巧妙建模柳暗花明

1、巧妙建模柳暗花明例说构建解几模型求最值如皋市第二中学226500宗在华最值问题是高中数学的常考问题之一，也是难点之一。 数学应用意识的考查要求是：能够应用所学数学知识、思想和方法，构造数学模型，解决实际问题（江苏数学高考说明）。笔者结合自己的教学实践，试通过几例说明如何构建解几模型解决最值问题，以期抛砖引玉。例 1、（江苏高考说明典型示例第14 题）满足条件AB2, AC2BC 的ABC 的面积的最大值为.分析：本题主要考查灵活运用有关知识解决问题的能力，属于难题（考试说明语）。但是，如果能够构建解几模型，求出C 点的轨迹，则能化难为简，降低解题难度，很容易得出准确结果。解：以 AB 所在直线

2、为x 轴， AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，则 A(1,0), B(1,0)，设 C ( x, y)( y0)，根据题意得：YC(x1) 2y 2(x1) 2y 2化简得： ( x3) 2y 28( y0)XAOB点 C 到 AB 的最大距离为 22122222 。ABC 的面积的最大值为2例 2、 a, b, c 成等差，点 P(1,0) 在直线 l : axbyc 0上的射影为 M ，点 N (3,3) ，则线段 MN 的长度的最大值为.分析：本题较难，有一种无从下手的感觉。但如果能发现M 点的轨迹是一个定圆，就变得简单易行了。解：a, b,c成等差 ，2bac1axbyc

3、 0 可以变形为 a(2x y)c( y 2)0直线 l 过定点 A(1,2) ，Y? N又PMAM ，点 M 在以 AP 为直径的圆上由： P(1,0), A(1, 2) ，Pl可知：圆心 Q(0,1), 半径 r2XQAMN maxQNr5 2M模型提炼： 1、 P, A 为定点，若 PMAM ，那么 M 在以 PA 为直径的圆上；2、 M 为圆 Q 上任意一点， N 为圆 Q 外一点，则MN maxNQrMN minNQr例 3、实数 a,b, c 满足 a 22 ln a3c 41 ，则 (ac) 2(bd ) 2 的最小值为.bd分析：本题含有a, b, c, d 四个变量，不知从何

4、下手；但如果能由(ac)2(bd ) 2 联想到两点之间的距离，那求解过程就变得简单易行了。解：设 M (a, b), N (c,d )由 a 22ln a1得： ba22ln a ，即点 M (a,b) 在曲线 S : y x 22 ln x 上；b由 3c41得： d3c4 ，即点 N (c, d ) 在直线 l : y 3x 4 上。d设曲线 S 的与直线 l 平行的切线的切点为( x1 , y1 )又 y2x22x12x12，3 ，xx1y142ln 2MN min| 3x1y14 | 6 4 2 ln 2 4 |2 | ln 2 1 |101010(ac)2(bd) 2 的最小值为

5、2(ln 21) 2.52模型提炼： 1、 (ac) 2(bd )2 表示点 (a,b), (c,d ) 之间距离的平方；2、 M 是曲线 yf (x) 上一点， N 是直线 l 上一点， MN 最小值求法：求出曲线与 l 平行的切线 l1 ， l 1 与 l 之间的距离即为 MN 的最小值。a 22a sin2，的最大值与最小例 4、记 f (a, )2a cos，对于任意的实数a,f (a,)a 22值之和为.分析：本题含有 a,两个变量， 同时还有三角函数， 无法用常规方法求出最大值和最小值。如果能从f ( a, ) 分式的形式联想到斜率，通过构建解几模型，变为求动点与定圆上点的连线的斜

6、率，就简单易行了。解：当 a0时， f (a,)122 sina当 a0 时， f (a,)a，22 cosaa可以看做点 M (a2 , a2)与点 N(2 cos, 2sin) 连线的斜率 k ；aa而，点 M 的轨迹方程为：yx, x, 222 2,点 N 的轨迹方程为：x 2y 24Y易知：过点 ( 2 2,22)（或( 22,2 2) ）的圆两条切线的斜率分别为k的最大值和最小值。OX不妨设：过 ( 2 2,22 ) 的圆的切线为：y 2 2 k( x 2 2) ，即 kx y 2 2 2 2k 0| 2222k |2 ，化简得： k 24k 10k 21k1k24 ，即 f (a,) 的最大值与最小值之和为4.最值问题的解法多种