空间立体几何点线面判断与证明

1、到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞课题空间立体几何点线面判断与证明教学目标（通掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以过本节课学及证明面面垂直， 面面平行等方法和步骤， 了解关于几何体中一些基本的计算和比值。生需掌握的知识点及达到程度）本节课考点及单元测试15%中所占分值比例学生薄弱点，证明时对判断的方法出现错误思维，导致证明失分， 使用性质时没有给出应有的条件需重点讲解导致扣分，计算的失误使得自己失分。内容课前检查上次作业完成情况：优良中差建 议 :考向 1空间中点、线、面位置关

2、系的判断1平面的基本性质的应用教(1)公理 1：证明“点在面内”或“线在面内”学(2)公理 2 及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共过面”(3)公理 3：确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共程线”“三线共点”讲义部要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平分面的公共点，根据公理3 可知这些点在交线上，因此共线2 空间中点、线、面之间的位置关系- 1 -常州知典教育怀德校区教研组.直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)已知 m，n 表示两条不同直线， .到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌表示平面，

3、下列说法正确的是()A 若 m， n，则 mnB若 m， n? ，则 m nC若 m， mn，则 nD若 m， mn，则 n(2)下列命题正确的是 ()A 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】 (1)对于选项 A ，m 与 n 还可以相交或异面；对于选项 C，还可以是 n? ；对于选项 D，还可以是 n或 n? 或 n 与 相交(2)对于命题 A ，这两条直线可以相交或为异面直线，A 错误；对于命题

4、 B，这两个平面可以相交， B 错误；对于命题 D，这两个平面还可能相交， D 错误；而由线面平行的性质定理可证C 正确故选 C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题 (1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断， 注意空间位置关系的各种可能情况解题 (2)时要注意充分利用正方体 (或长方体 )模型辅助空间想象- 3 -常州知典教育怀德校区教研组.解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长

5、 )方体模型来解决问题考向 2异面直线所成的角1两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角若记这个角为，则 0， 2 .2 判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌两直线异面(1)(2014 大纲全国， 4)已知正四面体ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与 BD 所成角的余弦值为 ()1 3 A.

6、6 B. 61 3 C.3 D. 3(2)如图，已知二面角 -MN-的大小为 60，菱形 ABCD 在面 内， A，B 两点在棱 MN 上， BAD60， E 是 AB 的中点， DO面 ，垂足为 O.- 5 -常州知典教育怀德校区教研组.证明： AB平面 ODE；求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值【解析】(1)如图，取 AD 的中点 F，连接 CF， EF，则 EFBD，CEF 即为异面直线 CE 与 BD 所成的角1设正四面体的棱长为2，则 CECF3，EF2BD 1.由余弦定理得 cos CEFCE2EF2CF236 .2CEEF3CE 与 BD 所成角的余弦值为6 .故选 B.

7、(2)证明：如图， DO， AB? ，DOAB.连接 BD，由题设知， ABD 是正三角形又 E 是 AB 的中点，DEAB.而 DODED，故 AB平面 ODE.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌因为 BC AD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即ADO是异面直线 BC 与 OD 所成的角由知， AB平面ODE，所以 ABOE.又 DEAB，于是 DEO 是二面角-MN-的平面角，从而 DEO60.不妨设 AB 2，则 AD2.易知 DE 3.3在 RtDOE 中， DO DEsin 60.23DO23连接 AO，在 RtAOD 中， cosADO AD2

8、4.故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为3.4【点拨】解题 (1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线解题 (2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里特别为直角三角形- 7 -常州知典教育怀德校区教研组.求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上(2)证：证明作出的角为所求角(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角考向 3线面平行的判定与性

9、质直线与平面平行的判定定理与性质定理.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌文字语言图形语言符号语言判不在平面内的一条直线与l?定此平面内的一条直线平行，a? ? l定则该直线与此平面平行 (简l a理记为线线平行 ? 线面平行 )一条直线与一个平面平行，性则过这条直线的任一平面质与此平面的交线与该直线定平行 (简记为线面平行 ? 线理线平行 )aa? ? abb直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可； 线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法- 9 -常州知典教育怀德校区教研组.(2014 北京，17，14 分 )如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面

10、， AB BC， AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证： C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 E-ABC 的体积【思路导引 】(1)利用已知条件转化为证明 AB平面 B11；(2)取AB的中BCC点 G，构造四边形 FGEC1，证明其为平行四边形， 从而得证； (3)根据题中数据代入.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌公式计算即可【解析】(1)证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1底面 ABC.所以 BB1AB.又因为 AB BC，所以 AB平面 B1BCC1.所以平面 ABE平面 B1BCC1.(

11、2)证明：如图，取AB 中点 G，连接 EG，FG.因为 G， F 分别是 AB，BC 的中点，1所以 FG AC，且 FG2AC.因为 ACA1C1，且 ACA1C1，E 为 A1C1 的中点，所以 FG EC1，且 FG EC1.所以四边形 FGEC1 为平行四边形所以 C1FEG.又因为 EG? 平面 ABE，C1F?平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.(3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 ABAC2BC23.所以三棱锥 E-ABC 的体积1111 3123V S ABC.3AA323- 11 -常州知典教育怀德校区教研组.1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出

12、所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行2 证明线面平行问题的思路(二 )(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌(2013 江苏，18，13 分 )如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点， ADAE，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点 G.将 ABF 沿 AF 折起，得到如图所示的三棱锥A-BCF，2其中B

13、C2.(1)证明： DE平面 BCF；(2)证明： CF平面 ABF；2(3)当 AD 3时，求三棱锥F-DEG 的体积- 13 -常州知典教育怀德校区教研组.解： (1)证明：在等边三角形ABC 中， ADAE，ADAE，在折叠后的三棱锥A-BCF 中也成立，DBECDEBC.DE?平面 BCF， BC? 平面 BCF，DE平面 BCF.(2)证明：由图 ，在等边三角形 ABC 中， F 是 BC 的中点，AFBC，在三棱锥中仍有AF CF，1BFCF2.2在三棱锥 A-BCF 中， BC 2 ，BC2BF2 CF2，CFBF.又BFAFF，CF平面 ABF.(3)由(1)可知 GECF，结

14、合 (2)可得 GE平面 DFG .VF - DEGVE- DFG1132DGFGEG1111313233233324.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌考向 4面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言判一个平面内的两条相交直定线与另一个平面平行， 则这定两个平面平行 (简记为线面理平行 ? 面面平行 )性如果两个平行平面同时和质第三个平面相交，那么它们定的交线平行理符号语言a? b? a bP ? ab a ? ab b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法， 注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行- 15 -常州知典教育

15、怀德校区教研组.如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形， O 是底面中心， A1O底面 ABCD， ABAA12.(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积【解析】(1)证明：由题设知， BB1 綊 DD 1，四边形 BB1D1D 是平行四边形，BDB1D1 .到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌又 BD?平面 CD1B1，BD平面 CD1B1.A1D1 綊 B1C1 綊 BC，四边形 A1BCD1 是平行四边形，A1BD1C.又 A1B?平面 CD1B1，A1B平面 CD1B1.又BDA1BB，平面 A1BD平面

16、CD1B1 .(2)A1 O平面 ABCD，A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高1又AO2AC1，AA12，22A1OAA1 AO 1.1又SABD2221，VABD-A1B1D1SABD A1O1.【点拨】解题 (1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题 (2)的关键是选易求高的底面， 利用线面垂直的判定找高- 17 -常州知典教育怀德校区教研组.1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(4)利用平面平行的传递性， 即两个平面同时平行于第三个平面，

17、 则这两个平面平行2 平行问题的转化关系.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌(2014 十校联考， 18，12 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， D 是 BC 上一点，且 A1B平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明：如图，连接 A1C 交 AC1 于点 E，连接 ED.四边形 A1ACC1 是平行四边形，E 是 A1C 的中点A1B平面 AC1D，平面 A1 BC平面 AC1DED，- 19 -常州知典教育怀德校区教研组.A1BED.E 是 A1C 的中点，D 是 BC 的中点又 D1 是 B1C1 的中点，D1C1 綊 B

18、D，四边形 BDC1D1 为平行四边形，BD1C1D.又 A1BBD1 B， DEDC1D，平面 A1BD1平面 AC1D.考向 5线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌判一条直线与平面内的两a，b? 定条相交直线都垂直，则该abO定? l 直线与此平面垂直l a理l b性质垂直于同一个平面的两a定条直线平行? abb理如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形， PO底面 ABCD，AB 2，BAD 3 ，M 为 BC 上一点，且 BM12.- 21 -常州知典教育怀德校区教研组.(1)证明： B

19、C平面 POM；(2)若 MPAP，求四棱锥 P-ABMO 的体积【思路导引 】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OMBM ，再由线面垂直的判定定理证明；(2)将底面四边形 ABMO 分为 ABO 与 MBO 来求面积，根据 (1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO，代入棱锥的体积公式求解【解析】(1)证明：如图，连接OB，因为四边形 ABCD 为菱形， O 为菱形中心，所以AO OB.因为BAD3，故 OBABsinOAB 2sin61.1又因为 BM2，且 OBM 3 ，在OBM 中， OM2 OB2BM22OBBMcosOBM.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌121312

20、221 2 cos34.所以 OB2OM2 BM2，故 OMBM.又 PO底面 ABCD，所以 POBC.又 OM? 平面 POM，PO? 平面 POM，OMPOO，所以 BC平面 POM.(2)由(1)可得， OAABcosOAB2cos6 3.设 POa，由 PO底面 ABCD 知，POA 为直角三角形，故 PA2PO2OA2a2 3.由POM 也是直角三角形，3故 PM2 PO2OM2a24.12如图，连接 AM.在ABM 中， AM2 AB2BM2 2ABBMcosABM22 212 21222cos 3 4 .由已知 MPAP，故 APM 为直角三角形，- 23 -常州知典教育怀德校

21、区教研组.则 PA2PM2AM2，即 a2 3 a23214 4，得 3， 33(舍去 )，即 PO .a2a22此时 S 四边形 ABMOSAOBSOMB112AOOB2BMOM1113532 312228.所以四棱锥 P-ABMO 的体积115335VP- ABMO 3S四边形 ABMOPO 382 16.1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论2 判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也

22、与这个平面垂直”.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理考向 6面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判一个平面过另一个平面定l? 的一条垂线，则这两个平? 定l 面互相垂直理性 两个平面互相垂直，则一质l? 个平面内垂直于交线的? l定 a理直线垂直于另一个平面la- 25 -常州知典教育怀德校区教研组.(2014 江苏， 16，14 分)如图，在三棱锥 P-ABC 中， D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点已知PA AC， PA6，BC8，DF

23、 5.求证： (1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.【思路导引 】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证； (2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直【证明】(1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DE PA.又因为 PA?平面 DEF， DE? 平面 DEF ，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DE PA，11DE2PA3，EF2BC4.又因为 DF5，故 DF2DE2EF2，所以 D

24、EF 90，即DEEF.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEFE，AC? 平面 ABC，EF? 平面 ABC，所以 DE 平面 ABC.又 DE? 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义， 即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2 垂直问题的转化关系- 27 -常州知典教育怀德校区教研组.考向 7线面角、二面角的求法1线面角(1)当 l时，线面角为90.(2)当 l

25、或 l? 时，线面角为 0.(3)线面角 的范围： 0 90.2 二面角(1)如图，二面角 -l -，若 Ol， OA? ， OB? ， OAl ，OBl，则 AOB 就叫作二面角 -l -的平面角(2)二面角 的范围： 0 180.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD是平行四边形， BABD2，AD 2，PA PD5， E， F 分别是棱 AD， PC 的中点(1)证明： EF平面 PAB.(2)若二面角 P-AD-B 为 60，证明：平面 PBC平面 ABCD；求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值【思路导引 】(1)因为 E，F 分别

26、是所在棱的中点，可取PB 的中点 M，证明四边形 AMFE 是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明(2)连接PE， BE，由题意知 PEB 60，在PEB 中利用余弦定理证出BEPB.又 BEAD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；由知 BE平面 PBC，则 EFB 即为直线 EF 与平面 PBC 所成的角【解析】(1)证明：如图，取PB 中点 M，连接 MF ，AM.因为F 为PC中点- 29 -常州知典教育怀德校区教研组.1故 MFBC 且 MF2BC.由已知有 BCAD，BCAD.又由于 E 为 AD 的中点，因而 MFAE 且 MFAE，故四边形 AMFE 为平行四边形，

27、所以 EFAM.又 AM? 平面 PAB，而 EF?平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2)证明：如图，连接PE，BE.因为 PAPD，BABD，而 E 为 AD 的中点，故 PEAD，BEAD，所以 PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角在PAD 中，由 PAPD5，AD2，可解得 PE2.在ABD 中，由 BABD2，AD2，可解得 BE1.在PEB 中， PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB3，从而 PBE90，即BEPB.又 BCAD，BEAD，从而 BEBC，因此 BE平面 PBC.又 BE? 平面 ABCD，所以平面 PBC平面 ABCD.如图，连接 BF.由知

28、， BE平面 PBC，所以 EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角由 PB3及已知，得 ABP 为直角131111而 MB2PB2，可得 AM2 ，故 EF2 .到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌BE2 11又 BE1，故在 RtEBF 中， sinEFB EF11 .211所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为11.1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角2 空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的

29、常见作法有：定义法；垂面法其中定义法是最常用的方法- 31 -常州知典教育怀德校区教研组.巩固练习：1. 如图，在四棱锥P- ABCD 中底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，PAAD2，AB1，BMPD 于点 M.(1)求证： AMPD；(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值课堂练习2.如图所示，在四棱锥S-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， SA平面 ABCD，M，N 分别为 SA，CD 的中点(1)证明：直线 MN平面 SBC；(2)证明：平面 SBD平面 SAC.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌3.如图，在直角梯形ABCD 中， ADBC，ADC90，

30、 ABBC.把 BAC沿 AC 折起到 PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC上，如图所示，点E，F 分别为棱 PC，CD 的中点- 33 -常州知典教育怀德校区教研组.(1)求证：平面 OEF平面 APD；(2)求证： CD平面 POF；(3)若 AD 3， CD4，AB 5，求四棱锥 E-CFO 的体积1. 解： (1)证明： PA平面 ABCD， AB? 平面 ABCD，PAAB.ABAD，ADPA A，AD? 平面 PAD，PA? 平面 PAD，AB平面 PAD.PD? 平面 PAD，ABPD.BM PD，ABBMB，AB? 平面 ABM，BM? 平面 ABM，PD平面 ABM.AM? 平面 ABM，AMPD.(2)由(1)知， AM P