常用放缩方法技巧

1、For Personal use only in study and research; not for commercialuse常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：；Jn(n 1) n添加或舍去一些项，如：Ja 1将分子或分母放大（或缩小）2(1)利用基本不等式，如:Ig3lg5 (lg3 lg5)

2、2 lg皿 lg抠 lg4；1)n (n 1)2二项式放缩：2（5）利用常用结论：I .(11)n c； c；2C；,2nCn0c：4的放缩(1):1k2k(k 1)1的放缩(2) : ±右的放缩（3）:右1k2 144k2分式放缩还可利用真（假）记忆口诀“小者小，大者大”。1I?1k(k 1)(k 1)(k（程度大）（程度小）1）（程度更小）2k 1:b b m 儿cc、和 b b m,：（b a 0, m 0）和一（aa a ma a m解释：看b,若b小，则不等号是小于号，反之亦然.分数的性质b 0,m0)W .构造函数法 构造单调函数实现放缩。例： f (x)(Xx0）,从而

3、实现利用函数单调性质的放缩:f (ab) f (ab)。先求和再放缩11. anSn，求证:n （n 1）1（一）n ,前n项和为Sn3先放缩再求和（一）放缩后裂项相消2. an，求证：SnSn 1a an （ 1）n 例3 .数列an,（二）放缩后转化为等比数列。bn满足：d 1,bn 1n，其前n项和为sn，求证:S2n例4.bn2(n2)bn 3用数学归纳法证明:Tn11bn3 bl3 b213 b313 bn，求证:Tn裂项放缩no例5.(1)求22k 1 4k 1例 6.(1)求证：111萨(2)求证:11416(3)求证：2(Jn 1例7.求证6n(n 1)(2n 1)1)14n1

4、子136an2n,T'n的值;例8.已知1(2n 1)214n"17219a1日2求证:n 15 .k!?" 31(n 2) 2(2n 1)14n1 _ =J2(j2n 1 Jn531),求证:TanT； T3Tn I四、分式放缩姐妹不等式：b ba am(b a 0,m 0)和b ma记忆口诀”小者小，大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于旦1)(1例9.姐妹不等式：(11)(1五、八、七、八、九、(1 1)(1 1)(1 1)246例 10.证明：(1 1)(1均值不等式放缩例11.设(1b m , (a a m号,反之亦然.(11 )和2n 1_也可以表

5、示成为i,2n1(2n 1)5)11 3 52 4 6 2n4)(17) (1Sn J 2J2 3例12.已知函数f(x) _11J2n即 3n 1.b 0,m0)求证：f(1)f(2)二项式放缩2n (1 1)n c0 cn例 13.设 n 1,n N ,例14.an2 3n部分放缩(尾式放缩例15.求证:例16.设anJn(n 1).求证 nn2bx,a>0,b>0,1)2 _若f(1)S (n 1)2Sn .且f(x)在0 , 1上的最大值为12f(n)函数放缩例17.求证:例18.求证：Cnn(|)n3试证明：求证3 2丄3aIn 2 In 323,2nCn08C：(n 1

6、)(n 2)亠 < 丄4n 2亠 亠n 13 21 r, a n1n2求证:1日2an2.例19.求证:12借助数列递推关系例 20.若 a1 1,an1an例21.求证：1 1222 4In 44In 331ln( n n 1In n1)5n1,求证:1a11 3 51a2(2n2 4 6 2n6-(nN6_ 22n n2(n )(n 2)1)1n1an丄 J2n_2 12(*n 11)十、分类放缩例22.求证:1 1 11n2 321 2仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For P ersonal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen fu r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa