初二年级数学勾股定理及平方根知识点汇总及典型例题分类

1、©T堂"女烈青XUESHITANG EDUCATION初二数学勾股定理及平方根专题使用日期2013.7.11【知识点扫描】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+b2=/, 那么这个三角形是直角三角形。2.勾股数：满足a?+b2=c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股 数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9, 12, 15； 5,12,133.判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a'b'c,那么这个三角-1-/1勾股定理平方根立方根实数判定

2、直角三角形勾股定理的验证定义、性质定义、性质近似数、 有效数字开平方运算形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为五角三角形的般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为。）:（2）若。2=标+，则4ABC是以NC为直角的三角形；若则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；开立方运算注意:若序+>/,则此三角形为锐角三角形（其中，为最大边）（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3

3、）在直角三角形中，如果条直角边等于斜边的半，那么这条直角 边所对的角等于30。一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为。，斜边长为c,那么 / + b2=c2 .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：豆角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边5.勾股定理的作用：（I）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为6的线段二、平方根：（1119的平方）1、平方根定义：如果个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。（也 称为二次方根），也就是说如果x?=a,

4、那么x就叫做a的平方 根2、平方根的性质、个正数有两个平方根，它们互为相反数：个正数a的正的平方根，记作“I”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“一”，这两个平方根合起来记作“土 J7”。（ a叫被开方数,“、”是二次根号，这里“、”，亦可写成“'”）。只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。负数没有平方根。3、 开平方：求个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运 算。4、（1）平方根是它本身的数是零。（2）算术平方根是它本身的数是。和lo（3） ja）" = a（a > 0）,= aa > 0）,= -a（a < 0）（4） 一个数的

5、两个平方根之和为0三、立方根：（19的立方）1、立方根的定义：如果个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x3=a,那么x就叫做a的 立方根。记作。2、立方根的性质：任何数都有立方根，并且只有个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方 根是负数，0的立方根是0.互为相反数的数的立方根也互为相反数，即U二1 = - UZ即）3 =井=a3、开立方：求个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运 算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是1, 0, -lo5、平方根和立方根的区别：（1）被开方数的取值范围不同：在土石中，。之。，在W中，a可

6、以为任意数 值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有个；负数没有平方根，而它有 个立方根。6、立方根和平方根：不同点:（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根：即被开方 数的取值范围不同：土 右中的被开方数。是非负数：17中的被开方数可 以是任何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根：（3）立方根等于本身的数有0、1、-1,平方根等于本身的数只有0.共同点：0的立方根和平方根都是0.四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，n> o有理数：有限小数或无限循环小数注意：分数都是有理数，因为任何个分数都可以

7、化为有限小数或无限循环小 数的形式2、实数的分类：正有理数有理数零有限小数或无限循环小数实数1负有理数无理数:无限不循环小数负无理数实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是 一样的。实数同有理数样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的 点对应。两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述个量，甚至在更多情况下不 可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法一一四舍五入法4、有效数字：对个近似数，从左边第个不是。的数字起，到末位数字止，所 有的数都称为

8、这个近似数的有效数字5、科学记数法：把个数记为axW（其中iwavl0,n是整数）的形式,就叫做科学记数法。6、实数藕轴：每,个实数都可以用数轴上的点来衣示：反过来，数轴上每个点都表示- 个实数.实数与数轴上的点是对应的。【好题精练】类型一：等面积法求高【例题】如图，ZiABC 中,NACB=90°, AC=7, BC=24, CDJ_AB 于 D。（1）求AB的长：（2）求CD的长。类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形, 其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A, B, C, D的面积之和为cm【练习1如上右图，每个小方格都是边长为

9、1的正方形, （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求NADC的度数。【练习2】如图，四边形A3CO是正方形，AE上BE,且AE=3, BE=4,阴影部分的面积是.【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12 B. 13 C. 144 D. 194类型三：距离最短问题【例题】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千 米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建自来水厂，向A、B两镇供 水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺 设水管的费用最节省，并求出总究用是多少？【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20

10、cllI,高AB为4cm, BC是上底面 的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧而爬行到点C,试求出爬行的最 短路程.【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于 他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？B小屋类型四：判断三角形的形状【例题】如果 ABC的三边分别为a、b、c,且满足 a:+b2+c:+50=6a+8b+10c,判断 ABC 的形状。【练习1已知AABC的三边分别为m2n2, 2mn, m:+n2(m, n为正整数,且 m>n),判断4ABC是否为直角三角形.【练习2】若ABC的三

11、边a、b、c满足条件£+廿+不+338 = 10打+ 24b + 26c,试判断aABC的形状.【练习3】,已知a, b, c为aABC三边，且满足(a'-b')(a'+b'c')=O,则它的形状为()三角形A.直角B.等腰C,等腰直角D.等腰或直角【练习4】三角形的三边长为("+ "厂=，+2匕，则这个三角形是()三角形A.等边 B.钝角 C.直角 D.锐角类型五：直接考查勾股定理【例题】在RtABC中，ZC=90°(1)已知 a=6, c=10> 求 b：(2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)己

12、知 c=25, b=15,求 a. o-/I【练习】如图N8=N4CO=90。.4O=13CO=12,8C=3,则AB的长是多少?类型六：构造应用勾股定理【例题】如图，已知：在也然e中,/3 = 60°, AC = 10t/8 = 30.求:BC的长.【练习】四边形 ABCD 中，NB=90) , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四边 形ABCD的面积。类型七：利用勾股定理作长为6的线段 例1在数轴上式示而的点。O A B作法：如图所示在数轴上找到A点，使0A=3,作AC_LOA且截取AC=1,以0C 为半径，以0为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 【练习】在数轴上

13、表示而的点。类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题】若直角三角形两直角边的比是3： 4,斜边长是20,求此直角三角形 的面积。【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8, 15, 17 B、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40类型九：生活问题【例题】如下左图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需一【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底而半径为2.5 cm,高为 12cm,吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6 cm,问吸管要做 cm。【练习2】如下左图学校有块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设2步为Im),却踩伤了花草。-/ 1【练习3】如下图，校园内有两棵树，相距12米，棵树高13米，另棵树高8米，只小鸟从一棵树的顶端飞到另棵树的顶端，小鸟