人教版初三(下)数学第84讲：解直角三角形(1)(教师版)

1、解直角三角形（1）知识梳直1.解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.（2）解直角三角形要用到的关系锐角直角的关系：z A+z B=90°；三边之间的关系：:边角之间的关系：sinA=/A的对边：斜边二a： c, cosA=N A的邻边：斜边=b： c, tanA=N A的对边：邻边=a： b.（a, b, c分别是nA、nB、nC的对边）2.特殊角的三角函数值特指、角的各种三角函数值.sin300=l： cos30°=亚；tan3O°=2/l：223sin450二返：cos450=退; tan450=l ；

2、22sin600=； cos600=； tan60°=22参考答案：1. （2） a2+b2=c22. 30。、45。、60°典例讲练）1 .解直角三角形中的求边问题.【例1】（2014黑龙江七令河中学期末）已知，在 ABC中，NA=45。，AC=&, AB=G1,则 边BC的长为.【分析】作CD_LAB于点D.构造直角三角形求解.【解答】解：作CDJ_AB于点D.NA=45°, AC=V2> Z ACD=45%设AD=x,则CD=x.由勾股定理得2x2=2,x=l./ AB=V>1>BD= V3-在 Rta BCD 中， BC2=BD2

3、+CD2,BC=J/+(a)2=2BC练 L 在 ABC 中,Z B=90°, Z C=30°, AB=3.(1)求AC的长：(2)求BC的长.【分析】（1）直角三角形中，30。角所对直角边是斜边的一半，易得AC的长：（2）运用勾股定理或三角函数的定义，易得BC的值.【解答】解：（1）直角三角形中，30。角所对直角边是斜边的一半，故 AC=2AB=6：BC=VaC2 -xB2=V36-9 = V27 =3V3 练 2.如图，直角梯形 ABCD 中，ADII BC, Z A=90% AB=AD=6, DE_LDC 交 AB 于 E, DF 平分 NEDC交BC于F,连接EF.

4、（1）证明:EF=CF：（2）当tan/ADE=时，求EF的长.【分析】（1）过D作DGJLBC于G,由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质 和已知条件证明 ADE GDC,接着利用全等三角形的性质证明 EDF" CDF,（2）由tanN ADE=1根据已知条件可以求出AE=GC=2.设EF=x,贝ij BF=8 - CF=8 - x, 3BE=4.在R3BEF中根据勾股定理即可求出x,也就求出了 EF.【解答】（1）证明：过D作DGd.BC于G.由已知可得四边形ABGD为正方形，/ DEJLDC./. Z ADE+Z EDG=90°=Z GDC+Z EDG

5、,/. Z ADE=Z GDC.又 Z A=Z DGC 且 AD=GD,/. ADE GDC,/. DE=DC 且 AE=GC.在 EDF和仆CDF中"DE二DC，/EDF=/CDF，DF=DF/. EDF CDF,/. EF=CF：(2)解：.,tanN ADE= 返2， AD 3AE=GC=2.BC=8,BE=4,设 CF=x,贝ijBF=8-CF=8-x,在R3BEF中，由勾股定理得：x2= (8-x) 2+42, 解得x=5,即EF=5.2.求直角三角形中的三角函数值.【例2】（2015河北沧州一中月考）如图，在梯形ABCD中，ADII BC, AB=DC=8, Z B=60

6、。，BC=12,连接AC（1）求 tanz ACB 的值；（2）若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN,求线段MN的长.A D【分析】（1）作梯形的一条高AE,发现30。的直角三角形ABE,根据锐角三角函数求得BE, AE的 长，再进一步求得CE的长，从而完成求解过程；（2）显然MN是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可.再作梯形的另一条高，根据全 等三角形和矩形的性质求得梯形的上底.【解答】解：（1）如图，作AE_LBC于点E.在R9 ABE中，BE=AB*cosB=8xcos600=4,AE=AB sinB=8xsin60°=4 V3»/. CE=BC-BE= 12-

7、4=8.在ACE中，tanz ACB=笆EC 82（2）作DF_LBC于E则四边形AEFD是矩形.AD=EF, DF=AE.; AB=DC, Z AEB=Z DFC=90%1/. RtA ABE RS DCF (HL)/. CF=BE=4,EF=BC - BE - CF=12 - 4 - 4=4,/. AD=4.又M、N分别是AB、DC的中点，MN是梯形ABCD的中位线，/. MN=-i (AD+BC) = (4+12) =8.22练 3.如图，在梯形 ABCD 中，N A=Z B=90°. AB=卬1，点 E 在 AB 上,N AED=45°, DE=6,CE=7.求:

8、AE的长及sinz BCE的值.【分析】（1）在RS DAE中，Z A=90% NAED=45。, DE=6,根据这些条件利用余弦函数求AE； （2）在RQ BCE中，EC=7,再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sin/BCE的 值.【解答】解：（1）如图，在 R3DAE 中，Z A=90% NAED=45。，DE=6.cos/AED二卷/. AE=DExcosz AED=6xcos45°= 32.（2） / BE=AB - AE, BE=5近-又历二2&.在 Rt/iBCE 中，EC=7,sin/BCE 二第 Ce._2V2-,73.解直角三角形.【例3】（2014

9、天津塘沽中学期中）如图，在 ABC中，Z C=90% Z B=30% AD是NBAC的角平 分线，与BC相交于点D,且AB=4«,求AD的长.【分析】在Rt/iABC,可求AC的值；运用三角函数的定义求解.【解答】解：在Rt/k ABC中，/ Z B=30%/. AC=lAB=-ix4V3=2V3-. AD平分N BAC,二在 Rt/kACD 中，Z CAD=30%.AD=双主*=4.cos30 VI"T练 4.如图,在 ABC 中,Z C=90% 点 D、E 分别在 AC、AB 上，BD 平分N ABC, DE_LAB, AE=6, cosA=W.求（1） DE、CD 的

10、长：（2） tan/DBC 的值.【分析】（1）由DELAB, AE=6, cosA=2,可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角 5平分线的性质可得DC=DE=8；（2）由 AD=10, DC=8,得 AC=AD+DC=18.由N A=N A, Z AED=Z ACB> 可知 ADE- ABC,由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出 tanz DBC=-i.3【解答】解：（1）在 Rt/k ADE 中，由 AE=6, cosA=上?=受，得：AD=10,AD 5由勾股定理得DE=J加2 一皿2=Jio2-62=8.BD平分/ABC, DEJLAB, Z C

11、=90%角平分线性质得：DC=DE=8.（2）方法一：由（1） AD=1O, DC=8,得：AC=AD+DC=18.在 ADE 与 ABC, NA=NA, NAED=NACB,. ADE ABC得：叫坦，即BC=24, （5分）BC AC BC 18得：tanz DBC=2=A=A （6）BC 24 3方法二：由（1）得 AC=18,又 cosA=£至，得 AB=3O, AB 5由勾股定理得BC=24 （5分）得：tanNDBC=L34.矩形中解直角三角形.【例4】（2014山东青岛一中期末）如图，在矩形ABCD中，DEJLAC于E,设N ADE=a,且cosa=卫，AB=4,则AD

12、的长为（）51【分析】由已知条件可知：AB=CD=4, Z ADE=Z ECD=a.在 RS DEC 中，cosz ECD=cosa=55=>DC 5 由此可以求出CE.然后根据勾股定理求出DE,最后在RS AED中利用余弦函数的定义即可求出 AD.【解答】解：由己知可知：AB=CD=4> Z ADE=Z ECD=a.在 RtA DEC 中，cosz ECD=cosa=C£/,DC 5即舁二，4 5CE.5根据勾股定理得DE='cd2 .CE凄"在 Rt/iAED 中，cosa=典二，AD 516即至工AD 5AD=1.3故选：B.练5.如图，Z MON

13、=25°,矩形ABCD的对角线ACLON,边BC在OM上，当AC=3时，AD长 是多少？（结果精确到0.01）【分析】延长AC交ON于点E,即根据等角的余角相等发现NACD=N 0=25。，再运用解直角三角形的知识求解.【解答】解：延长AC交ON于点E./ AC±ON,/. Z OEC=90°.四边形ABCD是矩形，/. Z ABC=90% AD=BC.又.noce=n ACB,/. Z BAC=Z 0=25°.在 Rt/iABC 中，AC=3,/. BC=AC-in25F.27,5.梯形中解直角三角形.【例5】(2015江苏连云港中学期末)如图，在梯形

14、ABCD中,ADll BC, AB=DC=8, Z B=60°,BC=12,连接 AC.(1)求 tanz ACB 的值;(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN,求线段MN的长.长，再进一步求得CE的长，从而完成求解过程：(2)显然MN是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可.再作梯形的另一条高，根据全 等三角形和矩形的性质求得梯形的上底.【解答】解：(1)如图，作AE_LBC于点E.在R" ABE中，B E=A B cosB=8xcos600=4,AE=AB sinB=8xsin60°=4/. CE=BC-BE=12-4=8.在R3 ACE中，tanz A

15、CB/3.EC 82(2)作DF_LBC于F,则四边形AEFD是矩形.AD=EF, DF=AE. AB=DC, Z AEB=Z DFC=90。，/. RtA ABE RS DCF (HL)/. CF=BE=4,EF=BC - BE - CF=12 - 4 - 4=4,/. AD=4.又M、N分别是AB、DC的中点，MN是梯形ABCD的中位线，/. MN=-i (AD+BC) = (4+12) =8.22练 6.如图,在梯形 ABCD 中，ADIIBC, AC±AB> AD=CD, cosB=At BC=26.13求：cosnDAC的值;（2）线段AD的长.【分析】（1）在RS

16、ABC中根据已知条件解直角三角形可以求出cosnDAC的值；（2）因为 ADC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质：底边上的中线也是底边的高就可 以解题.【解答】解：（1）在 Rt/kABC 中，z BAC=90% cosB=5BC 13 / BC=26,/. AB=10. 1- ac=VbC2 -iB2=a/262 - 102=24- / ADII BC,/. Z DAC=Z ACB./. cosz DAC=cosz ACB= BC 13（2）过点D作DEJ_AC,垂足为E, AD=CD, AC=24,/. AE=EC=1AC=12,又 AD=DC,2/.在 RtA ADE 中，cosz DA

17、E=«）.AD 13/. AD=13.1 .如图，在 ABC 中，Z C=90% NB=50。，AB=10,则 BC 的长为（）1A. 10tan50° B. 10cos50° C. 10sin50° D. 8s50"2 .如图，在 ABC中，点D在AC上，DE±BC,垂足为E,若AD=2DC, AB=4DE,则sinB等B仃3A品于()C.莘D-i3 .如图，在等腰直角三角形ABC中，Z C=90% AC=6, D是AC上一点，若】N DBA=1,则AD 5的长是（）C. 1D.4 .如图，在 ABC 中，Z C=90% Z B=6

18、0% 则BC的长为()26D 是 AC 上一点，DELAB 于 E,且 CD=2, DE=1,A. 2B.新C. 2V3 D.4/315.如图, 为（在 ABC 中，Z ACB=90% CD_LAB 于 D,若 AC=2® AB=3«,贝ij tanN BCD 的值 )b-tDY拳当堂总豆）$乡家庭作亚）1 .如图， ABC 中，z C=90°, AC=16cm, AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D,连接 BD,若 cosz BDC=A. 8cm B. 4cm C. 6cm D. 10cm2 .如图，在 ABC 中，NA=30。，tanB=返，AC= 则 A

19、B=（）2A. 4 B. 5 C. 6 D. 73 .如图，已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线 上的D，处，那么】N BAD等于（）A. 1 B. 6 c.逛 D. 2V224 .如图，在菱形ABCD中，Z ABC=60% AC=4,则BD的长为（）5 .在 RtzABC 中，Z C=90°, AB=13, BC=5,则 tanA=()号B亳c ii D.6 .己知，如图，梯形 ABCD 中，AD II BC, N B=45。，Z C=120% AB=8,则 CD 的长为（）CA.苧 B.*D. 4近7 .如图，在菱形ABCD中，z AD

20、C=120%则BD： AC等于（）8.在 RS ABC 中，Z C=90°,C.1： 2D. V3： 1A.a 口 a c=; B. c= C.sinA cotAc=a>tanA D. c=acotA当已知NA和a时，求c.应选择的关系式是（）9.如图，在 RS ABC 中，Z ACB=90% CD_LAB 于点 D.已知 AC=J, BC=2,那么 sin/ACD=( )A.在B. 2 C,私立 335210.在 ABC 中，Z C=90% AB=15, sinA=i,则 BC 等于()3A. 45 B. 5 C. 1 D. A 545参考答案：当堂检测1.【分析】根据三角函

21、数的定义即可求解.【解答】解：,cosB=些，/. BC=ABcosB=10cos50°.故选B.2.【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题.作AFJ_BC于点F,则有DEIIAF.根据平行线分线段所成比例关系得三角形边的关系，然后根据三角函数定义进行求解.【解答】解：作AFJ_BC于点F,则有DEIIAF. / AD=2DC,/. DC： AC=1： 3=DE： AF,/. AF=3DE. Z AB=4DE,. n AF 3 .sinB=-=.AB 4故选D.【分析】作DEAB,构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长. 【解答】解：作DE_LAB于E

22、点. / tanz DBA工里5 BE/. BE=5DE, ABC为等腰直角三角形，Z A=45。，AE=DE./. BE=5AE,又AC=6>AB=6j./. AE+BE=5AE+AE=6V2./. ae=6，.在等腰直角 ADE中，由勾股定理，得AD=J0XE=2.故选B.4.【分析】由已知可求NA=30。，AC=4,即求BC=ACtanA=4x*X*Z333【解答】解：在 ABC中，Z C=90% z B=60° /. Z A=30° / CD=2, DET, .AD=2, AC=AD+DC=4,由N A=Z A, Z DEA=Z C=90°,得 AB

23、C- ADE,.BC_AC"dFae.BC_ 4 ,y73bc=223故选B.5.【分析】证明nBCD=n A,求认即可.根据三角函数的定义求解.【解答】解：由勾股定理知，c2=a2+b2/. BC=（32）2 _2=a/6.根据同角的余角相等，z BCD=z A./. tanz BCD=tanz A二双退.xC 2故选B.家庭作业1.【分析】根据垂直平分线性质可知BD=AD,所以BD+CD=AC：根据cosz BDC=3可求出BD和CD, 5从而根据勾股定理求出BC.【解答】解：:MN为AB的中垂线, BD=AD.设 AD=acm,/. BD=acnit CD= (16 - a)

24、cm,cosz BDC=16-a=j, BD a 5a=10.,在 RS BCD 中，CD=6cm, BD=10cm,/. BC=8cm.故选A.2.【分析】作CD_LAB于点D,构造直角三角形，运用三角函数的定义求解.【解答】解：作CDJ_AB于点D.由题意知，: sinA=0,AC/. CD=ACsinA=ACsin300=23x1=V3-cosA=.AC/. AD=ACcos300=2后也2tanB=-5=, BD 2BD=2.AB=AD+BD=2+3=5.故选B.【分析】根据旋转不变性，BD=BD-根据三角函数的定义可得tan/BAD，的值.【解答】解：由题知，NABDJ90。，BD=BDJ J皿2 +搦2=2返，詈孚声.故选B.4.【分析】由题可知，在直角三角形BOA中，NABO=30。，AO=1AC=2,根据勾股定理可求BO, 2BD=2BO.【解答】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点./. AC±BD, AC=4,AO=2.丁 Z ABC=60%/. Z AB