中考数学圆与相似综合经典题含详细答案

1、中考数学圆与相似综合经典题含详细答案一、相似1 .在 ABC 中，ZABC=90 .(1)如图1,分别过 A、C两点作经过点 B的直线的垂线，垂足分别为M、N,求证: ABMABCN;(2)如图 2, P 是边 BC上一点，Z BAP=Z C, tan Z PAC= 5 ,求 tanC 的值；U AD _2(3)如图 3, D 是边 CA 延长线上一点， AE=AB, Z DEB=90 , sinZBAC=' , AC 直 接写出tan/CEB的值.【答案】(1)解：VAM ±MN, CNXMN ,Z AMB=Z BNC=90 ；Z BAM+Z ABM=90 , Z ABC=

2、90 :Z ABM+Z CBN=90 ,Z BAM=Z CBN, Z AMB=Z NBC,ABCN(2)解：如图 2,过点P作PM，AP交AC于M, PNXAM T N.Z BAP+Z 1 = Z CPM+Z 1=90 , Z BAP=Z CPM=Z C,.MP=MC PNPMN胃= .tan/PAC"5<5 八设 MN=2m,PN=i'm,根据勾股定理得，PM=；噌 =3逑=就tanC=BC(3)解：在RtA ABC 中，sin / BAC=北=4,过点A作AGBE于G,过点C作CH, BE交EB的延长线于 H,郡 / DEB=90 ,° .CH/ AG/

3、DE,GH AC 5跖加=归同（1）的方法得， AABGABCHBC AC AB二 二CH BH BC设 BG=4m, CH=3m, AG=4n, BH=3n, . AB=AE, AG± BE, EG=BG=4m, .GH=BG+BH=4m+3n,融于3nZwn=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,Ch在 RtCEH 中，tan/BEC=* =/?【解析】 【分析】(1)根据垂直的定义得出 /AMB=/BNC=90,根据同角的余角相等得 ABMABCN;出/ BAM=Z CBN,利用两个角对应相等的两个三角形相似得出:(2)过点P作PF±

4、;AP交AC于F,在RtA AFP中根据正切函数的定义，由PF 刈 2tan/PACF /41,同（1）的方法得，AB= a , PQ=2a, BP= b , FQ=2b （ a> 0 , CQ 虱 ABPPQF,故BP AP ”?网一所一 B ,设b>0),然后判断出AB'CQF,得，打 团从而表示出 CQ,进根据线段的和差表示出BC,再判断出 AB2 4CBA,得出AS 拼记一 再得出BC,从而列出方程，表示出BC,AB在RtA ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；BC 3(3)在 RtAABC中，利用正弦函数的定义得出：sin/BAC=、 3过点 A作 AG

5、XBE于函 AC1g7dG,过点C作CHI± BE交EB的延长线于H,根据平行线分线段成比例定理得出BG AC AB 4 二=E ,同(1)的方法得，AB34BCH ,故) 阴/ 8C 3 ,设 BG=4m,CH=3m , AG=4n , BH=3n ,根据等腰三 GH=BG+BH=4m+3n,根据比例式列出方程 EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m , tan / BEC的值。角形的三线合一得出 EG=BG=4m,故 ,求解得出n与m的关系，进而得出 在RtCEH中根据正切函数的定义得出2.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连

6、接DF,过点 E作EHI± DF,垂足为 H, EH的延长线交 DC于点G.D GCAB(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN/CD,分另I交 AD, BC于点M, N,若正方形 ABCD的边长为10,点P 是MN上一点，求4PDC周长的最小值.【答案】(1)解：结论：CF=2DG理由：:四边形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB / ADC=Z C=90 ； DE=AE.AD=CD=2DEEG± DF,/ DHG=90 ； / CDF+Z DGE=90 ； / DGE+/ DEG=90 ,°/ CDF=Z DEG,.DEGACDF

7、,M RE 1d二应二 .CF=2DG(2)解：作点 C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,9 GUAB此时APDC的周长最短.周长的最小值 =CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK 4 B / DE* DC由题意：CD=AD=10, ED=AE=5 DG=J , EG=? , DH= EG =1?,EH=2DH=2 ., DH , Eh .HM= =2,DM=CN=NK= "+；* =1,在 RtDCK中，DK=Cl)- CK =附 + /山"+ "=2 屈， PCD的周长的最小值为 10+2.【解析】【分析】(1 )结论：CF=2DG.

8、理由如下：根据正方形的性质得出 AD=BC=CD=AB /ADC=/ C=90°,根据中点的定义得出AD=CD=2DE根据同角的余角相等得出/CDF=/ DEG,从而判断出 DE8 4CDF,根据相似三角形对应边的比等于相似比即 可得出结论；(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点巳连接PC,此时4PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+D仲题意得 CD=AD=10, ED=AE=5 DG=,EG=；”,根据面积法求出DH的长，然后可以判断出 4DEH相似于4 6口儿根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=%,再根据面积法求出H

9、M的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1 ,在RtDCK中，利用勾股定理算出 DK的长，从而得出答案。v - air 4 bx * f 后 K 勿3.如图，抛物线二经过A ( 3,0) , C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.f 方 I。e r(i)求抛物线的解析式；(2)动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t,过点P作PMXBD,交BC于点M,以PM为正方形的一边，向上作正方形 PMNQ,边QN交BC于点R,延长NM交AC于点E.当t为何值时，点N落在抛物线上； 在点P运动过程中，是否存

10、在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：y=ax2+bx+ ?经过 A (-3, 0) , C (5, 0)两点，9 - 3b = 0解得:.抛物线的解析式为(2)解:(x2 - 2x+1)(x- 1) 2+8,.点B的坐标为(1,8).设直线BC的解析式为y=kx+m, r k m = 8则9尹加0 rk - - 2解得：,西, 所以直线BC的解析式为y=-2x+10. ,抛物线的对称轴与 x轴交于点D, .BD=8, CD=5- 1=4.PMXBD,PM / CD,BP Pk . 信-五，£ 偿 即厂7,i解得

11、：PM=_ t,1 .-0E=1+ h.I.ME=-2(1+ t)+10=8-t.四边形PMNQ为正方形，.NE=NM+ME=8 - t+ 14=8 -小.1 1点N的坐标为(1+3, 8-:t), 若点N在抛物线上，113Ba贝U上(1 +Jt- 1) 2+8=8上 t, 整理得，t(t-4)=0,解得ti =0 (舍去)，t2=4, 所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上;存在.理由如下：1. PM=lt,四边形 PMNQ为正方形，1.QD=NE=8-二 t.直线BC的解析式为y=-2x+10,- 2x+10=8 -t,解得：X= i t+1 ,.QR= 't+1 1 =;t.L又

12、EC=CD- DE=4-2t,根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EQ-t,16 解得：t= 3 , 此时点P在BD上16所以，当t二方时，四边形ECRQ为平行四边形【解析】【分析】（1）用待定系数法，将 A,C两点的坐标分别代入 y=ax2+bx+丁，得出一 个关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；（2）首先求出抛物线的顶点B的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-2x+10 .根据点到坐标轴的距离得出BD,CD的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PM/CD,根据平行于三角形一边的直线，截，其它两边，所截的三角形与原三角 形相似得

13、出BPMsBDC,根据相似三角形对应边成比例得出B P：B D = P M : C D,进而得出关于t的方程，求解得出 PM,进而彳#出OE,ME根据正方形的性质由 NE=NM+ME得出 NE的长，进而表示出 N点的坐标，若点 N在抛物线上，根据抛物线上的点的特点，得出 关于t的方程，求解得出t的值，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上； 存在.理由 如下：根据PM的长及正方形的性质从而表示出QD=NE的长度，进而得出方程，求出 x的值，进而表示出 QR根据线段的和差及平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC从而得出关于t的方程，求解得出答案。4.如图 1, 一副直角三角板满足 AB= BC,

14、 AC= DE, / ABC= / DEF= 90°, / EDF= 30 °【操作】将三角板 DEF的直角顶点E放置于三角板 ABC的斜边AC上，再将三角板 DEF绕 点E旋转，并使边 DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点QA（1）【探究一】在旋转过程中，CE 1 1 如图2,当班 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明 .CE =2 如图3,当H时E P与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.CE_ 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 EA m时，EP与EQ满足的数量关系式 为，其中向的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）CE 1M h(2)【探究二

15、】若 豆一且AC= 30cm,连续PQ,设 EPQ的面积为S(cm2),在旋转过 程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由 随着S取不同的值，对应 4EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取彳1范围.CE_【答案】(1)解：当 血-.时，PE=QE即E为AC中点，理由如下：连接BE, ABC是等腰直角三角形，.BE=CE/ PBE=/ C=45 ；又 / PEB吆 BEQ=90 , / CEQ吆 BEQ=90 ,/ PEB=/ CEQ,在 PEB和4QEC中，ZPEB =上CK SE = CE/理E /C ,.PEBAQEC (ASA), .PE=QE.;

16、EP: EQ=EA:EC=1：2 理由如下：作 EM LAB, EN± BC,/ EMP=Z ENQ=90 ；又 / PEN+Z MEP=Z PEN+/ NEQ=90 ,/ MEP=Z NEQ,.MEPANEQ,.EP: EQ=ME:NE,又/ EMA=/ENC=90, /A=/C,.MEAANEC, .ME:NE=EA:ECCE=2, , EA ,.EP: EQ=EA:EC=1:2.;EP： EQ=1:m； 0Vme 2+ .(2)解：存在.CE_由【探究一】中（2）知当日J1时，EP: EQ=EA EC=1: 2;/设 EQ=x,贝U EP=1 x,T 1HHi .1. S=:

17、EPEQ=二1x上 x= J x2 ,当EQ, BC时，EQ与EN重合时，面积取最小，,. AC=30, ABC是等腰直角三角形，.AB=BC=15羽,CE2. EA , AC=30, .AE=10, CE=20在等腰RtCNE中，.NE=10 , 当x=10”时， Smin=50 （cm2）；当EQ=EF时，S取得最大， AC=DE=30, / DEF=90 ,° / EDF=30 ,°在 RtDEF 中，婷 tan30 =°,更EF=30 X； =10 "5,此时 4EPQ 面积最大，. Smax=75 （cm2）；由（1）知 CN=NE=5 V二，

18、BC=15K'E ,.BN=10 "勺,在 RtBNE 中，.BE=5 当 x=BE=5W灰时，S=62.5cm2 , 当50<S < 625 这样的三角形有 2个；当S=50或62.5<SW75寸，这样的三角形有 1个.【解析】【解答】（1）作EM,AB, ENXBC, / B=/PEQ=90 ,° / EPB吆 EQB=180 ,°又 / EPB吆 EPM=180 ,/ EQB=Z EPM, .MEPANEQ, .EP: EQ=ME:NE,又. / EMA=/ENC=90, /A=/C, . MEAs NEC,.ME:NE=EA:EC

19、 .EP:EQ=EA:EC=1：m EP与EQ满足的数量关系式为 EP: EQ=1:m, .0<m0 2铜 (当 m>2+的 时，EF与BC不会相交).【分析】【探究一】 根据已知条件得 E为AC中点，连接BE,根据等腰直角三角形的性 质可 BE=CE Z PBE=/ C=45,由同角的余角相等得 / PEB=/ CEQ,由全等三角形的判定 ASA可得PEg4QEC,再由全等三角形的性质得 PE=QE.作EMAB, EN± BC,由相似三角形的判定分别证MEPsNEQ, MEAsNEC,再由相似三角形的性质得 EP: EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.作EMAB,

20、 EN± BC,由相似三角形的判定分别证MEPsNEQ, MEAsNEC,再由相似三角形的性质得 EP: EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.I【探究二】设EQ=x,根据【探究一】(2)中的结论可知则 EPE； x,根据三角形面积公 式得出S的函数关系式，再根据当EQ, BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当 EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.根据(1)中数据求得当EQ与BE重合时，4EPQ的面积，再来分情况讨论即可.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= (x-a) (x-3)的图像与x轴交于点A、B (点 A在点B的左侧)，与 y轴交于点D,过其顶

21、点 C作直线CP± x轴，垂足为点 P,连接(2)若4AOD与4BPC相似，求a的值；(3)点D O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出 a的值，若不能，请说明理由.【答案】(1)解：.y= (x-a) (x-3) (0<a<3)与x轴交于点 A、B (点 A在点B的左 侧)A (a, 0) , B (3,0),当 x=0 时，y=3a,.D (0,3a)(2)解：/A (a, 0) , B (3,0) , D (0,3a)& * $，对称轴 x= ? ,AO=a, OD=3a,当 x= 2 时，y=-a + 3 3 - 43 - a "PB=3- 2

22、= 2, pc= 2当AOgBPC时，n 3a3 一 4? _ J- r>即-2,解得：a二 土 3 (舍去)；AOD/CPB,解得：ai =3 (舍)，a2=.综上所述：a的值为：.(3)解：能；连接 BD,取BD中点M ,FmD、B、。三点共圆，且 BD为直径，圆心为 M若点C也在此圆上，.MC=MB,化简彳导:a4-i4a2+45=0,( a2-5) ( a2-9) =0,a2=5 或 a2=9,1- ai=a2=- W, a3=3 (舍)，a4=-3 (舍)，,0<a<3,'.当a= /时，D、0、C、B四点共圆.【解析】 【分析】(1)根据二次函数的图像与x

23、轴相交，则 y=0,得出A (a, 0) , B(3,0),与y轴相交,则x=0，得出D (0,3a).(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴,AO=a, OD=3a,代入求得顶点C (x=，PC=),从而得PB=3-再分情况解得：a=讨论： 当AODBPC时，根据相似三角形性质得 I至I 3 (舍去)；AODCPB,根据相似三角形性质得,解得：ai=3 (舍)(3)能；连接 BD,取BD中点M,根据已知得 D、B、O在以BD为直径，M为圆心(匕，la)的圆上，若点 C也在此圆上，则 MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于 a的方程，解之即可得出答案 6.如图，在矩形 ABC

24、D中，AB=2cm, Z ADB=30°. P, Q两点分别从 A, B同时出发，点 P 沿折线 AB-BC运动，在 AB上的速度是 2cm/s,在BC上的速度是 20cm/s ;点 Q在BD 上以2cm/s的速度向终点 D运动，过点 P作PNXAD,垂足为点 N.连接PQ,以PQ, PN 为邻边作？PQMN.设运动的时间为 x (s) , ?PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为 y (cm2)C0C(1)当 PQ± AB 时，x=;(2)求y关于x的函数解析式，并写出 x的取值范围；(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1: 3两部分时，直接写出2【答案】(1) 丁

25、(2)解：如图1中，当OvxWi时，重叠部分是四边形 PQMNy=2x x/3 x=2 S x2 . 如图 中，当vxWl时，重叠部分是四边形PQEN.图2y= - ( 2 x+2tx 浅'x=x2+ V-1 x 如图3中，当1vxv 2时，重叠部分是四边形PNEQ.DEO3图3当直线 AM经过BC中点E时，满足条件.综上所述，y=y=上（2x+2） X&G x- 2，丐（x1）=二、32A- *甲XpX这DJ3x 六 邛 A/5t7jc V 2则有：tan / EAB=tan/ QPB,解得x= $ . 如图5中，当直线 AM经过CD的中点E时，满足条件.曲此时 tan /

26、DEA=tan/ QPB,=2 2x x ,4解得x= ?,2 R综上所述，当x=/s或彳时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1: 3两部分【解析】【解答】解：(1)当PQ± AB时，BQ=2PB, .2x=2 (2-2x),故答案为 s.【分析】(1)由题意BQ=2x,PB=2-2x,当PQLAB时，根据含30°直角三角形的边之间的关 系得：BQ=2PB,从而列出方程，求解即可；I r(2) 如图1中，当OvxWj时，重叠部分是四边形 PQMN.由题意知：AP=2x, BQ=2x, 故平行四边形 AP边上的高是根据平行四边形的面积计算方法得出y与x之间的函数金关系式；如图

27、中，当 vxWl时，重叠部分的面积等于平行四边形APQM的面积减去 AEM的面积，即可得出 y与x的函数关系式； 如图3中，当1vxv2时，重叠部分是 四边形PNEQ.根据相似三角形的性质，分别表示出EQ,ME,NE的长，根据重叠部分等于平行四边形NPQM的面积减去4MNE的面积，即可列出 y与x之间的函数关系；(3) 如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件.根据等角的同名三角函数值 相等，即tan/EAB=tan/ QPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值； 如图5中，当直线 AM经过CD的中点E时，满足条件.根据等角的同名三角函数值相 等，即tan/DEA=tan/

28、 QPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；综上所述即可得出答案。7,已知：如图，在四边形.伤色中，./，口=00 AB =m皿,BC现H , 应垂直平分且Q点/从点击出发，沿两方向匀速运动，速度为 九叫七；同时，点©从点/ 出发，沿方向匀速运动，速度为 7cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点F作用' 上.茄，交BC于点E ,过点6作QF/ f AC ,分别交AL ,应于点/，6 .连接 屈，瓦.设运动时间为 ( F、'力，解答下列问题：(1)当|l为何值时，点上在ZBAC的平分线上？(2)设四边形 出面的面积为5 f而今,求|5与F

29、的函数关系式.(3)连接腕,豳,在运动过程中，是否存在某一时刻卜，使版上窿？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：在贬1加中， ACB -比，必 /比口，岐 氏山， / BPE土 BCA=90又/ B=/B当F为4秒时，点历在二丑我的平分线上(2)解：如图，连接欠，|比.5强?施国7 - 5且融& * 54诙5 - S-函 * (Sagpc '以州 5d用,(3)解：存在.如图,连接|血.鹿20C,.-./欧千/欧=初|,.£00C / ZQOG =初|, 工EOC =上硒，.ImiqWtr = liii】NO ,整理得：srG,16解得5或10

30、(舍)【解析】【分析】(1)根据勾股定理求 AC,根据拈证1施,求出CD、 OD的值，根据BPa ABAC得到比例式，用含有 t的代数式表示出 PE BE,当点E在 ZBAC的平分线上时，因为EP±AB, EC±AC,可得 PE=EC由此构建方程即可解决问题(2)根据5四1脱喀；5'5 眦 5/,十(SaopcSaf 5超”构建函数关EC N系式即可.（3）证明/EOC=/ QOG,可得= tanQOG ,推出正一花,由此构 建方程即可解决问题.8.已知：如图，BC为。O的弦，点 A为。O上一个动点， OBC的周长为16.过C作a.CD/ AB交。于D, BD与AC

31、相交于点P,过点P作PQ/AB交于Q,设/ A的度数为（1）如图1,求/COB的度数（用含 a的式子表示）；（2）如图2,若/ABC= 90。时，AB= 8,求阴影部分面积（用含a的式子表示）；AB ' CD（3）如图1,当PQ= 2,求也？ + a的值.【答案】（1）解：.一/A的度数为a, / COB= 2/A=2 a(2)解：当/ABC= 90°时，AC为。的直径，1. CD/ AB,/ DCB= 180 - 90 =90, .BD为。O的直径， .P与圆心 O重合， . PQ/ AB 交于 Q, OQXBC,.CQ= BQ,.AB=8,1.OQ= AB=4,设。O的半

32、径为r, .OBC的周长为16,.CQ= 8- r,(8 - r) 2+42= r2 ,解得 r=5, CB= 6,2 仃襄 K $15 r a-X 6 X 4 = - 12阴影部分面积=360236(3)解：CD/ AB II PQ,.PQ=2,【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得 ZCOB= 2/A=2a； （2）当/ABC= 90°时,可得点P与圆心O重合，根据OBC的周长为16以及AB= 8,可求得。的半径为5,可 得出扇形COB的面积以及OBC的面积，进而得出阴影部分面积；（ 3）由CD/ AB/ PQ,可得 ABPCABDC, CPQ CAB ,即，PQCQ PQ&

33、amp;二 二ABCH CD0两式子相加可得|£2IAB r CDAB CD 即可得出AB 4的值.二、圆的综合9.已知：如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的。与AD, BD分别交于点 E、点F,且/ABE=/ DBC.（1）判断直线BE与。的位置关系，并证明你的结论；（2）若 sin/ABE=Y3, CD=2,求。的半径.【答案】（1）直线BE与。相切，证明见解析；（2）。的半径为 二2【解析】分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEO=90°,即可得出直线 BE与。相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中，利

34、用勾股定理推知 BE的 长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：（1）直线BE与。相切.理由如下：连接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE,Z OED=Z ODE.又. / ABE=/DBC,Z ABE=Z OED,矩形 ABDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °,直线BE与。O相切; / OED+Z AEB=90 ；/ BEO=90 ；E(2)连接EF,方法1:四边形ABCD是矩形，CD=2, /A=/C=90 ： AB=CD=2. /ABE=/DBC, .

35、 .sinZ CBD=sinABEDCBD sin CBD在 RtA AEB 中， CD=2, . BCDC. tanZ CBD=tan Z ABE, BCAE由勾股定理求得BE J6 .在 RtBEO中，/BEO=90°, E02+eB?=Ob2.设©O的半径为r,则2 (竭2 (2百方法 2： .DF是。的直径，./DEF=90°.四边形 ABCD是矩形，.-.ZA=Z C=90 °, ZABE=ZDBC,sinZCBD=sin ABEAB=CD=2.33设 DC x, BDV3x,则BC&x. . CD=2, BC2V2 tanZ CBD=

36、tanZABE, DCBCABAEE为AD中点.DF 为直径，ZFED=90°,EF/ AB,DF1BD2 OO的半径为2B点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度.10.如图，已知。的半径为1, PQ是。的直径，n个相同的正三角形沿 PQ排成一列, 所有正三角形都关于 PQ对称，其中第一个 AiBiCi的顶点Ai与点P重合，第二个 A2B2Q的顶点A2是BiCi与PQ的交点，最后一个AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上.如 图1,当n=i时，正三角形的边长 ai=；如图2,当n=2时，正三角形的边长 a2=;如图3,正三角形的

37、边长 an= (用含n的代数式表示).图1图2图3【答案】.38 .3 4n'、3I3 i 3n2【解析】分析:(I)设PQ与BiCi交于点D,连接BQ ,得出OD=AiD -O A ,用含ai的代数式表示。D,在AOBiD中，根据勾股定理求出正三角形的边长 a； (2)设PQ与B2 c2交于 点E,连接B2。，得出OE=AiE-OAi,用含a2的代数式表示 OE,在AOBzE中，根据勾股 定理求出正三角形的边长 a2； (3)设PQ与BnCn交于点F,连接Bn。，得出OF=AF-0Ai,用含an的代数式表示 OF,在4。8口5中，根据勾股定理求出正三角形的边长an.本题解析：3(I)

38、易知AiBiCi的图为一，则边长为 73,2ai = V3.(2)设AiBiCi的高为h,则A2O= i-h,连结 戌0,设B2C2与PQ交于点F,则有 OF= 2h i.2. B2O2=O卢 + B2F2,i= (2hi)2+ -la2.2h= -3-a2, . i=(m a2i)2+ ； a22,解得a2=鼠3I3(3)同(2),连结 BnO,设 BnCn 与 PQ 交于点 F,则有 BnO2= OF2+BnF2,i即 i = (nh i) + an2312 ,. 3nan (h = an, . - 1 = an + 1242解得an= 4净3n 111.函数是描述客观世界运动变化的重要模

39、型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为 A （6, 0）、B （0, 2）,点C （x, y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、V,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式 y=-x+m,由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是 m的最大值，（x+y）的最大值为 ;（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2,以（1）中的AB为斜边在右上方作 RtABM.设点M坐标为（x, y）,求（x+y） 的最大值是多少？【答案】（1） 6（2） 4+2 J5【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即

40、可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作 RtABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据 点C坐标为（x, y）,可构造新的函数 x+y=m ,则函数与y轴交点最高处即为 x+y的最大 值，此时，直线 y= - x+m与OD相切，再根据圆心点 D的坐标，可得 C的坐标为（3+拜，1 +J5）,代入直线y= - x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值为4+2 ,5 .详解：（1） 6；（2）由题可得，点 C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为（x, y）,可构造新的函 数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为 x+y的最大值，此时，直线 y=-x+m与OD相 切，交x轴与

41、E,如图所示，连接 OD, CD.- A （6, 0）、B （0, 2） , . .D （3, 1） , .OD=712 32 =而，/. CD=Vio .根据CD, EF可得，C、D之间水平方向的距离为 J5,铅垂方向的距离为 55, - C（3+石，1 + 75）,代入直线 y= - x+m,可得：1 + 75 = _ （3+75） +m,解得：m=4+2 /5x+y的最大值为 4+2 J5.故答案为：4+2 V5 .点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的 性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的 半径进行求解.

42、12.如图，已知 AB是。的直径，P是BA延长线上一点，PC切。于点C, CD，AB,垂 足为D.(1)求证：/PCA=/ABC;(2)过点A作AE/ PC交。于点E,交CD于点F,交BC于点M,若/ CAB= 2ZB, CF=J3,求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2)(1)如图，连接 OC,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得/ PCA=Z OCB,利用等量代换可得 / PCA之ABC.(2)先求出4OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出 Saoe、S§形boe、S abm的

43、值，利用&W部分S aoeS扇形boe S abm ,然后通过计算即可解答【详解】解：(1)证明：连接OC,如图, / PCA+/ ACO=90o,. AB 是。的直径，Z ACB=Z ACO+OCB=90o/ PCA=/ OCB, . OC=OB/. / OBC=Z OCB,Z PCA=/ ABC;(2)连接OE,如图, ACB 中，/ ACB= 90o, / CAB= 2 / B,B= 30o,ZCAB= 60o/. OCA是等边三角形, . CDXAB,.1. / ACD+/ CAD= / CAD+ Z ABC= 90o, / AC4 / B= 30o,. PC/ AEJ / P

44、CA=/CAE= 30o,.,. FC=FA, 同理，CF= FM, AM = 2CF=2 J3,RtA ACM 中，易得 AC=2=3= OC,2 / B= /CAE= 30o,.,. /AOC=/COE=60o,/ EOB=60oJ / EAB=Z ABC=30oJ MA=MB, 连接OM,EGL AB交AB于G点，如图所示， . OA=OB,.1- MOXAB,.-. MO = OAX tan30o=3 , CDQWEDO(AAS)EG=CD=AC x sin60o=3 , 2MO 3 31S abm 二 AB2同样，易求S aoe9 .3，46032360S山影部分S A0ES扇形 B

45、OESabM=M £ 3 363 3(1)解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难 度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.13.如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC, AB相交于点 D, E,连接AD,已知/ CAD= / B.(1)求证：AD是。的切线；求。的半径.ODXAD，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以 得出结果【详解】(1)证明：连接OD,-.OB=OD,.1. / 3= /

46、 B,一/ B= / 1 ,，/ 1 = / 3,在 RtACD中，/1 + /2=90°,/ 4= 180 - ( Z2+Z 3) = 90 °,ODXAD,则AD为圆O的切线；(2)过点O作OF, BC,垂足为F,.OFXBD1 一八 . DF= BF= BD= 32 . AC=4, C42, /AC490° AD= Jac2 cd2 =2通 / CAD= / B, / OFB= / ACA 90 .,.BFOAACDBF =OBAC =AD即 3=OB4 2.53、5 .OB=2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三

47、角形相 似的判定条件是解题的关键14.如图，PA切。O于点A,射线PC交。于C、B两点，半径 ODLBC于E,连接BD>DC和OA, DA交BP于点F； 1(1)求证：/ ADC+Z CBD= / AOD;2(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析;【解析】【分析】i根据垂径定理得到BnD cd ,根据等腰三角形的性质得到1 oo 1ODA 180 AOD 90- AOD ，即可得到结论；2 22根据垂径定理得到 BE CE , Bd CD ,根据等腰三角形的性质得到DAP 900,推ADO OAD ,根据切线的性质得到PAO 9

48、0°，求得 OAD出 PAF PFA,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】1 证明：QOD BC,n nBD CD，CBD DCB,Q DFE EDF 900, EDF 900DFE，QOD OA, 10°1ODA 180 AOD 90 AOD ,22oo 190 DFE 90 AOD ,2 1-DEF AOD, 2Q DFE ADC DCB ADC CBD , 1 ADC CBD - AOD ；22 解：QOD BC,BE CE，BD CD，BD CD ,QOA OD ,ADO OAD,Q PA切e O于点A,PAO 900,OADDAP 900,Q PFA D

49、FE ,PFAADO 90°，PAF PFA ,PA PF .【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别 图形是解题的关键.15.如图，已知 AB是。的直径，BC是弦，弦 BD平分/ABC交AC于F,弦DELAB于 H,交AC于G.求证：AG= GD； 当/ABC满足什么条件时， 4DFG是等边三角形？-3若 AB=10, sin/ABD= ，求 BC 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)当/ABC= 60。时，4DFG是等边三角形.理由见解析；14(3) BC的长为一.5【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE±AB, AB是e O的直径，