巧用均值不等式及其条件求最值

1、巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院张逸洁 )均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一， 在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能， 对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。 本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用， 希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。一、均值不等式1 a、 bR, a2b22ab, （当且仅当a=b 时取“ =”）。推论： a、 bR , a b2ab ，（当且仅当a=b 时取“ =”）。、a ba2b2。对a、bR积向和转化：2变形，对 abR 积向平方和转化：2

2、a b ( a b) 2 。2注：这里有“最值定理” ： 若 xyR , xys, xyp,则 x+y 2 xyxy( xy )2运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这2三个条件。3 a、 b、 cR , a3b3c33abc ，（当且仅当a=b=c 时取“ =”）推论： a、 b、 cR , abc3 3 abc ，（当且仅当a=b=c 时取“ =”）4变形：对 a、b、 c R , abc( ab c )33方法小结： 在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值； 求正数积的最大值时，凑和为定值。二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，

3、 函数单调性， 数形结合等方法分析解答。 本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。1 连用例 1：已知 ab0,求 a3ba2b216 的最小值。abb2解： a3b a2b21616a216a2a216a26416ab b2ab b2b(a b)（b a b 2a2）2b=a-ba2 2当且仅当64即时取得最小值 16.a2b2a2分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。不等式的连用分为连续正用、连续逆用和正逆交替连用，前两种连用法比较直观，一般题型也较易； 第三种交替连用法的使用比较广泛，较常见的题型为

4、不等式两边均为分式相加且分子为定常数。、 、cR ,求证:111222自求 1：已知a babca bb cc a.2平方（也作“升幂处理” ）例 2：当 x(0, 时, 求ysin xcos2 x 的最值。2解：(0, Q x2y0,当 x时, ymin 02又 y2sin2 x cos4x1 2sin 2 x cos2 x cos2 x21 ( 2sin 2x cos2 x cos2 x) 31 (2)34232327y2 3,当且仅当 x arctan2 时等号成立。92综上， y2 3 , ymax9min 0.分析：在从最值函数直接入手凑整和取等无法同时满足的情况下， 我们往往考虑在

5、最值函数两边平方后再予以配凑。自求 2：设 a、 bR 且 a b1,求2a12b 1 的最大值。3变换例 3：实数 a,b 满足 (a 4)2(b3)22，求 a+b 的最大值与最小值。43解： 2( a 4) 2(b 3)2(a b 7) 2,14 a b 7144343147ab147 ，当且仅当3（ a-4） =4(b-3) 时式等号成立。a414a4144747(ab)max147综合条件得及时 ,b314b314(ab)min1473737分析：在例 3 的解题过程中， 核心是对“若 m, nR, a, bR, 则 a2b2(a b)2( 当mnm n且仅当 an=bm时等号成立

6、) ”。这一变换不等式的运用，将两个孤立的变量联系起来，从而求得最值。 此题出现的变换式较均值不等式本身变形较多，一般不易想到， 这也就要求读者在平时的阅读、解题中多尝试、多积累，必要的也要加以记忆， 才能在万变的题海中以敏锐的嗅觉找出解题良策。自求 3：设 a、 b、 cR , 试证 abc 的最小值为 abc。（提示：bca恰当利用变式“若a、 b>0，则 a22ab(当且仅当 a1 b时等号成立 ) ”）b24拆项和添项例 4a: 求函数yx26 (xR)x25的最小值。yx2514x251x251解 :x2555x254 x25 214525 65555551x2515x25 成

7、立，即 x=0 时等号成立。当且仅当4x25555565ymin5例 4b：已知 x,y 为正数且 4x+y=30 ，求 11的最小值。xy解：由条件： 11 (4xy)30111 (4xy)( 11 )5124xy3xy30xy3030yx10当且仅当 4xy 即x5 时等号成立,此时 11 取得最小值 3yxy10xy10.分析：在例5 的求解过程中，直接利用yx26x251x25x252 x2 5 g12当且仅当x251即 x24 时等号成立，是不可能实x25x25现的， 也就是说等号不能成立。由本题出发， 我们观察到在运用均值式出现等号不成立的情况下， 拆项法可以快速解决此类问题，使不

8、等式中的等号得以成立并取得相应的最值；对于添项法，这里我们着重介绍的是“ 1”的巧妙添加，运用三角函数中构造出的“ 1”或条件中给出的常数，将其乘在不等式的一侧，有时将有出其不意的效果。自求 4a：求函数f (x)exe xx3 x( x R) 的最小值。ee4b：已知 x0, y 0且 191, 求 x+y 的最小值。xy5换元例 5：设 a,b,c 为三角形三边，求证：abc3b caacb abc证明：设 a=x+y,b=y+z,c=z+x, 其中 x,y,z>0abcxyyzzxb c a a c b a b c2z2x2 y则1xzyzyx)2()()(yzxzyx1xzyz2

9、yx32(2x2yx)zzy当且仅当 x=y=z ，即 a=b=c 时等号成立。原等式成立。分析：换元法通常运用于结构比较复杂、量与量之间关系不太直观的求值或证明问题中，通过恰当引入新的变量来代换原命题中的部分因式，通过代换达到减元的目的，从而简化结构，便于求解。自求 5：已知 a、b R,且 a2b21,求证 : a22abb22.（提示：可尝试三角代换。）6引参例6：设0x, a、 bR , 求函数 yab的最小值 .2sin xcos x0,有(abcos x) a b a cot x b tan xsin x)(sin x解：引入参数cosxa b2 ab( a b)2于是ab( ab

10、 )2( ab )2( ab )2sin xcos xsin xcosx12 sin( x)12当且仅当acot xb tan x(1)同时成立时取等号。sin xcos x12(2)由（ 1）： tan2xa(3)b由（ 2）： sin 2 x2 cos2 x2sin x cosx12 ,即 2 sin 2 xcos2 x2sin xcox0( sin xcos x) 20tan x1(4)ab(ab 3 b )23a( 3 a23 b2 ) 2sin xcos x213ba2b32323即当 tan x3时函数取得最小值y min (a)2ab分 析 ： 本 题 借 助 求 “ yab,a

11、、bR ,0 x”最小值添加sin2 xcos2x2“ sin2 x cos2 x ” 项 再 利 用 均 值不 等 式 解 的 思想 遇 到 瓶 颈 ，即 根 据 前 一 思 想添 加 “sinx+cosx ”项时，(ab).(sin xcosx) aba cot xb tan xab2ab ( a b ) 2,sin xcos xb ) 222于是ab(a(ab ) (ab). 倘若能取到最小值sin xcosxsin xcos x2 sin(x)24( ab)2tan2 xa,必有b 即 ab, 但 题 中 并 未 给 定 这 一 条 件 。 因 此 我 们 考 虑 在2x4sinx+c

12、osx 这一项引入参数，这样就避免了 a=b,只要设定适当的值，最小值就迎刃而解了。自 求 6 ： 设 三 角 形 三 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c且 周 长 为 p 。 求 证 ：p apbpc3 p（提示：对不等式左边每一项添加参数再利用均值不等式）以上是从均值不等式本身出发归类总结的一些巧解最值的方法，希望对读者有所帮助和启发，下面将对利用不等式条件求最值做一些引入。（在这里我们对于下述命题的正确性证明不予探讨，仅将其作为一个正确的命题加以运用。 ） 三、延伸：巧用均值不等式的 成立条件 求解最值问题均值不等式a+b2 ab (a、 b0) 指出：若两正数和为定值，那么当且仅当

13、两数相等时，成积取最大值。换言之，若两正数和为定值，当两数之差为零时，两数之积最大。由此得到，若把一个正整数折分成两个正整数之和，那么这两个整数之差越小（大数减小数），它们的乘积就越大。 如 x、 y, xyc, xyd (xy), xyc2d . cdc2d 2,24易见 d 越小 xy 值越大。 当 d=0 时 xy 取最大值， 此即为均值不等式揭示的结论；若 c 不能分解为两个相等的正整数之和，当d=1 时 xy 取最大值。上述结论即是说当把一个正整数分解为相等或相邻的两个整数之和，它们的乘积最大。 循此思路， 若把一个正整数分解成若干个（个数不限）正整数之和，我们猜想：当这些被拆分的正

14、整数越接近时它们的乘积越大，当它们相等时乘积最大。例 7：试求和为2008 的正整数之积的最大值。解 ： 2008总 可 拆 成 有 限 个 正 整 数 之 和 ， 命 为 x1 , x2 ,， xn 即2008x1x2xn 。乘积 M= x1x2xn又 2008 拆分成有限整数之和的种类为有限个，故乘积 M 的值也为有限个， 因而其中必有最大值。再由算术基本定理：任意一个大于1的正整数都可以分解为一些素数的乘积形式，即t2r 1r 25r 3 prn（ Pr，r3是素数，1， r2n 是非负整数）根据上述分析，欲使M 值最大，x , x,，x 应尽量接近，故x1, x,，x 需12n2n在集

15、合 2 ， 3 中取值，即 M2 r 3s 且 2r3s2008 。又 因 为3 不 能 整 除 2008 ， 故 x, x,，x 不 全 为3；虽然 2|2008，但若12nx1x2xn2 则 s0，此时根据2223 3但2332 可看出， 同样的数表示为2 之和与 3 之和时，拆分为2 的乘积要小于拆分为3 的乘积，因此我们应尽量多的分解为 3 之和而不是分解为12,nr3。2 之和故 x, x，x 不全为 2，此时Q 20081(mod3)4，r2， s200846683分析：此题可推广至一般情形；将自然数N 折分成若干个自然数之和，则其乘积最大值M是：当 n 3k时 , m 3k ;当 n 3k 1时, m 2 2 3k 1; （此题情形）当 n3k2时， m2 3k .例 8：用长度分别为 1、2、3、4、5 的 5 根细棒围成一个三角形 （允许连接