大学高等数学知识点

1、大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续1 .类型:数列：%“=/();，*=/0)(2)初等函数：, 2力(x) X < x0f/(x) X 工司分段函数：/3 = 11'，° */(幻=八，°f2W x>与a x = x0复合(含f)函数:y = /(),“ =(p(x)(5)隐式(方程):F(x,y) = O参式(数一，二):变限枳分因数：尸(x) = /(xj)力级数和困数(数一三)：S(x) = Z"”C2 .特征(几何)：单调性与有界性(判别)/(%)单调=Vx0, (x %)(/*) -/(%)定号)奇偶性与周期性(应用).

2、3 .反困数与直接由数：y = /(x) = x =/"(>) = y = /"(x)二.极限性质：1 .类型：*linw/r；*lim/(x)(含 x -y)；* lim/(x)(含 x-> x0士) “T8XT8Kf«)2 .无穷小与无穷大(注：无充量)：3 .未定型：,r, 8s, 0-OO, 0°, oc° 0 oo4 .性质：.有界性，.保号性，1 月并性H.常用结论：111ann f 1, an (a > 0) - 1, (a,1 +b" +cll )n T max(a,/?,c), > 0) 03

3、=。,1xn一(x>0) -s,lim a' = 1, lim = 0, limX.V-NT+X /XT+8lim xnn x = 0 9ex > s,D*O四.必备公式:1 .等价无穷小:当(x)f 0时,sinz/(x) (x); tanu(x) w(a); 1 - cosw(x) zr(x) 2建外一 1 (x); ln(l + m(x) (x) ；(1 + (x)“-1 au(x);arcsinz/(x) w(x)；2 .泰勒公式:(1)<?r = + x + x2 +o(M)； 2!(2)ln(l + x) = x- x2 +o(x2)； 23 3) sin

4、 x = x- x3+ o(x4)； 3!4 4) cos x = - - x2+ x4+ o(x5)；2!4!(1 + x)。= + ax + x2+o(x2). 2!五.常规方法：前提:准船喏千杵其它*-会-也小变量代换通:台)1.加大弃小(一)o0考试资料2.无穷小与有界量乘枳otM )(注：sin'Wl,x>s) x3 .广处理(其它如：0°,s°)4 .左右极限(包括；v )：1 1一 (x -0);/(x->8)；e*(x->0);(3)分段函敬：|x|f x9 max/(x)x5 .无穷小等价普换(因式中的无穷小)(注：非等因子)6

5、.洛必达法则(1)先“处理"，后法则最后方法);(注意对比：lim2与lim业»0I l-x D I用指型处理：(x)E)=e'”"n“(如：内"=/(万-j)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7 .泰朝公式(皮亚诺余项)：处理和式中的无穷小8,极限函数:/(x) = limE(x,)(二>介段函数) R大.非常手段1 .收敛法贬 4 =/()= Hm fM X-(2)双边夹：* bn < an < cn ?."心 ->？单边挤：/司=/&)*电之4?"3>。?2 .导数定义(洛必达？

6、)：lim" = /1x。)51。4艾3 .枳分和：hm-/'(-) + /(-) + - + /(-) = ( fWdx, -8 n n nn Jo4 .中值定理：lim"(x+a)-f(x) = alim /0) .1+3C,V-5 .级教和(1一三):x2”ix(1)X4 收敛=Hman =0,(a lim )(2) lim(q +)+. + an) = Van , 3c”T8 1>TR.F2-1H-lqj与同敛散 n-lt.常见应用:1 .无穷小比较(等价，阶):(1)/(0) = /,(0)=. = /(n-,)(0) = 0(0) = 40 /(x

7、) = -xn+ a(x")-xn n!n!工"(" T：-2 .渐近线(含斜)：(1) a = lim 卜。、b = lim f(x) - ax n f(x) - ax+b + a.V->x XXTB '(2) /(x) = ov+ +。，(1 - 0)X3.连续性：(1)间断点判别(个数)；分段函数连续性(阳：极限函船/'(x)挂续性)人. 3,。上连续函教性质1 .连通性：/(/) = ，(注:V0v4vl,“平均”值:彳/(。) + (1 /3) = /(x。)2 .介值定理：(附：达布定理)(1)零点存在定理：S) v 0 = /(

8、而)=0 (根的个数);/(x) = On(/(x)g = O.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)基本基念:1 .差商与导数：/'") = lim A' +/二"*;/'(x0)=lim /U)/W >1) X1/ x-x0广(0) = lim 小)一 °)(注:lim= A(/ 连续)=/(0) = 0,/,(0) = A ) .一 0x1 5) x左右导：£(%), £(%);(3)可导与连续;(在x = O处，区连续不可导；x|x|可导)2 .微分与导数：/ = f(x +AX)- /(X) = f &

9、#39;(A) AX + (7( AX) => df = f x)dx(1)可檄u>可导;比较纣，疗与“0”的大小比较(图示);二.求导求备:1 .基本基等函数求导公式;(注:(|/«|),)dx 12 . ail：四则运算;(2)复合法则；(3)反函数一= dy y=.各类求导(方法步骤)：1 .定义导：(1)/'伍)与/'(力|；(2)分段困数左右导；(3)lim/(-+/)/(-/r)(11： /*) = /*),"题，求:/5)/*)及外幻的连续恒 a x = x°2 .初等导(公式加法期)：(1) 11 = flgW，求:W&

10、#39;(%)(图形题); F(x) = /(/),，求:?(x)(注：(J：/(x")'，(/*"辿)'，(J：/。)，")')y求£(.%),£30)及/Go)(待定系数) fiM xN%3.隐式(%,y) = 0)导:半 dx dx1(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导荻./於4巳/加 一.Jx = x")十，/y4,参代导(数一,_),1$ -7ry = y(t) dx dx-5.高阶导r”>(x)公式:(eaxry=aneax(!产=”川；a - bx(o - Z

11、u )"(sin 3"。= a1' sin(t7X + xn) ；(cos ax)"" =an cos(av + xn)22(l，)g = /"、+ C><，-，)V '+ Cj 严-2、“+ .注：/'"'(0)与泰朝展式：f(x) = a()+ciix+a1x2 + +%x" +=>/= -四.各类应用:1 .斜率与切线(法线);(ESI)： y = /(x)上点M。和过点M0的切线)2 .葡理：(相对)变化率一速度；3 .曲率(数一二)：P=J：XS一(曲率半径,曲率中

12、。，曲率同) (Jl + /T(x)34 .边斥与岸性(数三):(附：需求，收益，成本，利河)5 .单调性与极值(必求导)1 .利刖(驻点/'(小)=0)：(1)/,(x)>0=>/(x)Z；/'W<0=>/(x);(2)分段函数的单调性/，*)>。=零点唯一；f”(x)>0=驻点唯一(必为极值圈值).2 .极值点：(1)表格(/ '(X)变号);(由lim 丰0, lim 与2丰0, lim二0工。=工=。的特点) .f X 1。x.fU JT二阶导(/5) = 0)注(1)/与/'，/"的也配(/'图形中

13、包含的信息);实现：由/(X)+ 4(x)/(x) = g(x)*定点“X = % ”的特点.(3)闭城上量值(应用陈与定积分几何应用相结合,求最优)3 .不等式证明(f(x)NO)(1)区别：.单变量与双变量？*xea/与 xea,+co), xe(y+oo)?类型：*尸之0,/(。)2 0；*/,<0,/()>0* /” 0 J() JS)之 0；V''M >。，/(%)=0，/(%) > 0注意：单调性端点值极值四0性.(如：/。)知=以式工)=加)4.函数的零点个数：单调介值穴.与拐点(心求导!)：1 . y”=表格;(/"(x

14、6;) = 0)2 .应用：(1)泰朝估计；(2)/'单调；(3)四氏匕罗尔定理与辅助函数：(注：最值点助力驻点)1 .结论：尸(>) =尸3)=尸铝)=。0)=02 .辅助困数构造实例：/)= =国 e)g(9 + /)g 铝)=0 = F(x) = f(x)g(x) / 'G)g4) - /)g 4) = 0 =尸(x)=- g(x)(4) / 8) + 24)/值)=0 = F(a) =；3 .=0 = /(x)有 + 1个零点=/e"x)有2个零点4 .特附：if明/w)="的常规方法:令F(x) = f(x)- Pn (x)有 +1个零点(P

15、n (x)恃定)5 .注:含品与时,分家!(柯西定理)6 .附(达布定理)：f(x)在a,b可导,Vc e ",f '(b)，*e必向,使:/R) = cA.拉格朗日中日定理1.结论：f(b) - f(G = f'®(ba)；(奴。)奴6)=*,”铝)>0)九.泰勒公式(连接九之间的桥梁)1 .结论：f(x) = f(xu) + f '(xo)(x-xo) + f "(Xy)(x-x0)2 + ./ '"()Cv-X0)3； 乙D 2 .应肋在巳知a) 2值时进行枳分(J计+ .积分中值定理(附:广义):注:有定机分

16、(不含变网)条件时使用第三讲：一元积分学基本基念:1 .原函数尸(x):(1)尸=/(A); jxylx = dF(x)； J/UXv = FM+c注F(x) = £ /«)，(连续不一定可导)；“一"力= ")， = /(x) "(X)连续)2 .不定枳分性质:(J 于(x)dx) ' = /(a) ;"(J f(x)dx) = f(x)dx j f x)dx = f(x)+cdf(x) = f(x)+c二.不定积分常规方法1 .熟悉基本枳分公式2 .基本方法:柝(线性性)J("(x) + Qg(x)Mx = kf

17、(x)dx+k2 g(x)dx3 .凑微法(基朋)：要求瓦筒，洁(l=siif x + cos?x)如：dx = dax+b), xdx = dx2, = d In x,= 2dFa2 xyjx dx =(1 + ln x)dx = J(xln x)y/ + x24 .变量代换：常用(三角代换，根式代换，倒代换)：x = sint, yjcix + b =ty - = t. &' +1 =/ X作用与引伸(化简)：77±1-%=/5 .分部枳分(万用):(1)含需求导的被机函数(如In x, arctan x,f(t)dt )； Ja“反对吊三指“：>/公，卜&

18、quot;加火儿特别：jM'(x)c/x (* B 知 /(X)的原函数为 F(x) ； * 已知 / '(x) = F(x)6 .特防f sin a* cos %. ;(2)r (制小公p(x) sin L 快速击f 曾dr J asinx + bcosxJJJ u (x)E.定根分：1 .科念性质：机)和式(可视的必要条件:有界,充分条件:连坡)几何意义(面机对称性,周期性，机分中值)* J： jcix-x2dxa >0) = «2；*(x -= 0(3) RI: |j fxydx <M(b- a), f(x)g(x)(lx |g(x*/x)(4)定枳

19、分与变限枳分，反常枳分的区别联系与第里 2:变眼枳分(x) = /()的处理(重点)(1)/可枳=中连续，/连续=可导(1/力)'=/*)； (J：(x-)/(")' = 1/«)，； j(x)dt = (x-a)f(x)由函数尸") = /。)，参与的求导，极限，极值，枳分(方程)问题3 . N L公式：I /(x)c/x = /S)尸®)(尸(x)在他,句上必须连续!) j。注：(1)分段根分，对称性(奇IB),周期性(2)有理式三角式，板式含，/(»的方程.4 .变量代换：/(，6公=1/(0)")4 JaJa

20、J： f(x)"x = J： /a - x)"x(x = a-t),：f*)dx = J： /(一x)dx(x = t) = j："(x) +(如:)/ = 7sin/rxJx = / J。n£ £ T £(4) /(sin x)dx = £2 /(cos x)dx ；£ /(sin x)dx = 2，； /(sin xdx, £ a/(sin x)dx = J。/(sin x)fZv ,o2。5 .分部积分(1)准备时“凑常数”巳知/'W或/W = W,求J：/(X)公6 . ffl:三角函数系

21、的正交性：.2尸尸开.2厅sin nxdx =cos nxdx =sin nx cos mxdx = 0JoJoJo.2忽.2月J。sin nx sin nixdx = cos nx cos mxdxn W m) = 0J” sin" nxdx = cos* nxdx = n4 .反常根分：1 .类型：d)£ /(x)dx,匚/(x)dx (/(x)连续)(2)1 f (x)dx: (/(X)在 x =。，x = b, x = c(a v c v。)处为无穷间断)2 .一耻3 .计算：枳分法N L公式极限(可换元与分部)4 .特例:；(%5 .应用：(柱体制面积除外)1 .

22、而枳，S = J：/i(yMy；，而枳：S = £' 2 乃 f(x)止+ f，"x)dx匕=乃f "7(y)%y = 2可:4公(1)5=£/(x)-gCv)J.¥；s = ；J>2(ewe；2 . ttffi:匕=4 尸(X)- g 2 (x)dx ；3 .弧长：ds = yl(dx)2+(dy)2 y = /(X), x e a,b s = J：4 + f，x)dx(2)X = x(t)y = y(f),tetrt2 s r = " J), e e c,尸:s =J/(6) +(8)以94 .物理卜数一二)队引力，

23、水压力，质心,5.平均值(中值定理)：1fbfa,b = - fxdx h-aJa_/力_ f；(2) /0 + oo)= lim 应，(/力丁为周期:/ =)j+x xT第四讲：微分方程基本慨念1 .常识：通解，初值问题与特解(注：应用题中的隐含条件)2 .变换方杈：(1)令x = x(f)= y = ”2，"(如收拉方程)(2)令=心,y) = y = y(x,)= y'(如伯努利方程)3 .建立方程(应用题)的能力二.一阶方程：1 .形式： y' = fx, y);(2) M (x, ydx + N(x, y)dy = 0;(3) y(a) = b2 .变量分离

24、型：yf = f(x)g(y)(1)解法：言=J /'= G(y)=尸(x) + C(2)“偏”微分方程：=f(x, y);dx3 . 一阶线性便点)：y'+ p(x)y = q(x)f p(x)dx(1)解法(枳分因子法)：M(x) = ey-=y = tt=加(x)q(x)公 + %M(x) J r。(2)变化：x+(y)x = My);(3)推广：伯留利(数一)y'+p(x)y = q(x)ya4 .齐次方程：r=中(2) x解法：=工=" +工/ =中(), X特除半dx a2x + b2y + c2A A ,G 4 45 .全(8 分方程(数 一):

25、M(x, v)“Y + N(x,y)dy =。且且一 = W ox oydU = Mdx + Ndy±>U = CJ0 v c(.ix6 . 一阶差价方程(数三)：九川一。儿=±“b P(A-) yx=Q(x)h三.二阶降阶方程1. y', = f(x)： y = F(x) + clx + c22. y” = /(x,y')：令y' = p(x) = y” = ? = /(x,p) dx3. y-=f(y,y,)-令尸(y) = y" = " = /(y，)四.高阶线性方程：(幻y"+仇x)y'+c(x)y

26、 = /(x)1 .通解结构：(1)齐次次:yo(x) = qx(x)+c2y2(x)(2)非齐次特解:y(x) = C(x) + c2y2(x + y*(x)2 .常系数方程：aybyl+cy = f(x)特(f方程与埼征根:。外+以+。= 0(2)非齐次特解形式编定:特定系耻(的:/0)=履的算子法)由巳知反求方程.3 .收拉方程(数一)：ax1 y "+ bxy ,+ cy = f (x),令 x = e'= x、" = 0(。一 l)y,Ay，= Oy五.应用(注意初始条件):1 .几何应用(斜率，版长,曲率,血孔体枳)；注：切线和法线的截施2 .枳分等式变

27、方程(含变限枳分);nJ 8 X f(x)dx = F(x)yF(a) = 0 Ja3 .导致定义立方程：含双变量条件/*+)，) =的方程4 .变化率（速度）5 .尸史上 dt dr6.路径无关得方程（数一）：丝二丝dx dy7. 级数与方程：累级数求和;（2）方程的某级数第法:），=& + 俨+ 生/+，4）=）'（°）， =）''（°）8. 8性问题（教三）第五讲：多元微分与二重积分二元微分学慨念L极限，连续，单变量连续，偏导，全微分，偏导连续（必要条件与充分条件）, v = f(xQ +«¥,% +) A J =

28、f(xQ +*,%)，A J = f(xQ. yQ +、)JAx(3)/>x + /vaj = #9 lim . A/ rJ/=(判刖可微性),7Ux)2+Uy)2注：（0.0）点处的偏导数与全微分的极限定义:“0,0) = Hm 一°°, /；(0,0) = Hm /a''T(°° xT)Xy。y9. 2用:f ,工(0,0)(1) f(y) = <x- + y: (0,0)点处可导不连续；,0 , = (0,0),(0,0)(2) f(x,y) = < yjx2 + y2 : (0,0)点处连续口【导不可微； 0 ,

29、 = (0,0)Z. 18导数与全18分的计算:1. 显困数一，二阶储导：z = /(X,y)注：一处J (3)含变眼机分2. 2合函数的一，二阶胃导（I点）:z =小（x,y）,u（x,y）熟缥掌褥记号/；,工；，工；，的准确使用3. 16函数（由方程或方程组程定）:柩式：吓（x,y,z） = o；°（存在定理）G（x,y,z） =。微分法（熟练拿樨一阶微分的形式不变性）:尸dx+A力+ E4z = o （要求：二阶导）（3）注：（.”,光）与Z。的及时代人（4）会变换方程.E.二元极值（定义?）;1 .二元极值（显式或爵式）:必要条件（驻点）；（2）充分条件（刊刖）2 .条件极值

30、（1格朗日来日法）（注:应用）目标函数与I束条件:z = /（X, y） © <P（X, y） = 0,（或:多条件）求解步骤：L（x,j,2） = f（x,y） + X（p（xyy）,求一点即可.3 .有界闭城上最值（重点）. Z = D = （x,y）|以X, y） <0）实卧距离问题四.二重枳介计算:1 .科念与性质（“枳”前工作）：pb,D对林恒热练掌樨）:*。恒轴对就,/奇偶对就*早母轮换对就"垂心坐标；“分块”视分:*D = D1IJD2; */（x,y）分片定义;奇偶2 .计算（化二次枳分）:直角坐标与极生标选择（转换）：以“0”为壬;交换机分次序

31、（熟练掌握）.3 .极生标便用（转换）：f（x2 + y2）附：D.（x-a）2+（y-b）2<R2-, D：4 + tv<1； cr lr双纨线，+）2）2 =2（%2一。2）p：|x|_|.|y|<l4 .特例:单变量：fW gj f(y)利用重。求枳分：要求：题型且已却。的而枳S与垂心丘亍）D5 .无界域上的反常二亶积分（数三）五：一类根分的应用（J7（MMb =。： o；Q；L；r；z）： Q1 .“尺寸”：（1）“b = So；（2）曲面面枳（除林体，面）；D2 .质量，垂心（形心），转动惯量；3 .为三重枳介,格林公式,曲面投第作准备.第六讲:无穷级数（数一，三）

32、一.级数慨念1 .定义：伍力 S” =©+”,+ + /； （3）limSn （如 f注:吧/ ；w>"（或z >）；“伸缩”级数:一/）收敛=4收缸2 .性质：（1）收敛的必要条件:limq=。； 30加括号后发乱则原级数必发敢（交错级数的时论）;3 3） s2n > S, 一> ° =邑”+1 - S =，- S ；二.正顶级数1 .正顶级数：定义：为之。； 特征:S”/; 收敛= S.WAn有界）2 .标准级数：Zr，Z一»Z 7 tvnn In n3 .审敛方法：（注:lab <a2+b2, alnb = blna

33、）比较法（原理）：q与（ISit）, imf«/uxv；y ivJ。Q（n）比值与根值:*lim4"lim疯（应用:星级数收敛半径计算）30 “T8 YunE.交错级数（含一般项）：£（一1严勺（勺>0）一审”前考察:% >0? （2）41f 0?；（3）绝对（条件）收敛?注：若lim4=0>1,则发散 “TX n条件收敛.2 .标准级数：（DC-ir'l; Z（T）g）； Z（1）2 93 .莱布尼瑟审敛沫（收敛?）前提：WKI发船 条件：八,%一。；笫论：Z（T严44 .补充方法：加括号后发做,则原级数必发散；（2）s,“-s,%-0

34、 = s，z-s = s“-5 .注意事项：对比Z%；Z（一1）%； »“|； Zd之间的敛散关系四.品级数：1 .常见柩式：,»4仆7。）”，5>,仆产2 .阿贝尔定理：（1）锥论：x = x敛=>R2 x*-x（）|； x = x* ® =>/?< .v*-x0（2）注：当工=/条件收敛时nR=x-J3 .收敛半径，区同，收敛域（求和前的准备）注（1）Zqrx”, Z?x"与E>"x"同收敛半径（2） »口与/产之间的转换4.品级数展开法：前提:熟记公式(双向，标明敛陵)- ?'=

35、1 + X + X2 + x5 + ,£! = /?2!3!- (ex +ex) = + x2 +x4 + 一，复=R22!4!- (<?' -ex) = x + x3 + x5 +,。=R23!5!sinx = x- -x3 + x5,。= R cosx = 1- x2+ x4+-,Q = /?;3!5!=1 + x + / + ,x e (-1 J);1-xIn(l + x) = X- - X1 +-x3, xe (-1,123In(l-x) = -x- -x2 - x3, xe-lj)2!4! = -x + x2,xe(-l,l)1 + xarctanx = x-

36、x3 +-x5(2)分解：/(x) = g(x) + (x)(注:中心移动)(特别：,” = %) ax" + bx + c考察导函数：g W = f 'W = f(x) =g(x)dx + /(O)(4)考察原因数：g (x) 2f(x)dx = /(A) = g x)5 .累级数求和法(注：先求收敛城,*变量普换)： S(x) = Z+Z，S(r) = .,(注意首项变化) S(x) =(X)'，S(x) = "S(x)”的微分方程(5)应用:£4 = s(x)=毋.6 .方程的累级却斛法7 .经济应用(数三)：复利：A(l + )"

37、；(2)现值：A(l + p)-"五.博里叶级数(数一 )：(7 = 24)1 .傅氏级数(三角级数)：S(x) = + 'all cosnx+blt sinnx2 H.l2 .。丘力/充分条件(收敛定理)：由/(x) = S(x)(和函数)(2) S(x) = 1/(x-)+ /(%+)1丫% = /(x)cos nxdx7T J一开3.系数公式：g7, = 123,1 .bn= f(x) si n nxdx7C J-g4.4世(注:/(x) = 5(Axe?)(1)T = 2i且/(%) =,xe(况灯(分段表示)(2) x (一万,4或 x w 0,2用（3）工

38、3;0,扪正弦或余弦 *(4)xe0,/r(T = %)*5. T = 2l6 ,阳产品:/(x)= S(x) =XV an cos nx + hn sin nx /r-1/8=S(X。)= ? + Z册 cos nxy + bn sin nx() = -/(x0-) + /(x0+) 2 n.l2第七讲：向量，偏导应用与方向导（数一）一.向量基本运算1.匕+%）；（平行=6=2）2. Z ；(单位向量(方向余我)。"=-La = (cosa.coscos/)3. 7B；（投歌缶）2=空 a垂直:Zj_Bo7B = o；夹角：4Q,5）=巴2） a b4. ax/7;(法向: = x

39、Z? J.a,；面积:兄=乂)二.平面与直我1 .平面n特征（基本量）：%（%）,为，） = （A,3©(2)方程(点法式):/r:4(x-Xo) + 8(y-yo) + C(z-Zu) = 0 = Ax + 8)，+ Cz + 0 = 0其它:截距式工+三=1; *三点式 a b c2 .直线L特征（基本量）：此（%为,4）航=（z, , p）（2）方程（点向式）：L：=&=三二包一般方程（交血式）：AjX+Bjy + CjZ + Dj =0A)x + 8)y + C,z +。？ =0x = a + (a2 - a V其它：.二点式;*参数式;(附：线段A8的参数表示:丁

40、= 4+(优一Z = q+(Q-G"3.实用方法:(1)半面束方程：乃：Aix+By + Clz + Dl+A(A2x + B2y + C2z + D2) = O(2)距离公式：如点加。(%, 用)到平面的.离"=:*：+ U” +日y/A2+B2+C2(3)对称网题;(4)投勒问题.H.曲面与空间曲线(港备)1.曲面形式Z:尸(x,y,z) = O或z = /(x,y)；(8：柱面f(x,y) = 0)法向=(6,1,£) = (cosa,cos/7,cos7)(或 /i = (-zt,-zvl)2,曲线v = x(t)y =)"),或 V z = z

41、(t)F(x, y,z) =。G(x,y,z) = O切向:t = 3(f),y"),z")(或三= >x-)3.应用(1)交绿投题柱面与投上曲线;旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋片(3)锥面计算.四.常用二次曲面1 .同柱面：/ +)?=尺22 .球面：x2 + y2 +z2 = R变柩：? + y2 =R2-z2,z = yjR2-(x2+y2), x1 + y2+z2 =2az.(x-xQ)2+(y-yQ)2+(z-zQ)2 = R23他面：Z = J/ + y2变柩：/ +)，2=22,4 .糖物而：z = x2 + y2.z = a-yx2 + y2变柩：x2

42、 + y2 = z,z = a-(x2 + y2)5 .双曲面：工'+）尸=z2±l6 .马鞍血：z =/一y'或z ='d五,编导几何应用1.曲面法向：尸(x,y,z) = O=> = (工，工,汽),注：z = /(x,y) = =(力"、T)（2）切平面与法线:2,曲线(1)切向：x = X"), y = )"), z = z(t) =>s = (xyz')切线与法平面3.券台：F = 0 G = 01-A.方向导与拂度便点)1 .方向导(7方向斜率)：(1)定义(条件)：7 =(九 ”,p) = (co

43、s a, cos 0, cos/)(2)计算(充分条件:可慨)：=ux cos a+ uv cos p + uz cos /阳：z = f(x,y /° =cos6, sin6 = 3 = fx cos0 + fy sin 0 dl阳：-4- = f u cos2 0 + 2 fx、, sin 0cos 0 + /vv sin2 02 .悌度（取得员大斜率值的方向）G:(1)计算:(4)Z =于"y) = G = gradz =(0,4.)；() =f(x, y, z)=>G = gradu =结论3冷泊心 Ol(b)取7 =存为最大变化率方向;(c)p(M)W最大方

44、向导数值.第八讲：三重积分与或面积分(数一)三垂根分(Jjp/V) n1 .。域的特征(不涉及复杂空间域)：对林恒垂点)：含：关于坐标面；关于变量；关于重心 投题法： A = (x, y)x2 + ),2 « N 4 (x,),) K z w Z2 (X, y) (3)截面法:。=(x,y)|x2 + y2 <Rz)®a<z<b 其它：长方体，四面体，椭球2 . 7的特征：单变量/'，(2)f(x2 + y2), (3)/，+ + 干),(4)f = ax+by+cz+d3 .选择最适合方沫：“枳”前：JJ小；”利用对林性便点)Q截面法(旋转体)：

45、/ = J："zJJ "Mv(细展或中空，J'(z), f(x2 + y2)D(Z)投勒法(直柱体)：/ = JJ "X"可二:政A f球坐标(球或锥体)：/ =；问:sin淑娟/()?人/?,垂心法(/' =ax + Ay + cz + " )： I = (ax+by+cz + d)VQ4 .应用问题：同第一类枳分:质量，质心，转动惯量，引力(2) Gauss 公式二.第一类线枳分(JjZ)(2)对称性; 代人“L”表达式1.“枳”前设备： Jds = L；2 .计算公式:3 .补充说明：(DI Jb a：；_f e 必向 n J"s =+ >'(，)，J (ax + by + c)ds = (a