等差数列的性质及其应用 教师

1、等差数列的性质学习目标:熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式学习重点:等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用学习难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题1. 当公差d HO时，等差数列的通项公式an=a1+(n 1)d =dn + -d是关于n的一次函数，且斜率为公差d ；前n和s1+晋d=2n2+(ain是关于n的 二次函数且常数项为0。2. 若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d CO，则为递减等差数列，若公 差d =0 ,则为常数列。3. 当m+n = p+ q时，则有a a a p中aq，特别地，当 m + n = 2p时，则有 am + an = 2 ap。注：a +

2、 an =a2 +an4=a3 + a. = -，4. 若aj、bn为等差数列，则han+b，扎仙+為都为等差数列。5. 若 an是等差数列，则Sn, S2n - Sn , Ssn - S2n，也成等差数列。6. 数列an为等差数列，每隔k(kN*项取出一项心皿8皿十咼七am七k，)仍 为等差数列。7. 设数列 是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和， Sn是前n项的和当项数为偶数2n时,5奇=a1 +a 3 + as + +82_ n(a1 +a2n-1 )= nanSr a2乜4十比+“2_ n(a2 +a2n )_-_-n ah2S偶务=n4十nan = n (an+

3、 -an )s奇na*anS 偶n an 十 an +当项数为奇数2n+1时，贝US _n+1S nS2n+=S+S=(2n+1an+_ JSN门+1札十_IS - S =an+IS = na1（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）。8. ，bn 的前 n 和分别为代、Bn，且 舍= f（n），则寻=（IM）b=BnA = f（2n1）。 bn （2n-1）bn B2nA9. 等差数列an的前n项和Sm =n ，前m项和Sm，则前m+n项和Sm+ = （m+ n ）。10. 求Sn的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值， 但要注意数列的特殊性n

4、- N*。法二：（1）首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和。 即当a1 0, d 0,由fa0可得Sn达到最大值时的n值。2卄兰0（2）首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。ra0即当a1 0,由 n 可得Sn达到最小值时的n值。回十0或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时， Sn取最大值（或最小值）。若Sp =Sq则其对称轴为n= p；q。1.定义法:2.递推法判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法： an*-an=d （常数）（n亡N中）u an是等差

5、数列。2anH1=an十an七（n忘N ） an是等差数列。3.性质法利用性质来判断。4.通项法an = pn+q （ p,q为常数）=an是等差数列。5.求和法:Sn=A n2+Bn （ A,B为常数，Sn为an的前n项的和）二an是等差数列。其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是 否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。 下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。5【例题讲解】例1：已知1,1,1成等差数列，求证:a b c解法一：；1,1,-成等差数列，a b c2 11=+ b a bb+c c + a a + b ,亠，,

6、也成等差数列。a b c/. b(a +c ) = 2ac_2(cacb2 2b(a +c )+a +c2(c+a )acb(a +c 22(c +a )ac2aca +c0b +c + a +b _ 2(c +a )2(c + a)b , c也成等差数列。be +c2 +a2 +aba cbb +c c +a a +b又 b+c + a+bac解法二：1 1-,-成等差数列,b ca +b + ca +b +ca + b + c也成等差数列,cb +c+ b +1也是等差数列,cb +c也是等差数列。c2S 21例2：设数列an中，ai=1，且an = n （n 2）,证明数列是等差数2Sn

7、 - 1Sn列，并求S.。解：由已知Sn SnJ =2S 22gn,，去分母得(2Sn1)(Sn-SnG=2Sn，2Sn -111111Sn - Sn4 = 2SnSn J，两边同除以 Sn Sh J，得 g - 一 = 2，二g是以 = 1Sn Sn5S1 a11 1为首项，以2为公差的等差数列，故十Sr（n”2=2n-1（心）1经验证2时也成立，所以S亦71（宀+）。例3：设数列an的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有S门佝；） 证明an是等差数列。例4:已知数列an是等差数列，且有an=m,am=n（mH n），求am知。例5:数列a是等差数列，且有Sn=m,Sm= n，淇中m,

8、n丘N*且m h n ）,求Sn。解法一：因为数列Qn 为等差数列，所以可设 Sn=An2 + Bn（其中A、B为不同时为0的常数），则有2(1)(2)An + Bn = mQAm + Bm = n解法Sm _ Snm n(1) 一(2)得 A(n2m2)+B(n-m)=m n mH n二 A(n +m )+ B = -1二 A(n + m 2 + B(n +m )= (n + m )即 Sm 书=(m+ n )。2: An + Bn =An+B,所以是关于n的一次函数，因此点nnn二鱼、m也、m+n，出在同 I n八 m八m + n丿直线上Sm Hn _ Sn=严 n，所以 m -n(m +

9、n )-nS+ = (m +n )。变:等差数列& 的前n项和为Sn，若5=卫，Sm=-，求Sm和（其中m, nmn是正整数，且m H n）。解法一：从首项和公差这两个基本量出发。 设数列an的首项ai，公差为d，由题目条件可得到C + n(n -1 )Sn = n ai 十d2c丄 m(m -1)Sm =m 0 +-. 2d1可以解得ai =丄，d =mn2。mn/. Sm 卄(m +n ai+(m + n 佃+nT)dm + nmn解法二：从Sn具有的形式出发。27由Sn = na, +n（n +1）d ,可见Sn具有Sn = An2 + Bn的形式（其中2plplA = ,B =ai ）

10、o 故可设 Sn = An + Bn，222Sn =A n +Bnm2mSm = Am + Bm = n解得卜mnb =0,（m+ nfSm + mn12解法三：从等差数列自身性质出发。不妨设mn，则有SmSn =a计+an七屮+ am =+anH1 + am /（m-n）.2mnc c-一 =Sm -Sn =nm由 是等差数列，知an + + am = a, + am4n,an十+am（m-n 片 ai +丁旳（m-n）,可以解出 a1 +amHn =（m+n ）mn刖aa輕（m+ n） = glmn解法四：从空的形式出发。由Sn= nai+I）d ,=bn，则数列 仁是等差数列。Sm _

11、Sn贝y d 二 bm bn nnm-n m-nm-nmn,Sm 如，11 m+n4旳=；=bm十nd =加石=话Ik 由 c(m + n 2从而SmHn =mn解法五：利用解析几何中直线的知识。由解法二知，Sn =A n2+Bn，色=A n + B是关于n的一次式,n则在直角坐标系下，三点/m, k m丿Sm%勒 hn,k n八11m nSm 中 _1m +n nn-m(m+n)m解得Sm十皿。mn解法六：由解法一得数列an 的公差d = 2，这里不妨设mn，mnSP 十 _ Sm + am4l + am 七+am4n=Sm 中(& +md )+(a2 +md )十+(an +md ) =S

12、m +Sn +mn d斗R+mn2n m mn例6:等差数列丿的前m项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和例7:等差数列an冲,S11 =121,那么a6的值是【巩固练习】1等差数列-6 , -1 , 4, 9,中的第20项为2.等差数列a n中，a15=33,a45=153,则217是这个数列的3、在-9与3之间插入n个数, 为.使这n+2个数组成和为-21的等差数列，贝U n4、等差数列an中，ai+a7=42,aio-a3=21,则前10项的Sio等于5、等差数列中连续四项为 a, x, b, 2x,那么a : b等于6、已知数列an的前n项和S=2n2-3n，而a1,

13、a3, a5, a?, 组成一新数 列Cn，其通项公式为7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30若此数列的最后一项比第-10项为10,则这个数列共有8设数列an和bn都是等差数列，其中a1=25, b 1 =75,且a1oo+b1oo=1OO,则数列an+bn的前1oo项和为9、在等差数列a n中，an=m an+n=o,则amF 10、 在等差数列a n中，a4+a7+a1o+a13=20,贝U S6=11. 在等差数列a n中，a1+a2+a3+a4=68, a6+a7+a8+a9+a1o=3O,则从 恥到a3o的和是 12.已知等差数列110 , 116 , 122 ,，则大于450而不大于602的各项之和为13.已知等差数列an的公差d=2，前100项的和Soo=145求:a 1+&+空+a9