备战高考解析几何专题

1、解析几何专题(1)1.设 a R,则"a= 1” 是"直线 I 1： ax+ 2y 1 = 0 与直线 12： x + (a+ 1) y+ 4 = 0 平行”条件.解：若两直线平行，则a(a + 1) = 2，即a + a 2= 0, a= 1或一 2，故a= 1是两直线平行的充分不必要条件.答案充分不必要2.直线I过点A(1,2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍且截距不为零，则其方程.x+ 2y 5= 0若直线(2t 3)x + 2y+ t = 0不经过第二象限，则t的取值范围是解析 直线方程可化为：y = I t x 2,由题意,32 -1 > 0, 得t产0

2、,解得0< t < 13.过点4.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为(2,2)作圆(x 3) 25.已知 0< kv 4,直线 |1： kx 2y 2k + 8 = 0 和直线 I 2： 2x + ky 4k 4 = 0 与两坐标轴 y21的切线，则切线长为解析围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为所求直线过点 A且与OA垂直时满足条件，此时 koA= 2,故求直线的斜率为-2,所以直线方程为 y 2= 2(x 1)，即x+ 2y 5= 0.答案x+ 2y 5= 0解析 由题意知直线I 1, 12恒过定点P(2,4)，直线|1的纵截距为4 k,直线12的横

3、截1 1距为 2k2 + 2,所以四边形的面积S= 2X 2X (4 k) + 2X 4X (2 k2 + 2) = 4k2 k+ 8，故面积最小时，k =1答案81 2 26过点P2, 1的直线I与圆C:（X 1）2 + y2= 4交于A, B两点，当/ ACB最小时，直线 l的方程为解析：验证知点p2, 1在圆内,当/ ACB最小时，直线I与CP垂直,由圆的方程，圆心C（1,0）1 k= 2.1 0 kCP= 1 = 2,2 1I的方程为y 1 = 1 X 1，整理得2X 4y+ 3= 0.答案：2x 4y + 3 = 0. . 2 27.过圆X+ y= 4内一点P（1,1）作两条相互垂直

4、的弦 AC BD,当AC= BD时，四边形 ABCD的面积为解析：过圆心 0向AC BD引垂线，则构成一个正方形，贝y0到AC BD距离为1，则AC= BD= 2/3,则四边形 ABC啲面积为6.答案：6& （2012 泰州期末）过点q3,4）且与X轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为3,2，则r 12 =解析：由题意得，满足与 X轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限,设圆心坐标为（a, a），则半径r = a,圆的方程为（X a）2 + （y a）2= a2,又C(3,4)在此圆上，将C的坐标代入得(3 a)2+ (4 a)2= a2,2整理得 a 14a + 25= 0,2r 1,2分

5、别为a 14a + 25= 0的两个解，- r 1r 2= 25.答案：259.设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线y= X上；截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是解析由题意可设圆心 Aa, a)，如图，贝y 22 + a2= 2a2解得a = ±2, r2 = 2a2 = 8.所以圆 C的方程是(X+ 2)2+ (y+ 2)2= 8 或(x 2)2+ (y 2)2= 8.答案(X + 2)2+ (y + 2) 2= 8 或(X 2)2+ (y 2)2= 810.若三条直线 X +y+ 1 = 0,2X y + 8= 0和ax+ 3y 5 = 0共有三个不同的交点，则实数a满足

6、的条件是1解析 当三条直线交于一点时，a=三；当x+ y + 1 = 0与ax+ 3y 5 = 0平行时，a = 3；3当2X y + 8= 0与ax+ 3y 5 = 0平行时，a= 6.故a满足的条件是 a且 aM 6且3a工3.答案 aM云且aM 6且a3311.过点P(0,1)作直线I使它被直线l 1： 2x+ y 8 = 0和I 2： x 3y+ 10= 0截得的线段被点P平分，求直线I的方程.解 设I1与I的交点为A(a, 8 2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点E( a, 2a6)在I 2上,代入12的方程得一a 3(2 a 6) + 10 = 0, a= 4,即点A(4,0)

7、在直线I上,又.T过点R0,1) 所以直线I的方程为X+ 4y 4= 012.已知直线I过点R3,2)，且与X轴、y轴的正半轴分别交于A E两点，求(1)截距之和最小时直线的方程(2) ABO勺面积的最小值及此时直线 I的方程.解设A(a,0) yO'b),(a>0,b>0)，则直线 l 的方程为 2+b=1，-l 过点 P(3,2)，3 2- a+ b=1.3 2!6 1=a+2彳05,即"24. &ABg 1ab> 12.当且仅当 3= 2,即 a= 6, b= 4,2a b ABO勺面积最小，最小值为 12.此时直线I的方程为:即 2x + 3

8、y 12 = 0.13.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数 f(x) = x2 + 2x + b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1) 求实数b的取值范围;求圆C的方程;(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.解(1)令x = 0,得抛物线与y轴的交点是(0 , b), 令 f (x) = x2 + 2x + b= 0,由题意 bM0 且 A>0,解得b<1且bM 0.(2)设所求圆的一般方程为x2 + y2 + DX+ Ey+ F= 0.令 y = 0 得 x2 + Dx+ F= 0,这与x2+2x+ b= 0是同一个方程，

9、故 D= 2, F= b.2令x = 0得y + Ey+ F= 0，此方程有一个根为 b.代入得出E= b 1.2 2圆 C的方程为 x+y+ 2x (b+ 1)y + b= 0. 圆C必过定点(0,1)和(一2,1).证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，2 2得左边=0 +1 + 2X 0(b+ 1) + b= 0，右边=0,圆C必过定点(0,1).同理可证圆C必过定点(一2,1).14.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C：(X + 1) + y= 1,圆C： (x 3) + (y 4) = 1.(1)若过点0( 1,0)的直线I被圆G截得的弦长为6，求直线I的方程;5(2) 设动圆C同

10、时平分圆C的周长、圆C2的周长.证明：动圆圆心 C在一条定直线上运动;动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐*标；若不经过,请说明理由.解(1)设直线I的方程为y= k(x + 1),即 kx- y+ k = 0.因为直线I被圆C2截得的弦长为5,而圆C2的半径为1,所以圆心G(3,4)到I : kx y5+ k= 0 的距离为 |4A41 = 4.5化简，得 12k2 25k + 12 = 0，解得 k= 4或 k = 3.34所以直线I的方程为4x 3y + 4 = 0或3x 4y + 3= 0.证明：设圆心 C(x, y)，由题意，得 CC= CG,即 y X + 12+ y2 = x

11、 32+ y 42化简得X+ y 3= 0,即动圆圆心 C在定直线X+ y 3 = 0上运动.圆C过定点，设C(m,3 m ,则动圆C的半径为寸1 + cC=_n+ 1 2+_3 m 2.于是动圆C的方程为(X m2+( y 3+ m22 2=1 + 叶 1) + (3 m .整理，得 X+ y 6y 2 2m(x y + 1) = 0.x y + 1 = 0,由 x2 + y2 6y 2 = 0,3J2x = 1 一 2 ， 或 或2 3返y=2-于所以定点的坐标为1-攀2 罟,1 +攀2 +罟15.在平面直角坐标系 xOy中，曲线y= X2 6x + 1与坐标轴的交点都在圆 C上.求圆C的

12、方程; 若圆C与直线X y+ a= 0交于A, B两点，且 OAL OB求a的值.2解： 曲线y= X 6X+ i与y轴的交点为(0,i),与X轴的交点为(3 + 2寸2, 0) , (3 2、/2, 0).故可设C的圆心为(3 , t),则有 32+ (t 1)2= (22)2 +12,解得 t = 1.则圆C的半径为 2+ t- 12 = 3.所以圆C的方程为(X 3)2+ (y 1)2= 9.(2)设A(xi, yi) , B(X2, y2)，其坐标满足方程组X y + a= 0,22X 3+ y 1= 9.消去 y,得方程 2x + (2 a 8)x + a 2a+ 1 = 0.由已知

13、可得，判别式A = 56 16a 4a2>0.从而 xi + X2= 4-a,2a 2a+1X1X2 =2.由于OAL OB可得XiX2 + yiy2= 0.又 yi = xi + a, y2= X2+ a,2所以 2xiX2 + a( Xi + X2) + a = 0.由得a= 1,满足 A >0,故a= 1.16. (2013 淮安模拟)如图所示，已知以点A 1,2)为圆心的圆与直线li： x+2y+ 7=0相切.过点B( 2,0)的动直线I与圆A相交于M N两点，Q是MN的中点，直线I与11相交于点P(i)求圆A的方程；当|MN = 2伍时，求直线I的方程;BQ- BP是否为

14、定值？如果是，求出其定值;说明理由.解(i)设圆A的半径为R如果不是，请圆A与直线11: x+ 2y + 7= 0相切, R=辭. _ 2 2圆 A的方程为(X + 1) + (y 2) = 20.当直线I与x轴垂直时，易知x= 2符合题意;当直线I与x轴不垂直时，设直线I的方程为y = k(x + 2)，即kx y+ 2k = o.连接 AQ 则 AQL MN|MN = 2 濟， |AQ = 7 20 19 = 1. 由IAQ =岸=1，得 k=3.直线I的方程为3x 4y + 6= 0.所求直线I的方程为x = 2或3x 4y+ 6 = 0.(3) AQL BP AQ- Bf= 0. BQ

15、- BP= (Bm AQ - BP=bA- bf aQ- bf= BA- BP当直线I与x轴垂直时，得P 2, I .则BP= 0, 2，又 BA= (1,2), BQ-直 EsA-直5.当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y= k(x + 2).4k 7 5kPP 1 + 2k，1 + 2k -y = k x+2,由解得x +2y+ 7= 0,-a 5 5k BF= 1 + 2k，1 + 2k .10k =5.a a a a5 BQ Bp= BA Bp= 1- 1 + 2k综上所述，BQ- BP是定值，且BQ- Bf= 5.17.已知O C过点 P(1,1)，且与O M (x+ 2) +

16、(y + 2) = r (r >0)关于直线 x +y+ 2 = 0 对称.(1) 求O C的方程; 设Q为O C上的一个动点，求 Q-尬(的最小值;(3)过点P作两条相异直线分别与O C相交于A B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补, 0为坐标原点，试判断直线 0P和AB是否平行？请说明理由.a2 b2丁 + 丁 + 2= 0，解设圆心C(a, b)，则有b+ 2 a2 = 1.解得a= 0,则圆C的方程为b= 0.2.2 2x + y = r ,将点故圆P的坐标代入，得r2= 2.2 2C的方程为X + y = 2. 设 Qx, y)，则 x2+ y2= 2，且pQ-(x 1, y

17、1)-2 2(x + 2, y + 2) = x+y+ x + y 4= x+ y 2.所以'Ph 1(的最小值为4.(也可由线性规划或三角代换求得)由题意知，直线 PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA y 1= k(x1) , PB y 1 = k(x 1).y 1 = k x 1由 x2 + y2= 2,得(1 + k2)x2 + 2k(1 k)x + (1 k)2 2 = 0.因为点故可得P的横坐标x= 1 一定是该方程的解,k2 2k 1Xa=, I 2.1 + k同理,k2+ 2k 1Xb =1 + k2Xb Xa所以 kAB= g= k XB 1 kXA 1

18、Xb Xa2k k XB+ xa.Xb Xa=1 = koP.所以直线AB和OP定平行.解析几何专题(2)2 2X y1.点P为椭圆h +詁=1(a>b>O)上一点，F1, F2为椭圆的焦点，如果/ PFF2 = 75°,/ PF2Fi= 15°，则椭圆的离心率为解析：由题意得/ F1PF= 9O°, PF1= 2c cos 75°, PF2= 2c sin 75°,所以 2c(sin 75°+ cos 75 ° ) = 2a,1sin 75 ° + cos 75答案：半2.已知B为双曲线2爲1(a O

19、,b O)的左准线与X轴的交点，点 A(O,b)，若满足bULUAP 2Ab的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为.-2Z?,ULU【解析J设点由丽-2丽得(xj-力)卄1中，整理加=2一近X23.已知椭圆2aa2 y b21(a b0)的左、右焦点分别为Fi( GO), F2(c,0),若椭圆上存在一点P使sin PFjF?，则该椭圆的离心率的取值范围为sin PF2R4.在直角坐标系 xOy中，已知中心在原点，离心率为2的椭圆 E的一个焦点为圆C: X2 y2 4x 2 O 的圆心.求椭圆E的方程；设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为11的直线l1,l2，当直线l1,l2都与圆C相切时

20、,求P点坐标.xl匸116 12(2)设P Xo,yo ，得 ii: y yoki XXo ,l2:y yok2 X xo12，依题意2,O到li的距离为2k1yo一匕2整理得 2 X)22 k12 2xo2yok1 yo 2 o 同理22 Xo 2二kik2是方程2Xok1k2k22Xoyok2yo220Xok22 2Xo yoky0220的两实根10Xo2y。12分2yoXo2Xo162yo122Xo2yo14分2,3 或P2, 3或普芈或普,年16分5.已知双曲线X22詈=1,椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3).(1)求椭圆方程;设椭圆的左、右顶点分别为 A, B,右焦点为F,直线

21、I为椭圆的右准线，N为I上的一动点，且在 X轴上方，直线 AN与椭圆交于点若AMh MN求/ AMB勺余弦值;设过A, F, N三点的圆与y轴交于P, Q两点，当线段 PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程.解(1)双曲线焦点为(± 2,0),2X设椭圆方程为+a2古=1(a>b>o).2 . 2 .a b = 4,则49孑+芦j解得 a2= 16, b2 = 12.X2故椭圆方程为亦+y212=1. 由已知，A 4,0) , B(4,0) , F(2,0)，直线 I 的方程为 x= 8.设 N8 , t)( t >0)./ AM= MN M2, 2 .由点M在椭

22、圆上，得t = 6.故点所以uLurMAcosM的坐标为M2,3).UULTUULTMA = ( 6, 3) , MB = (2 , 3),UULT MB = 12 + 9 = 3.UUUrUULT_/AM= 一UUUA MUUut = =-頓.| MA | I MB | 寸36+ 9 /4+96516 4D+ F= 0,D= 2,4+ 2D+ F= 0,得E= 64 + t72令 X = 0，得 y t + Y y 8= 0.设 P(0 , yi) , qo, y2),由线段PQ的中点为(0,9)，得y1 + y2= t+ ¥= 18.此时，所求圆的方程为X2 + y2 + 2x

23、18y 8= 0.+ 8D+ Et + F= 0,F= 圆的方程为 X2+ y2 + 2x72t + 匸 y 8= 0,8.72t T，设圆的方程为X2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0,将A, F, N三点坐标代入，得6.已知点 P (4, 4)，圆 C： (X m)2 y2 5(m 3)与椭圆E:2x2a2b? 1(a 0,b 0)PF1与圆C相切。的一个公共点为 A (3, 1), Fi , F2分别是椭圆的左、右焦点，直线(1)求m的值与椭圆E的方程;(2) 设D为直线PF与圆C的切点，在椭圆 E上是否存在点 Q，使 PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并

24、说明理由。解(1) 点 A(3,1)在圆 C上， (3 m)215设 Fi( c,0) , P(4,4)直线PFi的方程为4x(4 c)y 4c 0直线PFi与圆C相切|4 4c|c)2欣0)a2 b2由9116解得2 ab2182椭圆E的方程是18(2)直线P F1的方程为x 2y 40由 X 2y2 4 2 0 得切点 D(0,2)(X 1)2 y2 510分又 P(4,4),线段PD的中点为M(2,3)又椭圆右焦点 F2(4,0)kMF2又kPD332 421-,线段PD的垂直平分线的斜率为232-214分，线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点16分即在椭圆上存在两个点PDC是以PD为底

25、的等腰三角形.(或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明 ) 7.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆G : (X 1)2 y2 16，圆C? : (x 1)2 y2 1，点S为圆C1上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心C2（ 1, 0）恰与点S重合，折痕与直线SC交于点P .（1）求动点P的轨迹方程;（2）过动点S作圆C2的两条切线，切点分别为 M、N，求MN勺最小值;设过圆心C2（ 1, 0）的直线交圆Ci于点A B，以点A、B分别为切点的两条切线交于点Q，求证：点Q在定直线上.解：（1）由题意得PGPC2 PCi PS 4 C1C2，故P点的轨迹是以 0、C2为焦点,为长轴长的椭圆，则2a

26、 4,c2 /1 '所以a 2，b屁故P点的轨迹方程是乡专1.（5分）（2）法1 （几何法）四边形 SMCN 的面积 1 SC, MN 2sm MC 2 SM ,所以MNSC22cos MSC2 2J1 sin2 MSC2 2“, （9 分）V SC2从而SC取得最小值时，MN取得最小值,显然当S（ 3,0）时，SC取得最大值1所以 MN min 21 73 . （ 12 分）法2 （代数法）设S（xo, yo），则以SC为直径的圆的标准方程为Xo 122yo2该方程与圆C2的方程相减得,Xox yoy Xo 0, （8 分）则圆心C2到直线MN的距离d/xo2yo1yo2 2xo 1

27、2因为Xo 1yo2 16,所以2 2Xoyo152xo,从而d J ', XoJ16 4xo3,5 ,故当 xD3 时 dmax -1 ,因为 MN2j1d2，所以 MNmin2/111(X 1) ny 16 ,(3)设Q(m, n)，则“切点弦” AB的方程为 m将点(-1 , 0)代入上式得 mR,故点Q在定直线x 7上. (16分)解析几何专题(2)1.如图所示，已知圆C : (x 1)2 y2 8,定点A(1,o), M为圆上一动点，点P是线段AM 的垂直平分线与直线 CM的交点.(1) 求点P的轨迹曲线E的方程；(2) 设点P(Xo, yo)是曲线E上任意一点，写出曲线 E

28、在点P(Xo, yo)处的切线丨的方程; (不要求证明)(3) 直线m过切点P(xo,yo)与直线l垂直，点C关于直线m的对称点为 D，证明：直 线PD恒过一定点，并求定点的坐标.解：(1) Q点P是线段AM的垂直平分线， PA = PMPA + PC=PM + PC = 272> AC = 2,动点N的轨迹是以点C (- 1, o), A (1, o)为焦点的椭圆.椭圆长轴长为2a 2j2,焦距2c=2. a J2c 1,b2 1.5'2曲线E的方程为y21.2(2) 曲线E在点P(xo, yo)处的切线丨的方程是 泌 yoy 1.2(3) 直线 m 的方程为 Xo(y yo)

29、 2yo(x Xo)，即 2yoX Xoy Xoyo o .D m, n ,2xo3 3xo2 4xo 4设点C关于直线m的对称点的坐标为nXo则m 12yoI xn2XoYo直线PD的斜率为y。k - m Xo从而直线PD的方程为:m，解得x。2 42xo4 4xo3 4xo2 8xo2yo(4 Xo2)Xo4 4Xo3 2Xo2 8Xo 82yo( Xo3 3Xo2 4)Xo4 4Xo3 2Xo2 8Xo 8 /、Yo '3 -2 (x xo)2yo( Xo3 3xo2 4)3216'42%（ X一3X0y 1,从而直线PD恒过定点A（1,0）.X04 4X03 2X02 8X08，2.已知椭圆O的中心在原点，长轴在X轴上，右顶点A（2,0）到右焦点的距离与它到右准线31的距离之比为、巳.不过A点的动直线y 丄X m交椭圆0于P Q两点.22（1）求椭圆的标准方程；（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点A,P,Q请求出定点B的坐标.的动圆记为圆C，已知动圆C过定点A和B （异于点A）,21 a b 0 由题意得 b22解：（1）设椭圆的标准方程为ac爲,Xb 1,2分椭圆的标准方程为 -4-y2 1 4分(2)证明：设点 P(X1, y1),Q(X2, y2)将y1X2m带入椭圆，化简得：X22mx2(m21