专训3交线与平行线中的思想方法

1、专训 3相交线与平行线中的思想方法名师点金： 1. 本章体现的主要方法有：基本图形（添加辅助线）法、分离图形法、平移法2几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等基本图形（添加辅助线）法1已知 AB CD，探讨图中 APC 与 PAB 、 PCD 的数量关系，并请你说明成立的理由（第 1题）分离图形法2若平行直线 EF ，MN 与相交直线 AB，CD 相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？（第 2题）1平移法3如图，在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶，它们的总宽度是3 米，总高度是 2 米，图中所成角度均为直角，现要在从A 到 B 的台阶上铺上地毯，求地

2、毯的总长度（第 3题）4如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，小路的宽为 2 m，则绿化的面积为多少？（第 4题）方程思想5如图，由点 O 引出六条射线 OA， OB，OC， OD， OE，OF ，且 AO OB， OF 平分 BOC ， OE 平分 AOD，若 EOF 170°，求 COD 的度数（第 5题）2转化思想6如图， AB CD ， 1 B， 2 D ，试说明BE DE .（第 6题）数形结合思想7如图，直线 AB，CD 被 EF 所截， 1 2， CNF BMN 180 °.试说明： AB CD， MP NQ.（

3、第 7题）分类讨论思想8如图，已知直线 l1 l 2，直线 l3 交 l 1 于 C 点，交 l 2 于 D 点， P 是线段 CD 上的一个动点，当 P 在线段 CD 上运动时，请你探究 1， 2， 3 之间的关系（第 8题）3答案1 解析： 要探究三个角的数量关系，可找出联系这三个角的平行线，因此联想到作平行线(第 1题)解： APC PAB PCD.理由如下：如图，过点P 作 PE AB. AB CD ， PE AB CD . PAB APE， PCD CPE(两直线平行，内错角相等) APC APE CPE， APC PAB PCD (等量代换 )2 解： 如图，将给出的图形分离为8

4、个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有 2 对同旁内角，知共有16 对同旁内角(第2题)3 解： 由平移的性质可知，地毯的总长度为3 25( 米)方法规律： 此题运用了 平移法 ，这些台阶不均匀， 无法具体计算每级台阶的宽度和高度，但若把所有台阶的宽平移至BC 上，发现总和恰好与BC 相等，若把所有台阶的高平移到AC上，发现总和恰好与AC 相等4解：如图，把两条小路平移到长方形地块ABCD 的最上边和最左边， 则余下部分EFCG是长方形 CF 32 2 30(m)， CG 20 2 18(m)，长方形 EFCG 的面积 30× 18 540(m2)即绿化的面积为 540 m2.

5、(第 4题)(第6题)45 解： 设 COD x.因为 OF 平分 BOC ， OE 平分 AOD ，所以 COF 12 BOC，EOD 1 AOD.因为 EOF x COF EOD 170°，所以 COF EOD 170° 2x.又因为 x2 COF 2 EOD 90° 360 °，所以 x 2(170 °x)90° 360 °，所以 x 70°，即 COD 70°.方法规律： 有些复杂的求角度的问题用方程思想 求解非常简单， 注意方程思想的应用6 解： 如图，过点E 作 EF AB. EF AB， A

6、B CD ， EF CD. DEF D(两直线平行，内错角相等)又 D 2， DEF 2(等量代换 )同理：由 EF AB， 1 B，可得 BEF 1.又 1 2 BEF DEF 180°(平角的定义 )， 1 2 BEF DEF BED 90°. BE DE.方法规律： 解该类问题需转化为比较简单、熟悉的几何问题，通过在“拐点”处作平行线为辅助线， 把一个大角分成两个小角， 分别与已知角建立联系， 这种转化思想 在解题时经常用到7 解： 由对顶角相等，得CNF END .又 CNF BMN 180°，所以 END BMN 180°.所以 AB CD.所

7、以 EMB END .又因为 1 2，所以 END 2 EMB 1，即 ENQ EMP.所以 MP NQ.点拨： 平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定，而性质则是由“形”到“数”的说理， 研究两条直线的垂直或平行的共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的数量关系8 解： 当点 P 在 C， D 之间时，过P 点作 PE AC，则 PE BD ，如图 . PE AC, APE 1(两直线平行，内错角相等 ) PE BD ， BPE 3(两直线平行，内错角相等 ) 2 APE BPE， 2 1 3. 当点 P 与点 C 重合时， 10°，如图 . l1 l 2(已知 )， 2 3(两直线平行，内错角相等) 1 0°， 2 1 3.当点 P 与点 D 重合时