北师大版八年级数学下册讲义--等腰三角形中四种常用作辅助线的方法

1、专训4等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【名师点睛】几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：“作三线”中的“一线”，作平行线构造等腰（边）三角形，利用截 长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系。方法1作“三线”中的“一线”1 .如图，ABC中AB= AC,D是BC的中点，过A点的直线 EF/BC,且AE= AF,求证：DE= DF.解答:证明：如图，连接 AD.ABC 中，AB=AC, D 是 BC 的中点,. AD ± BC,.EF/BC, . AD ± EF,又 AE= AF,AD垂直平分

2、EF, . DE=DF.方法2作平行线法2 .如图，在ABC AB=AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点 Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点 P, Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图，当点 P为AB的中点时，求证：PD=QD ;(2)如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P, Q在移动的过程中，线段 BE,DE, CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由可编辑解答：(1 )过P点作PF /AC交BC于F点P和点Q同时出发，且速度相同，BP=CQ. PF / AQ, ./ PFB= / ACB, / DPF= Z DQC. AB=AC , ./ B=

3、Z ACB, ./ B=Z PFB , BP=PF , PF=CQ. / PDF= / QDCPF=CQ , / DPF= / DQC, . PFDA QCD,PD=QD.（2） ED的长度保持不变.理由如下：由（1）知 PB=PF.PE± BF, BE=EF.由（1）知 PFDA QCD,FD=DC ,ED=EF+FD=BE+DC= - BC,2E型定值.方法3截长补短法3 .已知：如图，在AABC 中 AB = AC,D 是MBC 外一点，且/ABD=60 °, jACD=60 求证：BD+ DC= AB.解答:解答：B DB证明：延长 BD到F,使BF= BA,连接A

4、F,CF,. /ABD=60 度,. AF=AB = AC= BF, jAFB=60 "CF=/AFC,又.ZACD=60.-.zAFB=ZACD=60. ZDFC=ZDCF, . DC= DF. BD+ DC= BD+ DF= BF= AB ,即 BD+ DC= AB4 .如图，在AABC 中，BAC=120 ,八口，8。于口，且 AB+BD=DC,求/C. A在DC上截取DE=BD,连接 AE,如图所示,. AD ± BC, . ."DB = /ADE=90在AABD和4AED中,AD=AD, /ADB=/ADE, DB=DE, .ABDzAED(SAS),

5、.AB = AE, . ZB=ZAEB,又 AB+BD=CD, DE=BD, .AB+DE=CD,而 CD= DE+ EC, .AB=EC, . AE= EC,故设/EAC=/C=x,"EB为MEC的外角, .-.zAEB=ZEAC+ZC=2 x, ，ZB=2x, BAE=180 -2 x- 2x=180 -4 x, .ZBAC=120 .ZBAE+ZEAC=120 ，即 180 -4 x+x=120解得：x=20 贝 U/C=20方法4加倍折半法5 .如图，CE、CB分别是4ABC与AADC的中线，且/ ACB=/ABC.求证：CD=2 CE.CE 是中线，BF/AC,. AE=BE, ZA=ZABF, ZACE=ZF,在MCE和ABFE中，ZA=/ABF, ZACE=/F, AE= BE,.ACEzBFRAAS),. CE=EF, AC=BF,. CF=2 CE,又. /ACB=/ABC, CB 是MDC 的中线,. AC= AB= BD = BF, ZDBC=ZA+ ZACB