正多边形的有关计算

1、正多边形的有关计算教学目标：（ 1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；（ 2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；（ 3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新教学重点 :把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题教学难点 :正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、准确计算综合运用几何知识教学活动设计 :（一）创设情境、观察、分析、归纳结论1、情境一：给出图形问题 1：正 n 边形内角的规律观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论教师

2、 组织学生自主观察，学生回答（正n 边形的每个内角都等于）2、情境二：给出图形问题 2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？教师 引导学生观察，学生回答观察：三角形的形状，三角形的个数归纳：正 n 边形的 n 条半径分正n 边形为 n 个全等的等腰三角形3、情境三：给出图形问题 3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？观察、归纳：这些边心距又把这n 个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的（二）定理、理解、应用：1、定理：正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化由于这些

3、直角三角形的斜边都是正n 边形的半径R，一条直角边是正n 边形的边心距r n，另一条直角边是正n 边形边长an 的一半，一个锐角是正n 边形中心角的一半，即，所以，根据上面定理就可以把正n 边形的有关计算归结为解直角三角形问题3、应用：例 1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6 和面积 S6教师 引导学生分析解题思路：n=6=30°，又半径为Ra 6 、r6P 6、 S6学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力解：作半径 OA、OB；作 OG AB，垂足为 G，得 Rt OGB GOB=， a6 =2 ·Rsin30 °=R，

4、 P6=6·a6=6R， r 6=Rcos30° =，归纳：如果用Pn 表示正 n 边形的周长，由例1 可知，正n 边形的面积S6=P n r n4、研究：（应用例1 的方法进一步研究）问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积学生以小组进行研究，并初步归纳：；上述公式是运用解直角三角形的方法得到的通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了例如：(1) 圆的半径或边数； (2) 圆的半径和边心距；(3) 边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素（三）小节知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题思想：转化思想能力：

5、解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力（四）作业归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n 边形的有关计算公式教学设计示例2教学目标：（ 1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；（ 2）通过正十边形的边长a10 与半径 R的关系的证明，学习边计算边推理的（ 3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学 建模能力；数学 方法；（ 4）培养学生用 数学 意识，渗透理论联系实际、实践论的观点教学重点 :应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法教学难点 :例 3 的证明方法教学 活动 设计：（一）知识回顾（ 1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边

6、形有关计算转化为解直角三角形问题（ 2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，正多边形的有关计算；组织学生填写教材 P165 练习中第 2 题的表格（二）正多边形的应用正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面， 这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义例 2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5 和边心距r 5( 精确到 0.1cm) 解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接 OA，作 OF AB，垂足为 F，则 OA=R5，

7、OF=r5， AOF= AF=（ cm）， R5=（ cm）r 5=（ cm）答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm建议：组织学生， 使学生主动参与教学；渗透简单的数学 建模思想和实际应用意识；对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流 例 3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长教师 引导学生：（ 1） AOB=？（ 2）在 OAB中， A 与 B 的度数？（ 3）如果 BM平分 OBA交 OA于 M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？（ 4）已知半径

8、为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？解：如图，设AB=a10作 OBA的平分线BM，交 OA于点 M，则 AOB= 1= 2=36°， OAB= 3=72° OM=MB=AB= 10a OAB BAMOA:AB=BA:AM，即R :a10= a 10 : （ R- a 10），整理，得，（取正根）由例 3 的结论可得2回顾： 黄金分割线段AD=DC· AC，也就是说点D 将线段 AC分为两部分，其中较长的线段 AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项 顶角 36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段反思 ：解决方法在推导a10 与 R 关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的解决方法是复习 等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识练习 P.165 中练习 1(三)