全等三角形问题中常见的几种辅助线的作法

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1 .等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2 .倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3 .角平分线在三种添辅助线4 .垂直平分线联结线段两端5 .用“截长法”或“补短法” 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6 .图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7 .角度数为30、60度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为 30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作

2、垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8 .计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90的特殊直角三角形，或 40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构

3、造全等 三角形.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中 的“旋转”法构造全等三角形.3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换

4、中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面 积的知识解答.、倍长中线（线段）造全等1、（“希望杯”试题）已知，如图4ABC中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值范围是例2、如图， 4ABC中，E、F分别在 AB、AC上

5、，DE± DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.例3、如图，4ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.应用：1、（ 09崇文二模）以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE ,BAD CAE 90.一 一 一BAD CAE 90 ,连接DE, M、N分别是BG DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 Word资料（2）将图中的等腰Rt ABD绕点a沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发

6、生改变？并说明理由.Word资料C二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC , AD 平分 BAC ,且 AD=BD,求证：CD± AC2、如图，AD / BC, EA,EB分别平分/ DAB, / CBA, CD 过点 E,求证;AB=AD+BC。0 一 一03、如图，已知在 VABC内， BAC 60 , C 40 , P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分别是 BAC ,ABC的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形求证： AC 1800ABCD 中，BC> BA,AD = CD, BD 平分Word资料5、如图在 ABC 中，AB&

7、gt;AC, / 1 = 7 2, P 为 AD 上任意一点，求证；AB-AC > PB-PC应用:如图,在四边膨用3 中，4口*见点E瘗/W匕一个弱点.若£旧：仅，仞二的,n UM = W，判断乂AE马网的关系并征明你的结论.三、平移变换为MN上一点, ABC例1 AD为 ABC的角平分线，直线MNLAD于A.E周长记为PA, 4EBC周长记为 R.求证PB> PA.例2如图，在 4ABC的边上取两点 D、E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , "BC的角平分线 AD

8、,CE相交于点 O,求证：OE=OD2、如图，4ABC 中，AD 平分 /BAC, DGLBC 且平分 BC, DELAB 于 E, DFXAC 于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果 AB= a , AC= b ,求AE、BE的长.应用：1、如图，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60° ,AD、CE分别是/ BAG / BCA的平分线，AD、CE相 交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/

9、 ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。B五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点,例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点,DM ±DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。当 MDN绕点D转动时,求证DE=DF。若AB=2,求四边形 DECF的面积。F为CD上的一点，BE+DF=EF,求/ EAF的度数.且 BDC 1200 ,以D为顶点做一个600角,例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形,使其两边分别交 AB于点M,交AC于点N,连接MN,则 AMN的周长

10、为ABC应用:1、已知四边形 ABCD 中，AB AD, BC CD, AB BC , Z ABC 120°, / MBN 60°, /MBN 绕 B点旋转，它的两边分别交 当/MBN绕B点旋转到AD, DC （或它们的延长线）于AE CF时（如图1）,易证AE CF EF .当/MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明;若不成立，线段 AE, CF ,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2、（翩羸年一模）'D知:PA=Cv2NE M如图，当/ APB=45 °时求AB及PD的长;BCN

11、DD两点落在直线AB的两侧.（2）当/ APB变化,且其它条彳不变时，求PD的最大值，及相应/ APB的大小.（图1）（图2）（图3）.EM3、在等边 ABC的两边 AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为VABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当M、N分别在直线 AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量 关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2图3（I）如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ,Q此时一；L （II）如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个

12、结论还成立吗？写出你的猜想并 加以证明；（III）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= X ,则Q= （用x、L表示）.参考答案与提示、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图4ABC中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值范围是解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD 的取值范围是 1<AD<4例2、如图， 4ABC中，E F分别在 AB、AC上，DE± DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使

13、FG=2EF,连BG, EG, A显然BG= FC,在4EFG中，注意到DELDF,由等腰三角形的三线合一知EG= EF在 BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，4ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.解：延长 AE至G使AG=2AE,连BG, DG,显然 DG=AC,/ GDC= / ACD由于 DC=AC ,故 / ADC= / DAC在4ADB与4ADG中，BD=AC=DG, AD = AD,/ ADB= / ADC+ / ACD= / ADC+ / GDC= / ADG故ADB/ADG,故有 /BAD=

14、/DAG,即 AD 平分 / BAE应用:1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABC Rt ABD 和等腰Rt ACEBAD CAE 90.一 一 一BADCAE 90 ,连接de, m、n分别是BG DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ,线段AM与DE的数量关系是;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点a沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.Word资料、截长补短CD1、如图， ABC 中，AB=2AC , AD 平分 BAC ,且

15、 AD=BD ,求 XAC解：(截长法)在 AB上取中点F,连FD ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFXAB,故 Z AFD=90° ADFAADC (SAS)Z ACD= ZAFD=90° 即：CDAC2、如图，AD/BC, EA,EB分别平分/ DAB,/CBA, CD 过点 E,求证；AB= AD+BC解：(截长法)在 AB上取点F,使AF= AD,连FE ADEAAFE (SAS)/ ADE= / AFE,/ ADE+/ BCE= 180°/ AFE+/ BFE= 180°故 / ECB= / EFB FBEACBE (AAS)

16、故有BF= BC从而;AB= AD+BCDAC 400, P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分别是 BAC , ABC的 C角平分线060BQ+AQ=AB+BP解：（补短法，计算数值法）延长 AB至D,使BD=BP,连DP在等腰 4BPD中，可得 /BDP=40°从而 / BDP=40° 上 ACP ADPAACP (ASA)故 AD= AC又/QBC = 40° 士 QCB 故 BQ=QCBD= BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD 中，BC> BA,AD = CD, BD 平分 ABC,求证： A C 1800解：(补短

17、法)延长 BA至F,使BF= BC,连FD BDFABDC (SAS)故/DFB=/DCB , FD= DC又 AD= CD故在等腰4BFD中/ DFB= / DAF故有 / BAD+ / BCD= 180°5、如图在 ABC 中，AB>AC, / 1 = 7 2, P 为 AD 上任意一点，求证；AB-AC > PB-PCA解：(补短法)延长 AC至F,使AF=AB,连PD ABPAAFP (SAS)故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF- PC < CF = AF AC = AB AC应用:如氏在四边形AlfCD中，AD/配.点E是AB上一个弱点.若

18、；仅匕二町 H UEC =60。.判断+ AE与统二的关系并证明你的结论.、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNLAD于A.E为MN上一点， ABC周长记为PA , EBC周长记为PB.求证Pb > PA .解：(镜面反射法)延长 BA至F,使AF=AC,连FEAD为八ABC的角平分线，MN，AD知 / FAE= / CAE故有 FAE CAE ( SAS)故 EF= CE在 BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC= Pa例2如图，在 4ABC的边上取两点 D、E,且BD=CE,求证：A

19、B+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.v BD=CE,DM=EM,.,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BP>PN,DP+PA>AD,相力口得 BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去 DP得 BN+AB>DN+AD,AB+AC>AD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60 ° , "BC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=OD , DC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线，计

20、算数值法）/B=60度, 贝叱 BAC+Z BCA=120 度;AD,CE均为角平分线,贝U / OAC+ / OCA=60 度=/ AOE= / COD;/ AOC=120 度.在AC上截取线段AF=AE连接OF.又 AO=AO; / OAE= / OAF.则，OAE0 AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/ AOF=/AOE=60 度.则/ COF=/ AOC- / AOF=60 度=/ COD;又 CO=CO;/OCD=/OCF.故，OCD0 AOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC 中，AD 平分 /BAC, DGB

21、C且平分 BC, DEAB 于 E, DFAC 于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果 AB= a , AC= b ,求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD, DCDG垂直平分 BC,故BD = DC由于 AD 平分/BAC, DEXABT E, DFLAC 于 F,故有ED= DF故 RTA DBEZ RTA DFC ( HL)故有BE= CF。AB+AC = 2AEAE= ( a+b ) /2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，

22、在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60° ,AD、CE分别是/ BAG / BCA的平分线，AD、CE相 交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求/ EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形WJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE, AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF

23、=/ GAE=/BAE+/ GAB=/BAE+/ DAF又 / EAF+Z BAE+Z DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM，DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DF。(2)若AB=2 ,求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)(1)连接DC,D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，故有 CDXAB, CD= DACD 平分/BCA=90° , ZECD= /DCA=45°由于 DMDN,有/ EDN=90°由于 CDXAB,有/ CDA=90°从而 / CDE=

24、 / FDA=故有CDEMDF (ASA)故有DE=DF Sabc=2, S 四 DECF= Saacd=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 120°,以D为顶点做一个60°角,使其两边分别交 AB于点M,交AC于点N,连接MN,则 AMN的周长为解：(图形补全法，“截长法”或“补短法'计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使 CE= BM.ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 °,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30 =90 °, Z DCE=180 °-Z ACD=180 °-Z ABD=90 °, X BM=CE, BD=CD , .,.CDEABDM, ./ CDE=Z BDM, DE=DM , / NDE= / NDC+ / CDE= / NDC+ / BDM= / BDC- / MDN=120 -60 =60 '.在 DMN 和 DEN 中,DM=DE/ MDN= / E