初中数学三角函数难题

1、学习资料收集于网络，仅供参考与交流1已知等边 ABC内接于 O，点 D是 O上任意一点，则 sin ADB的值为（）A1BCD2在 Rt ABC中， C=90°，BD是 ABC的角平分线，将 BCD沿着直线 BD折叠，点 C 落在点 C1 处，如果 AB=5，AC=4，那么 sin ADC1的值是3观察下列等式 sin30 °=cos60°= sin45 °=cos45°= sin60 °=cos30°=根据上述规律，计算sin 2 a+sin 2（90°a）=4有四个命题： 若 45°a90°

2、，则sina cosa； 已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形； 已知 x1 ，x2 是关于 x 的方程 2x2+px+p+1=0的两根，则 x1+x2+x1 x2 的值是负数； 某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为16 个其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上） 5如图，一束光线从点 A（ 3，3）出发，经过 y 轴上点 C反射后经过点 B（1，0），则光线从点 A 到点 B 经过的路径长为如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流6在 Rt ABC中， C=90°，BC：AC=3：4，则 cosA=7如

3、果 是锐角，且 sin 2 十 cos235°=1，那么=度8因为 cos30°= ，cos210°=，所以 cos210°=cos（180°+30°）=cos30°=；因为 cos45°= ，cos225°=，所以 cos225°=cos（180°+45°）=cos45°=；猜想：一般地，当a 为锐角时，有cos（180°+a）=cosa，由此可知cos240°的值等于9在 ABC中，已知 sinA=，cosB=，则 C=10在 ABC中，（t

4、anC1）2+| 2cosB|=0，则 A=11若 、 均为锐角，则以下有4 个命题： 若 sin sin ，则 ； 若 +=90°，则 sin =cos； 存在一个角，使sin =1.02 ； tan =其中正确命题的序号是（多填或错填得0 分，少填的酌情给分）12附加题：如图，在Rt ABC中， BC、AC、AB 三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA= ，tanA=我们不难发现： sin 260°+cos2 60°=1， 试探求 sinA 、cosA、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流

5、13对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：sin =sin （180°），cos= cos（180°）（ 1）求 sin120 °， cos120°， sin150 °的值；（ 2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A，B 是这个三角形的两个顶点，sinA ，cosB 是方程 4x2mx1=0 的两个不相等的实数根，求m的值及 A 和 B的大小14如图，在梯形ABCD中， ADBC，AD=3，DC=5，AB=4， B=45°动点 M从 B 点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C 运动；动点 N同时从C点出发沿线段

6、CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（ 1）求 BC的长；（ 2）当 MNAB时，求 t 的值；（ 3）试探究： t 为何值时， MNC为等腰三角形15如图，从热气球 C上测得两建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60 度如果这时气球的高度CD为 90 米且点 A、 D、 B 在同一直线上，求建筑物A、B 间的距离如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流16钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B 船在

7、A 船的正东方向， 且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向， B 的北偏东 15°方向有一我国渔政执法船 C，求此时船 C与船 B的距离是多少（结果保留根号如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流1已知等边 ABC内接于 O，点 D是 O上任意一点，则 sin ADB的值为（）A1BCD【解答】 解： ABC是等边三角形， ACB=60° ADB与 ACB是同弧所对的圆周角， ADB=60° sin ADB=sin60°= 故选 C2（2013?崇明县一模）在Rt ABC中， C=90°，BD

8、是 ABC的角平分线，将 BCD沿着直线 BD折叠，点 C 落在点 C1 处，如果 AB=5，AC=4，那么 sin ADC1的值是【解答】 解： C=90°，BD是 ABC的角平分线，将 BCD沿着直线 BD折叠， C1 点恰好在斜边 AB上， DC1A=90°， ADC1=ABC， AB=5， AC=4， sin ADC1= 故答案为： 如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流3（2012?衡阳）观察下列等式 sin30 °=cos60°= sin45 °=cos45°= sin60 °=cos30&#

9、176;=根据上述规律，计算sin 2 a+sin 2（90°a）=1【解答】 解：由题意得， sin 230°+sin 2（90° 30°）=1；sin 245°+sin 2 （90° 45°）=1；sin 260°+sin 2 （90° 60°）=1；故可得 sin 2a+sin 2（90°a）=1故答案为： 14（2010?防城港）有四个命题： 若 45°a90°，则sina cosa； 已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形； 已知 x1 ，x2 是关

10、于 x 的方程 2x2+px+p+1=0的两根，则 x1+x2+x1 x2 的值是负数； 某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为16 个其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上） 【解答】解： 因为 sin45 °=cos45°= ，再结合锐角三角函数的变化规律，故如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流此选项正确； 不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误； 根据根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2= x1+x2+x1x2= ，是正数故此选项错误； 根据题意，得 2 小时它由 1 个分裂 24 个，

11、即 16 个，故此选项正确故正确的有 5（2011?莆田）如图，一束光线从点A（ 3，3）出发，经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B（ 1，0），则光线从点 A 到点 B 经过的路径长为5【解答】 解：如图所示，延长 AC交 x 轴于 B则点 B、B关于 y 轴对称， CB=CB作 AD x 轴于 D 点则 AD=3，DB=3+1=4AB=AC+CB=AC+CB=5即光线从点 A 到点 B 经过的路径长为5如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流6（2007?眉山）在Rt ABC中， C=90°，BC： AC=3：4，则 cosA=【解答】 解： RtABC中，

12、C=90°，BC： AC=3：4，设 BC=3x，则 AC=4x， AB=5x， cosA= = = 7（2002?西城区） 如果 是锐角，且 sin 2 十 cos235°=1，那么 = 35度【解答】 解： sin 2 十 cos235°=1， =35°8（2010?湛江） 因为 cos30°= ，cos210°=，所以 cos210°=cos（ 180°+30°）=cos30°=；因为 cos45°= ，cos225°=，所以 cos225°=cos（180&

13、#176;+45°）=cos45°=；猜想：一般地，当a 为锐角时，有cos（180°+a）=cosa，由此可知cos240°的值等于【解答】 解：当 a 为锐角时，有 cos（180°+a） = cosa，如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流 cos240°=cos（180°+60°）=cos60°= 9（2013?邵阳模拟）在ABC中，已知 sinA=，cosB=，则 C=105° 【解答】 解： sinA=，cosB=， A=30°， B=45°，

14、 C=180° 30° 45°=105°故答案为： 105°10（2012?海南模拟）在ABC 中，（ tanC 1） 2+| 2cosB|=0 ，则 A=105° 【解答】 解：（ tanC 1） 2+|2cosB|=0 ， tanC 1=0， 2cosB=0，即 tanC=1，cosB= ，又 B、C在同一个三角形中，B=30°， C=45°，A=180° 30° 45°=105°故答案是 105°11（2011?九江模拟）若、 均为锐角，则以下有4 个命题：

15、若 sin sin ，则； 若 +=90°，则 sin =cos； 存在一个角，使sin =1.02 ；tan =其中正确命题的序号是（多填或错填得 0 分，少填的酌情给分）【解答】 解： sin sin ，则 ；故此选项正确； 若 +=90°，则sin =cos（90°） =cos，如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流故此选项正确； 存在一个角 ， sin =， sin 1， sin =1.02 ，故此选项错误； tan =根据对应边之间关系得出，故此选项正确故答案为： 12（2008?庆阳）附加题：如图，在Rt ABC中， BC、AC、A

16、B三边的长分别为a、b、c，则 sinA=，cosA= ，tanA=我们不难发现： sin 260°+cos260°=1， 试探求 sinA 、cosA、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由【解答】 解：存在的一般关系有：（ 1） sin 2A+cos2 A=1；（ 2） tanA=证明：（1） sinA=， cosA= ，a2+b2=c2， sin 2A+cos2 A=1（ 2） sinA=， cosA= ，如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流 tanA= = ，= 13（2013?大庆）对于钝角，定义它的三角函数值如下：sin =sin （18

17、0°），cos= cos（180°）（ 1）求 sin120 °， cos120°， sin150 °的值；（ 2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A，B 是这个三角形的两个顶点，sinA ，cosB 是方程 4x2mx1=0 的两个不相等的实数根，求m的值及 A 和 B的大小【解答】 解：（1）由题意得，sin12 0°=sin （180° 120°） =sin60 °=，cos120°=cos（180° 120°）=cos60°= ，sin150 &#

18、176;=sin （180° 150°） =sin30 °=；（ 2）三角形的三个内角的比是1： 1： 4，三个内角分别为30°， 30°， 120°， 当 A=30°， B=120°时，方程的两根为 ，将代入方程得： 4×（ ） 2m× 1=0，解得： m=0，经检验2的根，是方程 4x 1=0 m=0符合题意； 当 A=120°， B=30°时，两根为，不符合题意； 当 A=30°， B=30°时，两根为 ，如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，

19、仅供参考与交流将代入方程得： 4×（ ） 2m× 1=0，解得： m=0，经检验不是方程 4x2 1=0 的根综上所述： m=0， A=30°， B=120°14（2010?密云县）如图，在梯形ABCD中， AD BC，AD=3，DC=5，AB=4，B=45°动点 M从 B 点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点 N 同时从 C点出发沿线段 CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为 t 秒（ 1）求 BC的长；（ 2）当 MNAB时，求 t 的值；（ 3）试探究： t 为何值时， MNC为等腰三角形【

20、解答】解：（ 1）如图 ，过 A、D 分别作 AKBC于 K， DHBC于 H，则四边形ADHK是矩形 KH=AD=3在 Rt ABK中， AK=AB?sin45°=4 ?=4，BK=AB?cos45°=4=4在 Rt CDH中，由勾股定理得， HC=3 BC=BK+KH+HC=4+3+3=10如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流（ 2）如图 ，过 D 作 DG AB交 BC于 G点，则四边形 ADGB是平行四边形 MNAB， MNDG BG=AD=3 GC=103=7由题意知，当 M、N 运动到 t 秒时， CN=t， CM=102t DGMN， N

21、MC=DGC又 C=C， MNC GDC，即解得，（ 3）分三种情况讨论： 当 NC=MC时，如图 ，即 t=10 2t ，如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流 当 MN=NC时，如图 ，过 N 作 NE MC于 E解法一：由等腰三角形三线合一性质得：EC= MC= （ 102t ）=5 t 在 Rt CEN中， cosC= =，又在 Rt DHC中， cosC=，解得 t=解法二： C= C， DHC=NEC=90°， NEC DHC，即 t= 当 MN=MC时，如图 ，过 M作 MF CN于 F 点 FC= NC= t 解法一：（方法同 中解法一），解得解法二：如有侵权，请联系网站删除学习资料收集于网络，仅供参考与交流 C= C， MFC=DHC=90°， MFC DHC，即，综上所述，当 t=、t=或 t=时， MNC为等腰三角形15（2015?甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60 度如果这时气球的高度C