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文档简介
1、十二种点到直线距离公式证明方法用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法。已知点P(Xo, Yo)直线I : Ax+By+C=0 (A、B均不为0),求点P到直线I 的距离。(因为特殊直线很容易求距离,这里只讨论一般直线)1用定义法推导点P到直线I的距离是点P到直线I的垂线段的长,设点P到直线 I的垂线为垂足为 Q由I垂直I '可知I '的斜率为B/A订的万程仪-唧写卩联立 錘暮疗点n i卫取亡AE t总冷*吟沪:卩=AAx,* Ey吐Q土B 迟Xq土血辻_(A3 B 即二如血伦2 用设而不求法推导 3 用目标函数法推导点p(心丫小到盲线上处牛帥就二o上 任悪一点逊婪襪的最小埴
2、就是烷P到胃 线r的更离召左/上飯衽意点MO”),田 两点09距岡公式育f订姑汕为了利审衆件Ax+0y+C=O_上式变形 一下,配凑系数处理得:二 A*©X B z(y YMy-y+ 呼仪冷T =Afc-xJ+B(y-yJ-P+Afy -yjF lAtx-XgJ+Sty-yjrfAxc+ByQ+Cf (AXo+Cyd+C)二VJ芬刃。卜研r m帆冷找進红.V7PJF当目仅当知¥-¥4BdxJ国旳耶導 号厮以最小直就是恥佗呢口vW*普迥已知总p 6沖作已期克线上Ak+BvC=o的垂线说垂足73 QixPy|丫一丫M),-1“治 B,化简得lAx+By+C-0 A(y
3、 "丫0) B xXc)=0由上式紀;(A?+B?)fx-xJ!+(yyJ7MAx1o+Bya+ C); d= Vli-xy+fY-工 叫字驻 CL.VTF"4 用柯西不等式推导“求证:(a2 +b2)(c2+d2) >(ac+bd) 2 ,当且仅当 ad=bc,即 a/c=b/d时等号成立。”实为柯西不等式的最简形式,用它可以非常方便地 推出点到直线的距离公式。设点 V 仪“ 为0. AAx + By+ C= 0 上任您一点,任慈点P(x0,Vfl)到冒线/的 直罔为也虬|PM|= 乂一x/;种二¥厂,-JPM|7=+JBy-ByjJ= g+B叽砂二怦4N
4、 Ax-Ax* By- 8y()?= (-Ax-ByO2“7騎当希AX-Xc.y-y0吨甌5 用解直角三角形法推导gph g; £(3Ph =i80"-ti,g 两种情况下都有- g 舊.d=|PH|=5|PG|cosZ GPH|=| 坐吐| 脸CLJ一世內gVA?iEr设直线l的倾斜角为同,过点P作PM/ y轴交I于G(X1 , yi),显然 X=x。,所以6 用三角形面积公式推导两点匂距霍公式的扯导辿性中.陆用 隆第黒値阿造底角三鸽旧受此启示与 A - E3齐口时诃点 曰冷旳的越義白线.狛别 悴平右了 *圈,¥帕的两峯百縊治別奁巨 帥3时C Y于熄M 刖严 3
5、、 Nx0.-t UJIJ |MP|=|xc+ -±C_|# |NP| =i|y04- A«gC_ | _-|p 4 fs|Rtlj-”任RtAm rp,由白第三第必旳血枳公 式胃:;|MP|-|MP|- 1 |MN| d /.d_|Pai- ly>HPNJ_'vnPMp+pRprr |Axa* » CFVA2 + B5-7 用向量法推导Efe匡线 I 的方程 AxBy+C=O, (A, 8 不能周时为X.得直线f的迭目虽为E =4弘识助S円旳川作亘线£的垂线, 垂足为 H (xy'L 则ftfiPFf-kn,即 CA,B St x
6、'sXo+kA. y -y=X9 |PF?|= Vt-XD/y'Yo)1 =| ,又因为盘HX ,y'EE线l上. 顷厦就肖;g J ByVC =0.即 AhkA)+P (V0*AB)+C=0,/, X- (Axo+Sya+Ch 又页为不同时为0> (Axg4-Bya-FC)/. | PFr |= V(x -XBiV -yS5 二|MVW+BJ卜-智黔© IVA耳B即隹|时|=映*血8 用向量射影公式推导设R是宜轨上的圧蕙一点设只饥 门直线的万冋冋量为鬲9-艮叭则冒綫 的法向畳为 P?MA)BL FIT=(x-xo. v -yJ*叮空亠闷匕別"
7、gydl珂|VAJ+EF=JA?<9tBy+CL原评:问量是一和很好的工莫.用问 量处辽,既避幵了分类讨论 以体观T平 向最的王具性,金有事半功倍99效果。9 利用两条平行直线间的距离处处相等推导如果过点P偸8姑作Ax+By+CxO 的平行线;4十By-Axo-ByDOj那么直线 上任意亠点到I的匪罔都專于点F到盲 线/的整离”旣然®以任黄取点,我心应 设迭嗟这亍点到直线I的距离容易求得, 迤取匿线r与次轴的烝点G f暂也 0)旳G作f的垂线-垂定为比设八与X 轴相交于点F (-.OL客易求舉FG =AxtByfl4C 角Ay,Jig詞 士舍&等St互补.二怡血i 二
8、±tanp- ±yr+tfcF 卜-La-从而 d=|GH|-|FG|沁I二II - -二 A1 VAB5lAXjj+Bvc.+CI丁.J » -" 410 .从最简单最特殊的引理出发推导引理:坐拆原点到直线4Ax+BV+C=O 的跑禺 h=一.7住* B2®iE :先从象点到直线95JSRS 一特 棘情形入手,设盲歩与耳轴理釉卄别交 于点E、巳则点E.F的坐标分别是1-字,6、(0 -訂.由三角形面积怕毎*EFh=l-OEOFi§h =JC|由平i亍胃线系求出过点P驱如旦与; 平行的言线的万程:Ax-hBy-AxcBya=OF设自线
9、/和分别与x骊艾于点j G 则点 E(- t0).G(-lA)1/H' 得生二 eg .占二 ELh二地d*b 曲q h OE ' OE|A|jCL. |C|lAxg-Bvc+CI|A|/S 耳呼 SKP11 通过平移坐标系推导是坐协原点就好了, 为此'我门以点巩辎 Yo)为原点津立宜角 坐林祭疋幷铤 坐柝轴心才分别与坐标轴x N乌亍设直线I在新坐标系中记 为儿设任的 G在新旧坐标系中融标分 别是仗"0依心MJ曲0(?=00+0宕,得 卅d 十怀川 h /.x=Koxy=yo+yJ, Ei线I在新坐标系中的方程量护何林"B 2+¥d+C=O即 Ax'+B才十哄)# BYcj+CuO. 点O*到宣线/*曲距离就是爲P %¥到 直线t的鉅需.由引理:d= JAxBydtCLV612.由直线与圆的位置关系推导当以点Pfmvd为區 曲00圜与直线I: Ax+By+C=O相切时.區 前半從就建点P.yJ到 貞找f:心十B”C=O机起 同于是,冋题殆化为当 以
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