高等数学换元法ppt课件

1、教学目的：不定积分换元法教学目的：不定积分换元法教学重点：凑微分法教学重点：凑微分法教学难点：第二类换元法教学难点：第二类换元法第二讲第二讲 换元法换元法主视图主视图换元法换元法凑微分法凑微分法第二类第二类换元法换元法一次式的一次式的有理根式有理根式二次式的二次式的二次根式二次根式凑微分公式凑微分公式问题问题 xdx2cos,2sin21Cx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 换元换元换元以后再还原换元以后再还原求导数验证结果求导数验证结果凑微分法凑微分法

2、设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法）第一类换元公式凑微分法）说明说明 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将凑凑 dxxg)(.)()()()( duufdxxxfxu)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1难难易易凑微分法凑微分法证明证明 证由复合函数求导法则有证由复合函数求导法则有 可见)(xF是)()(xxf的一个原函数，故公式(1)成立 公式说明：当积分不便计算时，可考虑将g(x)化为的形式，那么 duufxdxfdxxxfdxxg)()()()()()(2) 对u积分求出)(uf的原函数)(uF

3、，再以)(xu代回即得所求积分，这种方法称为凑微分法凑微分法 )()()(xxfxF)()(xxfdxxg)(例例1 1 求求.2sin xdx解一）解一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解二）解二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解三）解三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例题例题例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)(

4、baxuduufa)(1一般地一般地例题例题例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 例题例题例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例题例题例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.1Caxarctga 例题例题例例6 6 求求.25812dxxx

5、解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.3431Cxarctg 例题例题例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例题例题例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例题例题例例9：求：求 22axdx解：原式解：原式dxaxaxa)11(21 )()(21axaxdaxaxdacaxaxa )ln()ln(21caxaxa |ln21例题例

6、题例例10：求：求 tgxxdx2cos解：原式解：原式ctgxtgxdtgx 2解：原式解：原式=cxctgxdxxdx )4(21)4(sin21)4sin(2122 2)cos(sinxxdx求求例例11:例题例题例例12 12 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1Cxctgx 例题例题例例13 13 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222x

7、dxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例题例题例例14 14 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例题例题例例15: 15: 求求解一）解一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos212x

8、dxxtg 221xtgdxtgCxtg 2ln.)ln(cscCctgxx ctgxxxxxxxxxxx cscsincos12sin2cos22sin2sin22cos2sin2tan:注注例题例题解二）解二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx例题例题考虑：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积考虑：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积 dxcbxax21 cbxaxxdx2

9、xdx 3sin bxdxaxcossin dxxbxa2222sincos1 dxxa221 dxax221 dxax221 dxcbxaxBAx2CarchxdxxCxdxx 11;arcsin1122Carshxdxx 112考虑考虑解解例例16 16 设设 求求 . .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例题例题例例17 17 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2

10、arcsinlnCx 换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用例题例题通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：凑微分公式凑微分公式 )()(1)(baxdbaxfadxbaxf)0( a； )()(21)(222baxdbaxfaxdxbaxf；)0( a xxxxdeefdxeef)()(； xdxfxdxxfln)(ln)(ln； xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos； xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin；xdxfxdxxftan)(tansec)(tan2；xdxfxdxxfarctan)(arctan1)(arctan2；xd

11、xfdxxxf11112凑微分公式凑微分公式回主视图回主视图问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin 再用再用“凑微分凑微分”.)()()()()(1)()(1cxFctFdtttfdxxfxttx 难难易易第二类换元法第二类换元法证：只要证右端的导数等于左端的被积函数证：只要证右端的导数等于左端的被积函数dtdxtFdxdtdtdFxF1)()(1 )()(ttf )(1t 设设)(tx 是是单单调调、可可导导函函数数，且且

12、0)( t)(,)()()(1xtctFdtttf 又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，即即定理定理2 2.)()(1cxFdxxf 则则由复合函数与反函数的导数，有由复合函数与反函数的导数，有)(tf ).(xf 第二类换元法第二类换元法第二类积分换元公式第二类积分换元公式 )(1)()()()2xtdtttfdxxf 注：注：1保证代换保证代换x=(t)的单调连续有反函数）；的单调连续有反函数）；代换代换 x=(t)，一起换。，一起换。 利用第二类换元法求不定积分的关键 在于选择适当的变量代换第二类换元法常用于求无理函数的积分. 注意注意 被积函数含有根式被积函数含有根式nbax

13、 )0( a解: dttttdttdxx2222221121 Cttdtt|2|ln422212Cxx12ln412 注:一般地说，当被积函数含有形如:nbax 的根号时，可作代换tbaxn有理根式积分有理根式积分解解: 设 ududxuxux2, 1,12则，于是 dxxx 11uduuuduuu2) 1(2112 CxxCuu323)1 (3232该例可利用凑微分法求解，而且更简洁：dxxx 11dxxdxxxx) 11(1)1() 11(2Cxxxxdx3)1 (32)1 (1例题例题 被积函数含有被积函数含有22xa 或或22ax )0( a例例18 : 求求dxxa22) 0( a解

14、解: 被积函数含有被积函数含有 22xa ,为此可令 taxsin化去根式 此时taxacos22tdtadxcosdttatdtatadxxa)2cos1 (21coscos222Ctta2sin21212于是二次根式二次根式由于 22t，故axtaxtsin,arcsinaxatt222sin1cos2222cossin22sinxaaxttt故 Cxaxaxadxxa222222arcsin2tax22ax也可用图解法(右图)直接得到: axat22cos例题例题例例19 19 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secs

15、ec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t例题例题例例20: 20: 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例题例题例例18 18 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttgtdttadx sec dxax221dtatgttgt

16、ta sec tdtsecCtgtt )ln(sectax22ax .ln22Caaxax 例题例题说明说明(3) :(3) :以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;atgtx 22)3(ax 可令可令.sectax 说明说明 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例

17、例19 19 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例题例题例例20 20 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx例题例题说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换可采用倒代换.1tx 例例21 21 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dtt

18、dx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解777776)2(171)2(dxxxdxxxx 例题例题例例22 22 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 例题例题 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 倒代换倒代换:dxxxa 422,222 xaxdx适适合合于于类类型型例题例题Cxxdx|cos|lntanCxxdx|sin|lncotCxxxdx|tansec|lnsecCxxdxx|cotcsc|lncotCaxaxadxarctan122)0( aCaxaxaxadxln2122)0( a 本节得到的一些积分结果常作公式使用 Caxxadxarcsin22)0( aCaxxaxdx2222ln)0( a扩充积分公式扩充积分公式 习题 421 填空：习题习题3 设 Cxd