专题17等腰三角形存在性巩固练习(基础)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版)

1、等腰三角形存在性问题巩固练习（基础）1 .平面直角坐标系中，已知 A （1, 2）、B （3, 0）.若在坐标轴上取点 C,使 ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】C【解析】点 A、B的坐标分别为（1, 2）、B （3, 0）,AB = 2Mi ,若AC = AB,以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有 3个交点（B点除外），即（-1, 0）、（ 0, 2十V斤）、（0, 2即满足 ABC是等腰三角形的 C点有3个；若BC = AB,以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有 2个交点，即满足 ABC是等腰三角形的 C点有2 个；若CA= CB,作A

2、B的垂直平分线与坐标轴有 2个交点，即满足 ABC是等腰三角形的 C点有2个.综上所述：点 C在坐标轴上， ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有7个.2.在 ABC中，与/ A相邻的外角是130° ,要使 ABC为等腰三角形，则/ B的度数是（）A. 50°B, 65°C. 50° 或 65°D, 50° 或 65° 或 80°【解答】D【解析】/ A=180° - 130° = 50° .当 AB=AC 时，Z B=Z C= i （180° - 50° ） =

3、65° ;当 BC=BA 时，/ A=/ C=70° ,则/ B=180° 50° 50° = 80° ;当 CA=CB 时，Z A=Z B=50° ./ B的度数为50°或65°或80° ,3 .如图，在平面直角坐标系中， 点A, B分别在y轴和x轴上，ZABO = 60° ,在y轴上找一点P,使 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P点共有 个.【解析】 当AB=AP时，在y轴上有2点满足条件的点 P.当AB= BP时，在y轴上有1点满足条件的点 P.当AP= BP时，在y轴上有一点

4、满足条件的点 P.综上所述：符合条件的点 P共有4个.4 .如图，在xOy中，/ABO = 60° ,在坐标轴上找一点 C,使 ABC为等腰三角形，则这样的C点有 个.【解答】6【解析】当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点 C,在x轴上有1点满足条件的点 C.当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点 C,在x轴上有2点满足条件的点 C,有1点与AB=AC 时的x轴负半轴的点C重合.当AC= BC时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点 C,有1点与AB = AC时的x轴负半轴的点C重合.综上所述：符合条件的点 C共有6个.5 .如图， ABC中，/ C=90° , A

5、C = 4cm, BC = 3cm,若动点P从点C开始，沿 C-A一B-C的路径运 动一周，且速度为每秒 2cm,设运动时间为t秒，当t =时，点P与 ABC的某两个顶点构成等腰 三角形.器时点P与 ABC的某两个顶点构成等腰三角形【解析】 ABC 中，/C=90° , AC=4cm, BC = 3cm, . AB = vfAC2 + BC- =5 ,当点P在边AC上时，当FA=PB时，如图,5作AB边上的高 PE,贝U AE=BE=歹,易证得 APEA ABC,&八E _ AP ?.赤一正，即T 彳，此时（4- 2） + 2=（秒）； 816当CP=CB时，3,. CP =

6、 3cm,此时 1=3+2=丁（秒）；2当点P在边AB上时，当 AC=AP,此时（4+4） +2=4 （秒）；当AP=PC时，如图,点P在AC的垂直平分线与 AB的交点处，即在 AB的中点,15则 AP= -AB=-,此时(4+2.5)当CP=CB时，如图,作AB边上的高CD,1 1A AC X BC = a AB X CD . JLiJLk.CD =ACXBC _ 12 -AB 5 '在RtACDP中，根据勾股定理得，DP=八r=/。”一，傲'=1.8,BP=2DP=3.6, . AP= 1.4,27t = （AC+AP） +2= （4+1.4） +2=（秒）10当BC= B

7、P时，BP=3cm, CA+AP=4+5 - 3=6 （cm）,，t = 6 + 2= 3 （秒）；当 PB= PC,点P在BC的垂直平分线与 AB的交点处，即在 AB的中点，此时 CA+AP= 4+2.5= 6.5 （cm）,“ c 13 、t = 6.5+2=（秒）；综上可知，当4或二或与或I或3或喜时点P与 ABC的某两个顶点构成等腰三角形。 lo 4 z 1U6 .如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，且点 A坐标为（4, 4）, P是y轴上的一点，若以 O, A, P点组成的三角形为等腰三角形，求P点的坐标.【解答】（0, 8）或（0,）或（0,）或（0, 4）【解析】由题可知 OA=

8、4 4/5,分两种情况进行讨论：（1）当OA为腰时，以。为圆心，OA为半径画弧交y轴于两点，即（0, -4V%）, （0, 4Gx以A圆心，OA为半径画弧交y轴于一点，即（0, 8）.（2）当OA为底时，作线段 OA的垂直平分线交y轴于一点，即（0, 4）.，符合条件的点 P有4个，坐标为（0, 8）或（0, -4陋）或（0, 4，日）或（0, 4）.7 .如图：已知在 ABC中，ADLBC于D, E是AB的中点，（1）求证：E点一定在AD的垂直平分线上；（2）如果CD = 9cm, AC=15cm, F点在AC边上从A点向C点运动速度是3cm/s,求当运动几秒钟时.ADF是等腰三角形?是等腰

9、三角形【解答】（1）见解析；（2）当点F运动4s或1s时，4ADF(1)证明：ADXBC, ./ ADB = 90° ,E是AB的中点， .AE=DE,E点一定在AD的垂直平分线上;（2）解：ADXBC,AD = AD = / 3 = 一步=12 (cm),当 FA= AD= 12cm 时, 当 FA= FD 时，则/ FAD = Z ADF ,又 / FAD+ZC=Z ADF + ZFDC = 90° , ./ C=Z FDC,FD = FC,一 _1、 15 .FA=FC=歹 AC= cm,当DF = AD时，点F不存在,5综上所述，当点 F运动4s或5s时， ADF是

10、等腰三角形.8.已知：如图，锐角 ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.试说明 ABC是等腰三角形.BC【解答】见解析【解析】证明：= OB=OC,OBC = Z OCB, 锐角 ABC的两条高BD、CE相交于点 O, ./ BEC=Z BDC= 90° ,又. / BOE=Z COD, ./ EBO = Z DCO , ./ ABC = Z ACB,AB = AC,ABC是等腰三角形.9.如图，已知 ABC中，AB=AC, BD、CD分别平分/ EBA、/ ECA, BD交AC于F,连接 AD. (1)解答下列问题：若/BAC = 40° ,则/ BDC =.

11、 求出/ BDC与/ BAC之间的关系式.(2)求证： ABD为等腰三角形.(3)当/ EBA的大小满足什么条件时，以 A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？ ./ ABD = Z ADB ,13600【解答】（1）/BDC=20o,/ BDC = - Z BAC ; （2）见解析；（3） / EBA的值为72°或 占I【解析】（1）解： AB= AC, Z BAC = 40° ,（180° - 40° ） = 70° , ./ ABC = Z ACB =q上j BD, CD 分别平分/ EBA, Z EGA, ./ DBC= LaBC=35。

12、, / ECD = - ZACE= 55° , 22 .Z BDC = Z ECD -Z DBG = 20° ; / BDC =BAG . . BD、CD 分别平分/ EBA、/ EGA, BD 交 AC 于 F, ./ BDC+ - / ABC= - / ACE, / BAC+Z ABC=Z ACE, 2(2 / BDC+ - A ABC= - / BAC+ - A ABC, 222H,如图所示: ./ BDC= BAC. 2)证明：作 DM，BG 于 M, DNAC 于 N, DH，BE 于 . BD、CD 分别平分/ EBA、/ ECA,DM =DH , DN = D

13、H ,DM =DN ,AD 平分/ CAG ,即/ GAD = / CAD,180° , . / GAD+/CAD+/BAC=180° , / BAC+/ ABC + /ACB ./ GAD+/CAD = / ABC + ZACB, AB = AC, ./ ABC = Z ACB, ./ GAD = Z ABC,AD / BC, ./ ADB = Z DBC,又. / ABD=Z DBC,AB = AD, .ABD为等腰三角形；(3)解：AB=AF不可能舍去.AF = BF时，/ EBA = 72° ,理由如下：. ABF是等腰三角形，/ BAF只能为底角，AF= BF,/ BAF = / ABF = - Z ABC, 2 .Z BAF + Z ABC+Z AC