦点为F, O为坐标原点。2(I)求过点0、F,并且与椭圆的左准线I相切的圆的方程；(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与 X轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。解: (I) ：a2 =2,b2 =1, c =1,F(-1,

37、0),丨：x=2.：圆过点O、F,.圆心M在直线x二-丄上。21设2”,则圆半径1、2丄22'i由OM“得J (冷"二-,解得2t二一-2 所求圆的方程为(x )2 (y 一、2)222=1,整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k2 - 2 =0.(II)设直线AB的方程为y =k(x - 1)(k =0),代入 y22T直线AB过椭圆的左焦点 F,.方程有两个不等实根。记 A(x“ yj, B(X2, y2), AB 中点 N (x。，y。)， 则花 x?二4k22k2 1-AB的垂直平分线 NG的方程为y-y。=-2(x-Xo).k1解: （1）设点 M 的坐标为（x,

38、 y） , / kAM kBM =y 1 y1 T Ix x1 x2 .整理，得2 宀（），（2）如图，由题意知直线|的斜率存在，设I的方程为x = sy 2 （s =二2）将代入2X 21y 1,22 2 22kkk11Xg 二 x。 ky。2222.令y=0,得2k 1 2k 1 2k 12 4k 2 .点g横坐标的取值范围为:k = 0,xG : 0,21（2°）.4、已知点A,B的坐标分别是（0, -1） , （0,1）,直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率之积为-丄.（1）2求点M轨迹C的方程；（2）若过点D 2,0的直线I与（1）中的轨迹C交于不同的两点 E、F

39、（ E在D、O为坐标原点）.F之间），试求 ODE与.ODF面积之比的取值范围（整理，得（s2 2）y2 4sy 0，由:0，解得 s2丨亠4s卜 一齐,设 E My , F X2,y2，则21S t|OB y1令&= S®BE =Sobf !ob y2，且 0 ： 1.y2（% y2）2YiY2s2 2輕（4,8）且u,s223解得 3 -2、2 ：3 2 2 且1 i *0 ： ： 1 ,31.32 2 ： ' ： 1 且.；.=3故厶OBE与厶OBF面积之比的取值范围是3-2、2,丄 J 】,1 .3322y x2 2 =1（ a b 0）5、已知椭圆C1: a

40、 b的右顶点为A（1,0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.（I）求椭圆C1的方程;2 一（II）设点P在抛物线C2 :厂x h（ R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N .当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求 h的最小值.b =12丄 + X2 = 1所求的椭圆方程为4,卜匚1八（b=T解析：（I）由题意得 a2(II)不妨设M(,y1),N(X2-y2),P(t,t +h)-则抛物线C2在点P处的切线斜率为y2 2 2 2MN的方程为y =2tx -th，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x ' (2tx -1 h) - 4 = 0，即C1有两个不同的交点，所以有4

41、 1 t2 " -4t(t2 -h)X (严h)2 _4 =0，因为直线 MN 与椭圆 i =16t4 2(h 2)t 2-h2 40设线段MN的中点的横坐标是 X3，则X32x1x2t(t - h)222(1 t2)设线段PA的中点的横坐标是 x4，则2=(1 h) -4_0,. h _1 或 h 3 ；t 122 ，由题意得x =X4，即有t (1 h)t 0，其中的.'：当h< -3时有h 2：0,4：0，因此不等式"=16_t2(h 2)t -h 40不成立；因此2h -1,当h =1时代入方程t (1 h)t 0得t 一1,将h JUT代入不等式M

42、-16 -t4 2(h 2)t2 -h2 40» 中丄1成立，因此h的最小值为1.招式七：直线问题2 2例题i、设椭圆C:笃 爲-i(a b 0)过点MC、2,i)，且着焦点为Fid,。)a b(I)求椭圆C的方程;(n)当过点P(4,1)的动直线I与椭圆C相交与两不同点 代B时，在线段AB上取点Q，满足Ap lQB i AQ i PB，证明：点q总在某定直线上解由题意:'c2 =22 ii ，解得a2 =4,b2 =2，所求椭圆方程为a b2 2 2c ab(2)方法一2 2x y i42设点 Q、A、B 的坐标分别为(x, y),(xi, yi),(X2, y2)。由题设

43、知AP , PB , AQ,QB 均不为零，记PBQBP，B，Q四点共线，从而AP PB,AQQB从而%，x2i - 为"：x2i i _ yi _，y2-i -wyi y2y =又点=4x，(1)2yiiB在椭圆C上，即Xi2 2yi2 =4,| 川(3)2X22y；=4,|川(4)(i) + (2) X2 并结合(3) , (4)得 4s+2y =4即点Q(x,y)总在定直线2x，y-2=0上方法二设点 Q(x, y), A(Xi, yj, B(X2, y2)，由题设,又p,a,q,b四点共线，可设PA=：-A3,PB品(，=o一 1),于是Xi4 -，x i - y 二L,yi

44、4：. lx 1 ： ； yX2 二(1)(2)由于A(Xi, yi), B(X2, y2)在椭圆C上，将(1), (2)分别代入C的方程x2 2y2=4,整理得2 2 2(x 2y -4)' -4(2x y-2).；，-14 = 0(3)2 2 2(x 2y -4) 4(2x y -2)： 14 = 0(4) - (3)得8 ( 2( y - 2 )=0.= 0,. 2x y - 2 = 0即点Q(x, y)总在定直线2xy-2=0上2、已知曲线:上任意一点P到两个定点R -、3,0和F2 .3,0的距离之和为4. (1)求曲线丨的方程;(2)设过0, -2的直线I与曲线'交

45、于C、D两点，且OCOD.0 ( O为坐标原点)，求直线I的方程.解：(1)根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，其中a = 2, c二谆3，则b = a2 -c2 = 1 .2所以动点M的轨迹方程为 y2 = 1.4(2)当直线I的斜率不存在时，不满足题意.当直线l的斜率存在时，设直线I的方程为y二kx-2，设C(X1, yj , D(X2 ,y2), ： OC OD = 0W2 y2 = 0 .y kx 2 , y kx 2 ,2.y1y2 二 k x-i x2k(x.| x2) 4 2(1 k )X1X2 -2心为X2) 4=0 .由方程组42y =1,= kx_2.1 4k2 x2

46、-16kx 12=0 .则 x1 x2, x1 x2企，代入，得1 21+4k2121 +4k21216k1 k22 -2k2,4=0 .即 k2 =4，解得，k =2 或 k =-2 .*1+4k21+4k2所以，直线I的方程是y=2x-2或y=2x-2 .x223、设F1、F2分别是椭圆y =1的左、右焦点。4(I)若P是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2的最大值和最小值;(n)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点A、B，且/ AOB为锐角(其中0为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围。解：(I)解法一：易知 a =2,b =1,c3 所以 F, -3,0 ,F2 .3,

47、0，设 P x, y，则PR PF2 - -1.3 - x, -y , .3 - x, -y = x2y -3 =x?13 3x - 84 4因为1-2,2 1,故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1 PF2有最小值_2当x=2，即点P为椭圆长轴端点时， PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a=2,b=1,c、3，所以 Fi -.3,0 应、3,0 ，设 P x, y，则PF? PF = Pf1 Pf2 cos F1PF24_x、.齐 y2 x -齐 y2-12 ：=x2 y2 - 3 (以下同解法一)(n)显然直线x = 0不满足题设条件,k2 1 x2 4kx 3 = 0I 4丿可设

48、直线 I : y 二 kx-2, A Ny , B X22 ,y 二 kx2联立x2，消去y，整理得:一 + y2 = 1 .4.丄4k3-人 X2必 X2 ：k21k2 144f 11J3J3由 一（44厂十k2®0 得: k<y 或 k-y又 00 ： A0B : 90° = cos A0B 0 = OA OB 0/. OA OB 二 x1x2 y2 0X yy2 H(kx1 +2 * kx2 十 2Tk2x1x2 +2k(x1 +X2 )+4>ax®2AkAMAk<2lk2I±2 亠k4招式八：轨迹问题轨迹法：1直接法：如果动点运

49、动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要 特殊的技巧，易于表述成含 x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q (2, 0)，圆C的方程为X?1，动点M到圆C的切线长与 MQ的比等于常数(0)，求动点M的轨迹。【解析】设MN切圆C于N，贝U MN2x2 y2 -1 -，. (x -2)2 y22 2 2 2 2化简得(-1)(x y ) x (14 ) = 05(1)当，=1时，方程为x，表示一条直线。4(2)当/. -1时，方程化为(x -2九$ 2 -11 32表示一个圆。 如图，圆O1与圆02的半径都是1,01。2=4 过动点P分别作圆02、圆02的切线PM , PN ( M ,N分别为切点)，使得PM二2PN 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程【解析】以O1O2的中点0为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则。1(-2,0) , 02(2,0).由已知 PM =.$2PN，得 PM2 =2PN：因为两圆半径均为1 ,所以2 2PO-2 -1 =2(PO； -1) 设 P(x , y),则2 2 2 2(x 2) y 1 =2(x -2)y -1,即(x6)2 - y2 =33.(或 x2 y2 -12x 3=0)评析：1、 用直接法求动点轨迹一