毕业设计]不等式的几种特殊证明方法

1、 学士学位论文 本科毕业设计(论文)设计(论文)题目: 不等式的几种特殊证明方法 指导教师： 学 号： 姓 名： 院（部） 专业 届xxx 教务处制 年 月 日统计与数学学院数学与应用数学2007201122 学士学位论文xxxxxx 学士学位论文原创性声明学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 年 月 日xxxxxx 关于论文

2、使用授权的说明关于论文使用授权的说明本人完全了解 xxx 有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日 学士学位论文不等式的几种特殊的证明方法摘要不等式的证明方法通常涉及到数学的各分支领域,其理论性和技巧性一般比较强,因此不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型.如何寻求不等式的证明思路是正确求证不等式的关键所在.该文从证明不等式的几种常见的基本方法和几种特殊方法出发，逐层深入,引进一些证明不等式的高观点的方法,并通过一些具体例子

3、,介绍一些典型的不等式的证明方法与变形技巧，从而灵活地运用和掌握基本地解题技巧，同时也拓宽了学习数学的知识面和强化了证明不等式的灵活性.以列举典型例题进行逐层深入研究,然后再针对一些特殊的证明方法进性分析证明和应用举例.从而把各类不等式的理论来源和研究方法展示出来。关键词：不等式；证明；方法；技巧 Special Method And Skill In Proving Inequality ABSTRACTThe proof method of inequality usually involves to mathematics various branches domain, its the

4、ory and skillful are generally stronger, therefore proof of the inequality has become the popular topic of various competition. How to seek the proof mentality of the inequality often is the key to solve the problem 。This article embarks from several common essential methods and several special meth

5、ods of proof of inequality, which is thorough by the level, introduces some proof inequalities of the high viewpoint of method, and through some concrete examples, introduces some models of which the inequality proof method and the distortion skill ，therefore to utilize and to grasp basically skill

6、of solving the inequality problem ,and also to study aspect of mathematics knowledge and to strengthen the proof inequality of flexibility. By enumerates the typical example to carry on by the level thorough research, then aims at some special proof method entering analyses to prove and to apply aga

7、in gives an example. Thus demonstrated each kind of inequality theory origin and the research technique.Keywords： Inequality; Proof; Method; Skill 学士学位论文目录摘要.1引 言.1一 、一元函数微分学中不等式的证明方法.21.直接利用拉格朗日中值定理证明不等式.22.利用函数的单调性证明不等式.33.利用函数的最值和极值证明不等式.44.利用函数的凹凸性证明不等式.55.泰勒中值定理在不等式证明中的应用.56.利用幂级数展开证明不等式.77.利用柯

8、西中值定理证明不等式.7二 、有关积分领域涉及到的不等式证明.81.利用积分性质证明不等式.82.利用积分中值定理证明不等式.10参考文献:.11 学士学位论文引引 言言 不等式是数学的重要组成部分,他几乎遍及数学的每一个学科分支领域，正如 D.S.密特利诺维奇在文1解析不等式一书中所说的:“今天,不等式在数学的所有领域里起着重要的作用,并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域”.最初由柯西、贝努利兄弟，费马、施瓦兹等著名数学家们的提出到今天的日趋完善,经历了一个极其漫长和复杂的过程,因此不等式在数学的所有领域中起着重要的作用.同时也吸引着众多数学家们的研究兴趣，由于它本身具有完美的形式及

9、证明的困难性和方法的多样性,往往可以考察分析能力和应变能力。因此不等式已成为各类数学竞赛的热门题型. 不等式即为用不等号(“”,“ ”，“ ”) 连接起来的式子.虽然其定义简捷明了,但是对于它的理论研究也逐渐形成一门新的学科分支,不等已成为一大热点和难点问题.本文将主要通过一些典型的实例,介绍不等式的其几种证明方法和变形技巧不等式的证明也是一门艺术，它具有自己独到的丰富的技术手法。因此，我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想；充分利用微分与积分的知识来证明不等式，使一些复杂的不等式得到更加简洁的证明，也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于要抓住不等式的特点

10、，从而迅速有效地解决问题.下面我将从微积分所涉及到的几个不同方面的不等式来阐述其特殊的几种方法微积分是高等数学的重要组成部分，是一种实用性很强的数学方法和工具，在自然科学和工程技术等方面都有着广泛的应用。同时在微积分领域同样存在着证明不等式的几种特殊的方法和技巧. xxx 学士学位论文2一一 一元函数微分学中不等式的证明方法一元函数微分学中不等式的证明方法1. 直接利用拉格朗日中值定理证明不等式直接利用拉格朗日中值定理证明不等式定理 1（拉格朗日中值定理） 如果函数满足)(xf(1)在闭区间上连续；ba,(2)在开区间内可导；ba,那么在开区间内至少有一点（） ，使等式.ba,ba)()()(

11、abfafbf【利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路】：设在上连续，在)(xfba,内可导，由拉格朗日中值定理知存在（a，3n!2nnxexx211说明：当要证得不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法进行证明。7.利用柯西中值定理证明不等式利用柯西中值定理证明不等式定理3（柯西中值定理） 设满足:)(),(xgxfxxx 学士学位论文8(1)在区间上连续;ba,(2)在区间内可导；ba,（3）和不同时为零；)(xf )(xg（4）.)()(bgag则至少存在一点）（）（）（）（）（）（使得gfag-bgaf-bf,ba例7.1:设,证明2ebae2224lnlneabb

12、b证明：设则xxgxxf)(,ln)(21)(,ln2)(xgxxxf对于在上应用柯西中值定理有)(),(xgxfba,).(ln2lnln22baabbb设考察,ln2)(ttt ),(t。2)ln1 (2)(ttt显然当时，即.以在时单调递减。从而.et , 0ln1t0)( t)(tet )()(2e即，故.2222lnlneee2224lnlneabbb说明：柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值定理，当一个函数取作自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用柯西中值定理来证，反之则不然.二二 有关积分领域涉及到的不等式证明有关积分领域涉及到的不

13、等式证明1. 利用积分性质证明不等式利用积分性质证明不等式定积分的性质：性质1：若f在上可积，为常数，则在上也可积，且ba,kkfba,xxx 学士学位论文9;)()(dxxfkdxxkfbaba性质2：若都在上可积，则在上也可积，gf ,ba,gf ba,bababadxxgdxxfdxxgxf;)()()()(性质3：若在区间上，有，那么ba,)()(xgxfbabadxxgdxxf;)()(性质4：在上可积的充要条件是：任给在与上都可积.fba,c,bafca,dc,此时，又有等式bacabcdxxfdxxfdxxf;)()()(性质5：设为上的可积函数，若，fba,baxxf, 0)(

14、badxxf. 0)(例1.1 证明不等式.)0(lnbaababab分析：积分和微分是互逆运算，积分本身具有单调性，问题关键在于把不等式两边构造成积分形式，使用微积分基本不等式 ，再利用积分性质便)()(aFbFbadxxf）（可得到.证明：不等式的左边 =,右边=，abablnlnlnbalnxd）（dxx1baab badx令在上是可积函数，由积分性质有：1)(,1)(xgxxfba,0，dxxba2) 1(进而2bababadxxdxxdx022 因此有成立，即0)11)()(ln4)(4222baababdxxdxxdxbababa，而于是有2)(lnabababbaab2)()11

15、)(,0 , 0, 0lnbaabab成立，即证.abababln例1.2 证明：)0(61sin3xxxxxxx 学士学位论文10证明： 因为所以所以得, 0 x,sinxx 20021sincos1xxdxdxxxxx1-,两端在此积分得，即xcos221x300261)21 (cosxxdxxxdxxx即证.361sinxxx2. 利用积分中值定理证明不等式利用积分中值定理证明不等式定理2 若函数在上可积，且存在原函数，则至少存在一点，使)(xfba,ba,得)()(abfdxxfba例2.1 证明不等式 11083分析：此不等式若用平方法证明比较简单，这里利用积分中值定理来进行证明：把

16、不等式作差转换成积分中值定理的形式.证明：不等式变形为，左边，8101313131112113dxxxd同理右边。注意到8,1即，21081810 xd102, 31亦有，因此有成立.12118101311083xxx 学士学位论文11参考文献参考文献1 D.S.密特利若奇（著）.张小萍,王龙（译）解析不等式M.北京:科学出版社.2 徐文兵.不等式的证明方法与技巧J.3 徐文兵.用“零件不等式”证明一类积式不等式J数学通讯2004.5 北京大学数学系几何与代数研究前代数小组编.高等代数M.第三版.北京：高等教育 出版社.6 任念兵.解不等式问题的一些高观点方法J.中学数学研究.7 华东师范大学

17、数学系编.数学分析M（上，下册）.第三版.北京:高等教育出版社.8 缪铨生.概率与数理统计M.第二版.上海:华东师范大学出版社.9吴传生主编，数学分析习题精解 中国科技大学出版社.10人民教育出版社中学数学室高中数学课程标准M人民教育出版社11数学复习全书 李永乐主编 国家行政学院出版社.致谢在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师王玉霞老师的热情关怀和悉心指导。在我撰写论文的过程中，王玉霞老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了王老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是她广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一

18、丝不苟的工作作风使我终生受益，在此表示真诚地感谢和深深的谢意.在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议，在此一并致以诚挚的谢意。感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友.xxx 学士学位论文12经典经典婚庆主持词婚庆主持词炮竹声声贺新婚炮竹声声贺新婚, ,欢声笑语迎嘉宾欢声笑语迎嘉宾. .尊敬各位来宾尊敬各位来宾, ,各位领导各位领导, ,各位亲朋好友各位亲朋好友, ,先生们先生们, ,女士们女士们, ,活泼可爱的小朋友们活泼可爱的小朋友们, ,大家好大家好! ! 好歌好语好季节好歌好语好季节, ,好人好梦好姻缘好人好梦好姻缘. .来宾们今天是公元来宾们今天是公元*年年*月月*日日( (农

19、历六月初八农历六月初八) )是良辰吉日是良辰吉日, ,在这大吉大利吉祥喜庆在这大吉大利吉祥喜庆的日子里的日子里, ,我们怀着十二分的真诚的祝福相聚在我们怀着十二分的真诚的祝福相聚在*酒楼一楼婚宴大厅共同庆贺酒楼一楼婚宴大厅共同庆贺*先生与先生与*小姐新婚典礼小姐新婚典礼.(.(首先我们给予掌声的恭喜首先我们给予掌声的恭喜) )大家都知道结婚是人生中的一件大事大家都知道结婚是人生中的一件大事, ,而婚礼而婚礼更是人生中最幸福神圣的时刻更是人生中最幸福神圣的时刻, ,尤其婚礼上浪漫尤其婚礼上浪漫温馨温馨高雅别致的婚礼仪式以及亲朋好友的高雅别致的婚礼仪式以及亲朋好友的良良好好祝愿会给新人一生永远带来

20、最美好的回忆祝愿会给新人一生永远带来最美好的回忆. .各位亲朋好友各位亲朋好友, ,我是本次婚礼庆典的主持人我是本次婚礼庆典的主持人*.*.今今天我十分荣幸地接受新郎新娘的重托天我十分荣幸地接受新郎新娘的重托, ,步入这神圣而庄重的婚礼殿堂为新郎步入这神圣而庄重的婚礼殿堂为新郎*,*,新娘新娘*的的婚礼担任司仪之职婚礼担任司仪之职. .让我们在这里共同见证一对新人人生中最幸福神圣美好的一刻！让我们在这里共同见证一对新人人生中最幸福神圣美好的一刻！真是真是: :百鸟朝凤凤求凰百鸟朝凤凤求凰, ,龙凤呈祥喜洋洋龙凤呈祥喜洋洋. .xxx 学士学位论文13让我们用掌声祝贺他们祝福新人让我们用掌声祝贺

21、他们祝福新人凤凰展翅迎朝晖凤凰展翅迎朝晖, ,恩爱鸳鸯比翼飞恩爱鸳鸯比翼飞. .携手同步知心人携手同步知心人, ,共创宏图献真情共创宏图献真情. .郎才女貌天作美郎才女貌天作美, ,洞房花烛喜成双洞房花烛喜成双. .在神圣的婚礼进行曲中一对新人手挽手在神圣的婚礼进行曲中一对新人手挽手, ,肩并肩缓缓步入婚礼大厅肩并肩缓缓步入婚礼大厅. .脸上充满了无比幸脸上充满了无比幸福的笑容让我们用掌声与鲜花给予一对新人最诚挚的祝福福的笑容让我们用掌声与鲜花给予一对新人最诚挚的祝福. .婚姻是人生大事婚姻是人生大事, ,结婚典礼对青结婚典礼对青年男女来说是一生中最重要的时刻年男女来说是一生中最重要的时刻.

22、.你也笑你也笑, ,我也笑我也笑, ,亲朋好友齐来到亲朋好友齐来到. .天也新天也新, ,地也新地也新, ,众星捧月迎新人众星捧月迎新人. .新郎新娘台上站新郎新娘台上站, ,甜蜜甜蜜感觉涌心间感觉涌心间. .风风雨雨牵手过风风雨雨牵手过, ,今天喜结美姻缘今天喜结美姻缘. .亲朋好友齐相聚亲朋好友齐相聚, ,欢欢喜喜来贺喜欢欢喜喜来贺喜. . * * * * * * 天仙配天仙配, ,幸福的生活比蜜甜幸福的生活比蜜甜. .在这个激动人心的美好时刻在这个激动人心的美好时刻, ,作为婚庆司仪作为婚庆司仪, ,首先请允许我代表新郎新娘以及新郎新娘首先请允许我代表新郎新娘以及新郎新娘的双方家长的双方

23、家长, ,对今天百忙当中来参加婚礼的各位来宾对今天百忙当中来参加婚礼的各位来宾, ,各位亲朋好友的光临表示最诚挚的谢各位亲朋好友的光临表示最诚挚的谢意和热烈的欢迎意和热烈的欢迎( (谢谢大家谢谢大家)!)!欢迎你们欢迎你们! !婚礼对每一个新婚的人而言婚礼对每一个新婚的人而言, ,都是神圣都是神圣, ,浪漫浪漫, ,唯美和经典的唯美和经典的, ,随着神圣的婚礼进行曲奏随着神圣的婚礼进行曲奏响响, ,英俊的新郎和美丽的新娘在掌声与祝福声中英俊的新郎和美丽的新娘在掌声与祝福声中, ,缓缓的步上红地毯缓缓的步上红地毯, ,那是万众瞩目的一瞬那是万众瞩目的一瞬, ,那是梦寐以求的一瞬那是梦寐以求的一瞬

24、, ,那是凝结爱的万语千言的一瞬那是凝结爱的万语千言的一瞬, ,那是最激动人心的一瞬那是最激动人心的一瞬, ,一同迷醉在尘一同迷醉在尘世间最美妙的气氛里世间最美妙的气氛里. .爱情是古老而年轻的话题爱情是古老而年轻的话题, ,也是不朽的人生主题也是不朽的人生主题. .许多人已经拥有许多人已经拥有, ,更多人正在追求更多人正在追求, ,今今天这两位新人从有过初恋时天这两位新人从有过初恋时 月上柳梢头月上柳梢头, ,人约黄昏后人约黄昏后 的热烈心跳的热烈心跳, ,到也有热恋中到也有热恋中 冷落清秋冷落清秋伤别离的难舍难分伤别离的难舍难分,经历了经历了 似水柔情似水柔情, ,如梦佳期如梦佳期, ,的

25、苦苦期盼的苦苦期盼, ,品尝过品尝过 相知不渝相知不渝, ,永结金兰永结金兰的浪漫温馨的浪漫温馨, ,终于迎来这携手共赴红地毯的幸福时刻终于迎来这携手共赴红地毯的幸福时刻. .啊啊! !美丽的新娘美丽的新娘, ,这一刻这一刻, ,整个世界因你整个世界因你xxx 学士学位论文14而多姿多采而多姿多采, ,英俊萧洒的新郎英俊萧洒的新郎, ,这一刻这一刻, ,整个宇宙而为你祝福整个宇宙而为你祝福, ,祝福你们在这鲜花绽开的时候祝福你们在这鲜花绽开的时候, ,祝福你们在这神圣庄重的幸福时刻祝福你们在这神圣庄重的幸福时刻. .首先由我介绍一下二位新人首先由我介绍一下二位新人, ,站在我身边这位英俊潇洒的

26、男子就是我们今天的新郎官站在我身边这位英俊潇洒的男子就是我们今天的新郎官*先生先生,(,(掌声恭喜掌声恭喜) )新郎不仅风度翩翩新郎不仅风度翩翩, ,气质不凡气质不凡, ,而且忠厚诚实为人和善而且忠厚诚实为人和善, ,是一位才华出众是一位才华出众的好青年的好青年. .大家往我们新郎身上看大家往我们新郎身上看, ,新郎今天是新洗的脸新郎今天是新洗的脸, ,新刷的牙新刷的牙, ,新刮的胡子新刮的胡子, ,新理的发新理的发, ,新衬衣新衬衣, ,新领带新领带, ,新买的皮鞋脚下踩新买的皮鞋脚下踩, ,新背心新背心, ,新西服新西服, ,里边还穿了一条新内裤里边还穿了一条新内裤, ,新郎浑身上下新郎浑身上下全是新全是新, ,新郎心情喜盈盈新郎心情喜盈盈. .大家给点掌声大家给点掌声. .旁边这位美丽迷人漂亮温柔的女子旁边这位美丽迷人漂亮温柔的女子, ,就是我们今天就是我们今天的新娘子的新娘子*小姐小姐.(.(掌声恭喜掌声恭喜) )介绍新娘介绍新娘, ,大家看我们的新娘人家眉毛好大家看我们的新娘人家眉毛好, ,眼睛好眼睛好, ,鼻子好鼻子好, ,嘴嘴巴好巴好, ,耳朵好耳朵好, ,脸蛋好脸蛋好, ,最关键还是人家心眼好最关键还是人家心眼好, ,温馨小姐温文而雅温馨