容斥原理习题加答案

1、.1. 现有 50 名学生都做物理、 化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学实验做正确的有31 人，两种实验都错的有4 人，则两种实验都做对的有()A、27 人B、25 人C、19 人D、10 人【答案】 B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4 A B得 A B=25，所以答案为 B。2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。 其中 25是白色的，75是蓝色的。如果这批衬衫共有100 件，其中大号白色衬衫有10 件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】 C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为AB，本题设小号和蓝

2、色分别为两个事件 A 和 B，小号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为： 100=50+75+10AB，得： A B=35。3. 某高校对一些学生进行问卷调查。 在接受调查的学生中， 准备参加注册会计师考试的有 63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有47 人，三种考试都准备参加的有24 人，准备只选择两种考试都参加的有46 人，;.不参加其中任何一种考试的都15 人。问接受调查的学生共有多少人？（）A120B144C177D192【答案】 A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数 =

3、各集合数之和两两集合数之和三集合公共数三集合之外数63+89+47(x+24)+(z+24)+(y+24)+24+15199 （ x+z+y）+24+24+24+24+15根据上述含义分析得到： x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为120.4. 对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影， 既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有12 人，则只喜欢看电影的有

4、多少人（）A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人【答案】 A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数 =各集合数之和两两集合数之和三集合公共数三集合之外数10058+38+52 18+16+（ 12+x）+12+0, 因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x14。52 x+12+4+Y14+12+4+Y，得到 Y22 人。;.5. 某班统计考试成绩，数学得90 分上的有 25 人 ;语文得 90 分以上的有 21 人 ;两科中至少有一科在90 分以上的有38 人。问两科都在

5、90 分以上的有多少人?解：设 A= 数学成绩90 分以上的学生 B= 语文成绩 90 分以上的学生 那么，集合A B 表示两科中至少有一科在90 分以上的学生，由题意知， A=25， B=21， AB=38现要求两科均在90 分以上的学生人数，即求AB，由容斥原理得 AB =A +B - A B =25+21-38=8点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A ， B，并且会表示A B ，AB，再利用容斥原理求解。6. 某班同学中有 39 人打篮球， 37 人跑步， 25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?解：设 A= 打篮球的同学;B= 跑步的同学 则 AB

6、= 既打篮球又跑步的同学A B= 参加打篮球或跑步的同学应用容斥原理A B = A +B - AB =39+37-25=51( 人)7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23 人，参加语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18人; 同时参加数学、 语文两个小组的有4 人，同时参加数学、外语小组的有7 人，同时参加语文、外语小组的有5 人 ;三个小组都参加的有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?解 1：设 A= 数学小组的同学 ，B= 语文小组的同学 ，C= 外语小组的同学 ，AB= 数学、语文小组的同学 ， AC= 参加数学、外语小组的同学

7、， BC= 参加语文、外语小组的同学 ， ABC= 三个小组都参加的同学 ;.由题意知：A =23， B=27 ， C =18 AB =4 ， AC =7 ， BC =5， ABC =2根据容斥原理二得： A B C = A + B + C - AB - AC|- BC|+|A BC=23+27+18-(4+5+7)+2=54( 人 )山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法解 2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。设 A 、 B、 C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域(即 ABC) 表示三个小组都参加

8、的同学的集合，由题意，应填2。区域表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2( 人 )。区域表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5(人 )。区域表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3( 人 )。区域表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14( 人 )。同理可把区域、所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为 ;14+20+8+2+5+3+2=54( 人 );.点评：解法 2 简单直观， 不易出错。 由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。8.

9、某车间有工人100 人，其中有5 个人只能干电工工作，有77 人能干车工工作，86 人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5 人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有 95 人。 利用容斥原理， 先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为 163，然后找出这一公共部分，即163-95=689.某次语文竞赛共有五道题(满分不是100 分 )，丁一只做对了(1) 、 (2)、 (3)三题得了16分; 于山只做对了 (2) 、(3)、(4) 三题，得了25 分 ;王水只做对了 (3) 、(4)、(5) 三题，得了 28 分，张灿只做对了 (1) 、(2) 、(5) 三题，得了21 分，李明五个题都对了他得了多少分?解：由题意得： 前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+30+28+21=120 。因此，五道题满分总和是120 ÷3=40。所以李明得40 分。10.某大学有外语教师120 名，其中教英语的有50 名，教日语的有45 名，教法语的有40 名，有 15 名既教英语又教日语，有10 名既教英语又教法语，有8 名既教日语又教法语，有 4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?解：本题只有求出至少教