平面向量知识点归纳

1、第一章平面向量2.1向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. 单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.数量：只有大小，没有方向的量. 零向量：长度为0的向量.rr rr,rnaba ba|b运算性质：交换律r ar r b br a ;结合律：a br r c ar r b c:a 00 ar a .坐标运算：设aX1, y1r ,bX2,y2，则a bX1

2、X2,y1y218、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点,方向指向被减向量.坐标运算：设aX1, yr ,bX2,y2，则a bX1X2,y1y2设、两点的坐标分别为x1,y1uuu,X2，y2，则X1X2,y1y2 .三角形不等式:naDr IUUU irP-M6f-Z»-A(.-AB = BC19、向量数乘运算:实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作当0时,0时，aa的方向与r0.的方向相同；当0时,的方向与a的方向相反；当运算律：:a a :坐标运算：设x,y，则x,y20、向量共线定理:与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b设 a Xi，yi , bX

3、2 , y2，其中r rr rb 0,则当且仅当xiy2x2yi0时，向量a、b共线.2.2平面向量的基本定理及坐标表示Lf21、平面向量基本定理：如果e,、une，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这平面内的任意向量a，有且只有一对实数ur ururun1e2e2 .(不共线的向量6|、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）那么向量n叫做平面的法向量.22、分点坐标公式：设点是线段1 2上的一点，2的坐标分别是h，x2,y2 ，uuu uur当12时，点的坐标是X1 X2 % 1. （当1时,就为中点公式。）2.3平面向量的数量积23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的

4、乘积的和。0,0。）：r rrra babr r r cos a 0,b180° .零向量与任一向量的数量积为性质:设a和b都是非零向量,则rrrrabab0 .当a与b同向时,rr当a与b反向时，a ba2ja a . ar r运算律：a b b a ；:a坐标运算：设两个非零向量X2,y2X1X2ym.x,y ，则X212 2VX y .rXi,yi , bx2,y2，则X1X2yiy2a、b都是非零向量，aXi,yiX2,y2，是a与b的夹角，则cosabr-rab门 2vxiyi Vx2X1X2yy y2知识链接：空间向量.下面对空间向量在立体几何中证明,空间向量的许多知识可

5、由平面向量的知识类比而得 求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线I的一个方向向量；与AB平行的任意非 零向量也是直线I的方向向量.r,如果n.平面的法向量：rr若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ，记作n.平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系.设平面的法向量为n （X, y,z）.求出平面内两个不共线向量的坐标rura (ai,a2,a3), b(bibb)-（法一）设直线I的方向向量是a,平面的法向量是u，则要证明I只需证明ararbr根据法向量定义建立方程组tn解方程组，取其中一组

6、解，即得平面（如图）kb(k R).，只需证明i、用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行设直线Ii,I2的方向向量分别是a、b，则要证明Ii /12，只需证明a / b，即a即：两直线平行或重合 C 两直线的方向向量共线。 线面平行（法一）设直线I的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明I /rr r rau，即 a u0.即：直线与平面平行 o直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行rr若平面 的法向量为u，平面 的法向量为V,要证 /r,只需证ur r/ v ,即证urv.

7、即：两平面平行或重合 O 两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线ii,i2的方向向量分别是a、b，则要证明iirI2，只需证明ab，即0.即：两直线垂直 o两直线的方向向量垂直。线面垂直rr r/ u，即 a（法二）设直线I的方向向量是a,平面内的两个相交向量分别为LT urm、n，若r a r aLT m r n即:直线与平面垂直 O直线的方向向量与平面的法向量共线O 直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直rr若平面的法向量为U ,平面的法向量为V ,要证rr r r，只需证UV ,即证U V0.即：两平面垂直 O 两平面的法向量垂直。4、

8、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A, C与B, D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为则cosUULT LUU AC BDUULT UUIL AC BD求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的 角*求法：设直线i的方向向量为a，平面的法向量为U，直线与平面所成的角为，a与ru的夹角为的余角或 的补角的余角即有:sin cos1 a1urau求二面角A- r F L /彳*求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分, 线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 二面角的

9、面.其中的每一部分叫做半平面；从一条直 这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作射线AO l, BO l，贝y AOB为二面角i的平面角ur rltrm、n,再设m、n的夹角为面角I的平面角为，则二面角LT r为m、n的夹角或其补角根据具体图形确定 是锐角或是钝角:如果是锐角，则coscosLT r m n um-， m nurm如果是钝角，则coscosur rm nm n即 arccosur mm n5、利用法向量求空间距离 点Q到直线£距离若Q为直线I外的一点，P在直线I 上,h £j(iaiibi)2 (

10、a b)2 |a|距离为a为直线I的方向向量,” r eb) =pQ，则点Q到直线Irnarccos ur r ；m nrn方向上的投影的绝对值.点A到平面 的距离若点P为平面 外一点，点M为平面内任一点，ruLur平面的法向量为n,则P到平面 的距离就等于 MP在法向量uuurMP.r uuuur cos n, MPr uuur n MP r uuur n MPr uuur n MPrnLuurMP直线a与平面 之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。由此可知,直线到平面r nuuurMPn两平行平面之间

11、的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。n MPrn异面直线间的距离r设向量n与两异面直线 a,b都垂直，M a,P b,则两异面直线 a,b间的距离d就是uurrMP在向量n方向上投影的绝对值。r uLurn MPr.n6、三垂线定理及其逆定理那么它也三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直, 和这条斜线垂直.P0推理模式：PAI,0A,a OA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.那么它也三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直, 和这条斜线的射影垂直*PO推理模式：PA I,0AAO,a AP概括为

12、：垂直于斜线就垂直于射影7、三余弦定理设AC是平面足为D.设AB与 (AD)内的任一条直线, 所成的角为AD是 的一条斜线 AB在 内的射影，且BD丄AD,垂1 , AD与AC所成的角为2 , AB与AC所成的角为.则COS cos 1 cos 2 .*D面积射影定理_内一个多边形的面积为S S原 ，它在平面已知平面内的射影图形的面积为S射 ，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则9、cos一个结论长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为I2 li2 I； I；coS 1 coS 21、2、.2Sin 1（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）3,则有sin2 2sin2

13、3 2.li、I2、I3，夹角分别为coS 3 1基础练习一 选择题D, E, F, O 中与向量共线的向1 .如图，点 0是正六边形 ABCDEF的中心，则以图中点 A, B, C, 的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，量共有（）B . 7个D . 9个,，共 9个，故选D.A . 6个C . 8个解析：选D.与向量共线的向量有，2 .设不共线的两个非零向量e1，e2.且 k(ei + e2)II (ei + ke2),则实数k的值为（答案：A3 .已知向量是不共线向量e1, e2,给出下列各组向量:1a = 2e1, b= &+ ez; a= 2e1

14、e2, b = e1+ ez;a = e1 + e2, b = 2e1 2e2； a= e1 + e2, b = e1 e2.其中共线的向量组共有（答案：B4.已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设=a,=b,则=(A.2(a + b)C-(a b)D.2(b a)答案：B5 .下列计算正确的有(一7) xa= 42a； a 2b+ (2a + 2b)= 3a; a + b (a + b)= 0.D. 3个解析：对，对，错，因为a+ b(a + b) = 0.答案：C1. 化简-+所得结果是(A.B.C. 0D.答案：C2 .在 AABC 中,11=11=11= 1,则 I

15、-I的值为(答案：B3 .已知向量a /c/3b,且|a|>|b|>0，则向量a + b的方向(A .与向量a方向相同B .与向量a方向相反C.与向量b方向相同D .与向量b方向相反答案：A4 .在平行四边形 ABCD 中,对角线AC与BD交于点O,答案：25.向量(+ )+ (+)+等于(A.B.C.D.解析:1.如果e1、e2是平面a内所有向量的一组基底，那么(+ ) + ( + ) + = (+ ) + (+ )+ = + + =.故选 C.答案:A.若实数 h、h使 he1+ he2= 0,贝U h= h= 0B .空间任一向量a可以表示为a=乃e1 + loe，这里入、h

16、是实数C.对实数h、h, he1 + he2不一定在平面 a内D.对平面a中的任一向量a，使a = he1 + he2的实数h、h有无数对答案： A2. 如果3ei + 4e2 = a,2ei + 3e2= b,其中a, b为已知向量，则ei =答案：ei = 3a 4b e2= 2a + 3b3. 设 e1，e2 是平面内一组基底，如果=3e1 2e2，= 4e1 e2，,e2 =8ei 9e2,则共线的三A . A、B、CB. B、 C、DC. A、B、DD. A、 C、D答案：4.设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底， 则下面四组向量中，不能作为基底的是 ()A. ei + e2

17、和 ei e2B. 3e1 2e2 和 4e2 6e1C. ei+ 2e2和 e2 + 2eiD. e2 和 e1e2解析：/ 4e2 6ei= 2(3ei 2e2),3ei 2e2 与 4e2 6ei 共线，故选 B.答案： B1.若=(2, 3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为(A. (1,1)B.(1，1)C.(3，5)D.(4， 4)答案： C2.已知平行四边形OABC(O 为原点),=(2,0), = (3,1)，则OC 等于 ()A. (1,1)B. (1， 1)C. (1，1)D. (1,1)点是 ()解析： = (3,1)(2,0)=(1,1)，故选 A.答案： A3

18、.若向量 a = (1,1),b= (1, - 1), c= (1,2)，贝y c 等于()B.a |bC. |a 2b答案:1.若a= (2,3), b= (4, 1 + y),且 a/ b,贝U y=()答案:2.已知点M是线段AB上的一点，点P是平面上任意一点,若=入则入等于3A.32B-23C.32D-2解析:用,表示向量，322 = + = + 5+ 5= 53丄2丄3丄-5+5+ = 5+5,-=2=3答案：D1. 若向量a、b满足|a|=|b|= 1, a与b的夹角为60 °贝U a a + a b等于B-iC. 1 + 当13解析：选 B.a a+ a b= |a|2

19、 + |a|b|cos60 ° 1 + -=-.(a b)c (ca)b = 0a b = 0? a = 0 或 b= 0(b c)a (a c)b不与c垂直 (3a + 4b) (Ba 4b) = 9|a|2 16|b|22. 设a, b, c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列结论正确的是A.B.C.D.解析：选D.由于数量积是实数，因此(a b)c, (c a)b分别表示与c, b共线的向量，运算结果 不为0,故A错误；当a丄b, a与b都不为零向量时，也有 a b= 0，故B错误；(b c)a (a c)b c= (b c)a c (a c)b c= 0，故 C 错误；(3

20、a + 4b) (ia 4b)= 9a2 16b2 12a b + 12a b=9|a|2 16|b|2.1. a = ( 4, 3), b= (5, 6)，贝U 3|a|2 4a b 等于()A. 23B. 57C. 63D. 83解析：选 D. / |a|=J ( 4) 2 + 32 = 5, a b= 4X5+ 3X6= 2, / 3|a|2 4a b= 3X52 4* 2)= 83.故选 D.2. 已知 A(2, 1), B(3, 2), C( 1, 4)，则ABC 是()A .锐角三角形B .直角三角形C.钝角三角形D .任意三角形解析：选 B. = (1 , 1)( 3, 3) =

21、 3+ 3= 0.故选 B.1 .设坐标原点为0,已知过点0, 1的直线交函数y= x2的图象于A、B两点，贝y的 值为(4听4D. 33A.3c.1 1解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k,则直线方程为 y= kx+2,与y = x2联立得1x2=心+ 1, x2 2kx 1= 0, X1X2= 1, X1 + x2= 2k, y1y2= kx1 +1 kx2+ 2 = k2x1X2 +1+ 心：x2)=k2+ k2 + -=-,4413 =X1X2 + y1y2= 1 + 4 =-填空题2.已知A, B, C是不共线的三点，向量 m与向量是平行向量，与是共线向量，则m解析：/ A,

22、B, C不共线，与不共线，又m与，都共线，- m = 0.答案：06. 已知 11= |a| = 3, |=|b| = 3, / AOB = 120° 则|a+ b| =,答案：35. 已知向量a, b不共线，实数X, y满足(3x 4y)a + (2x 3y)b=6a+3b,贝J X y=解析：由题意，得3x 4y= 6且2x 3y= 3,解得x = 6, y = 3,二 x y = 3.答案：36.如下图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的 中点，EF与AC交于点G,若=a,= b,用a、b表示=.解析：T E、F分别为相应边中点,b3- 4+a3- 4=333- 4答案：3a+4b4.已知 a= (1, 2), b= (2, 3)，实数 x ,满足 xa+ yb= (3, 4), 则 x=.答案：15.若将向量a = 0/3, 1)按逆时针方向旋转n得到向量b,则b的坐标为答案：(1, 73)6.已知平行四边形 ABCD中，A(1,1), B(6,1), C(8,5),则点D的坐标为答案：(3, 5)7. 作用于原点的两个力Fi = (2, 2), F2 = (1, 3),为使它们平衡，需加力F3 =答案：(3,- 5)3.已知？ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7), B(3, x), C(2,3), D(4,x)，贝J x =答案：5