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文档简介
1、等差数列的性质学习目标:熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式学习重点:等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用学习难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题1. 当公差d HO时,等差数列的通项公式an=a1+(n 1)d =dn + -d是关于n的一次函数,且斜率为公差d ;前n和s1+晋d=2n2+(ain是关于n的 二次函数且常数项为0。2. 若公差d 0,则为递增等差数列,若公差d CO,则为递减等差数列,若公 差d =0 ,则为常数列。3. 当m+n = p+ q时,则有a a a p中aq,特别地,当 m + n = 2p时,则有 am + an = 2 ap。注:a +
2、 an =a2 +an4=a3 + a. = -,4. 若aj、bn为等差数列,则han+b,扎仙+為都为等差数列。5. 若 an是等差数列,则Sn, S2n - Sn , Ssn - S2n,也成等差数列。6. 数列an为等差数列,每隔k(kN*项取出一项心皿8皿十咼七am七k,)仍 为等差数列。7. 设数列 是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和, Sn是前n项的和当项数为偶数2n时,5奇=a1 +a 3 + as + +82_ n(a1 +a2n-1 )= nanSr a2乜4十比+“2_ n(a2 +a2n )_-_-n ah2S偶务=n4十nan = n (an+
3、 -an )s奇na*anS 偶n an 十 an +当项数为奇数2n+1时,贝US _n+1S nS2n+=S+S=(2n+1an+_ JSN门+1札十_IS - S =an+IS = na1(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项)。8. ,bn 的前 n 和分别为代、Bn,且 舍= f(n),则寻=(IM)b=BnA = f(2n1)。 bn (2n-1)bn B2nA9. 等差数列an的前n项和Sm =n ,前m项和Sm,则前m+n项和Sm+ = (m+ n )。10. 求Sn的最值法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值, 但要注意数列的特殊性n
4、- N*。法二:(1)首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和。 即当a1 0, d 0,由fa0可得Sn达到最大值时的n值。2卄兰0(2)首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。ra0即当a1 0,由 n 可得Sn达到最小值时的n值。回十0或求中正负分界项法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时, Sn取最大值(或最小值)。若Sp =Sq则其对称轴为n= p;q。1.定义法:2.递推法判断一个数列是否是等差数列,一般有以下五种方法: an*-an=d (常数)(n亡N中)u an是等差
5、数列。2anH1=an十an七(n忘N ) an是等差数列。3.性质法利用性质来判断。4.通项法an = pn+q ( p,q为常数)=an是等差数列。5.求和法:Sn=A n2+Bn ( A,B为常数,Sn为an的前n项的和)二an是等差数列。其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是 否是等差数列,一般用1、2、3这三种方法,而方法3还经常与1、2混合运用。 下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。5【例题讲解】例1:已知1,1,1成等差数列,求证:a b c解法一:;1,1,-成等差数列,a b c2 11=+ b a bb+c c + a a + b ,亠,,
6、也成等差数列。a b c/. b(a +c ) = 2ac_2(cacb2 2b(a +c )+a +c2(c+a )acb(a +c 22(c +a )ac2aca +c0b +c + a +b _ 2(c +a )2(c + a)b , c也成等差数列。be +c2 +a2 +aba cbb +c c +a a +b又 b+c + a+bac解法二:1 1-,-成等差数列,b ca +b + ca +b +ca + b + c也成等差数列,cb +c+ b +1也是等差数列,cb +c也是等差数列。c2S 21例2:设数列an中,ai=1,且an = n (n 2),证明数列是等差数2Sn
7、 - 1Sn列,并求S.。解:由已知Sn SnJ =2S 22gn,,去分母得(2Sn1)(Sn-SnG=2Sn,2Sn -111111Sn - Sn4 = 2SnSn J,两边同除以 Sn Sh J,得 g - 一 = 2,二g是以 = 1Sn Sn5S1 a11 1为首项,以2为公差的等差数列,故十Sr(n”2=2n-1(心)1经验证2时也成立,所以S亦71(宀+)。例3:设数列an的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有S门佝;) 证明an是等差数列。例4:已知数列an是等差数列,且有an=m,am=n(mH n),求am知。例5:数列a是等差数列,且有Sn=m,Sm= n,淇中m,
8、n丘N*且m h n ),求Sn。解法一:因为数列Qn 为等差数列,所以可设 Sn=An2 + Bn(其中A、B为不同时为0的常数),则有2(1)(2)An + Bn = mQAm + Bm = n解法Sm _ Snm n(1) 一(2)得 A(n2m2)+B(n-m)=m n mH n二 A(n +m )+ B = -1二 A(n + m 2 + B(n +m )= (n + m )即 Sm 书=(m+ n )。2: An + Bn =An+B,所以是关于n的一次函数,因此点nnn二鱼、m也、m+n,出在同 I n八 m八m + n丿直线上Sm Hn _ Sn=严 n,所以 m -n(m +
9、n )-nS+ = (m +n )。变:等差数列& 的前n项和为Sn,若5=卫,Sm=-,求Sm和(其中m, nmn是正整数,且m H n)。解法一:从首项和公差这两个基本量出发。 设数列an的首项ai,公差为d,由题目条件可得到C + n(n -1 )Sn = n ai 十d2c丄 m(m -1)Sm =m 0 +-. 2d1可以解得ai =丄,d =mn2。mn/. Sm 卄(m +n ai+(m + n 佃+nT)dm + nmn解法二:从Sn具有的形式出发。27由Sn = na, +n(n +1)d ,可见Sn具有Sn = An2 + Bn的形式(其中2plplA = ,B =ai )
10、o 故可设 Sn = An + Bn,222Sn =A n +Bnm2mSm = Am + Bm = n解得卜mnb =0,(m+ nfSm + mn12解法三:从等差数列自身性质出发。不妨设mn,则有SmSn =a计+an七屮+ am =+anH1 + am /(m-n).2mnc c-一 =Sm -Sn =nm由 是等差数列,知an + + am = a, + am4n,an十+am(m-n 片 ai +丁旳(m-n),可以解出 a1 +amHn =(m+n )mn刖aa輕(m+ n) = glmn解法四:从空的形式出发。由Sn= nai+I)d ,=bn,则数列 仁是等差数列。Sm _
11、Sn贝y d 二 bm bn nnm-n m-nm-nmn,Sm 如,11 m+n4旳=;=bm十nd =加石=话Ik 由 c(m + n 2从而SmHn =mn解法五:利用解析几何中直线的知识。由解法二知,Sn =A n2+Bn,色=A n + B是关于n的一次式,n则在直角坐标系下,三点/m, k m丿Sm%勒 hn,k n八11m nSm 中 _1m +n nn-m(m+n)m解得Sm十皿。mn解法六:由解法一得数列an 的公差d = 2,这里不妨设mn,mnSP 十 _ Sm + am4l + am 七+am4n=Sm 中(& +md )+(a2 +md )十+(an +md ) =S
12、m +Sn +mn d斗R+mn2n m mn例6:等差数列丿的前m项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和例7:等差数列an冲,S11 =121,那么a6的值是【巩固练习】1等差数列-6 , -1 , 4, 9,中的第20项为2.等差数列a n中,a15=33,a45=153,则217是这个数列的3、在-9与3之间插入n个数, 为.使这n+2个数组成和为-21的等差数列,贝U n4、等差数列an中,ai+a7=42,aio-a3=21,则前10项的Sio等于5、等差数列中连续四项为 a, x, b, 2x,那么a : b等于6、已知数列an的前n项和S=2n2-3n,而a1,
13、a3, a5, a?, 组成一新数 列Cn,其通项公式为7、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30若此数列的最后一项比第-10项为10,则这个数列共有8设数列an和bn都是等差数列,其中a1=25, b 1 =75,且a1oo+b1oo=1OO,则数列an+bn的前1oo项和为9、在等差数列a n中,an=m an+n=o,则amF 10、 在等差数列a n中,a4+a7+a1o+a13=20,贝U S6=11. 在等差数列a n中,a1+a2+a3+a4=68, a6+a7+a8+a9+a1o=3O,则从 恥到a3o的和是 12.已知等差数列110 , 116 , 122 ,,则大于450而不大于602的各项之和为13.已知等差数列an的公差d=2,前100项的和Soo=145求:a 1+&+空+a9
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