基本不等式中1的妙用.docx

1、2xyy+3基本不等式中“1的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式 的值m n已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式ax +by , 一个是分式_ ，当然x y会在此基础上进行变形。解题方法荟萃N 九y x主要是凑出可以使用基本不等式的形式：一十 的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。X y二、典型题剖析12例题1： （ 1）己知x, y e R *, x +2y =1,求一+的埴小值；x y.12（2）已知x, ywR*, x +2 y= 3,求一十一的最小值；x y一 审 3 .2,（3）已知x,

2、y匚R , 十 = 2 ,求 彼2y的最小值；x y（4）已知 x, y eR * x +2 y = xy ,求 x+ 2 y 的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“ 1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1,求分式的最小值，（2）是将已知值变成了 3,需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。11 2【答案】(1)_+2=(坤2 y)C+_)+各+ - +x yx yy2x当且仅当一=2工即乂=/工时取等号y x3121(2 ) + = & 升y)(xy31212x2 y1、 °一+ )=- (±一+ -+4) >45 +

3、4)= 3x y3y x32x当且仅当-=2q即X= y时取等号y x31(3) 6x +2 y= <21 阱 6/232、 3y 6 x一十 ) (0 x 也 y)= >+ + 2 之x yx y6x 3y当且仅当_ =_即7x =(4)因为舟2y= xy，所以_+，=1 ,然后x + 2 y= (x+2y)(_匕+第8 y xy x y xx 4 y当且仅当= 即至2y=4时取等号y x12例题2： ( 1)已知x, ye R *, x+y，求 +的最小值；x t y也22x- y(2)已知x, y R * x+y=l,求+的最小值；+ 1+ 1x 1 y 11 2(3)已知x

4、, y e R *, x+y=l,求 +的最小值；2 x+ y y + 3(4)已知x,3R* , 2x +3 y1,求十的最小值；x+ y y + 3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：(1)是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；(2)在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；(3)在(1)的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；(4)在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。【答案】(1)整式变形成x +1% +1= 3 ,121121 y 君

5、2(x 142/1+=- (x + 43)什 +)= + 2 +1+ x 3 5x4i y 3+ 3xl y 33当且仅当y +3=2(x+1取等号X 1 y 3(2)(£ 1)2 2&(y+1)2-2(J1);= 燃笄一L + yHN +L+x 1 y 1x _1y _1x 1y 11上1=+ - 1x + 1 y +1然后求当x + y = 1时，代数式，的最小值x+1 y +1最小值(3)整式变形成2x +y + /3 =5 ，求代数式（4）假设分式变形为；+ 乡的形式,保证x的系数与y的系数之比等于整式中的系数之比，九（蚊 y） N（y+3）；2即一二一，九二2 p

6、卜=1九二2 ,分式变形为 2 +2-九+卜32x+2 y 广329整式变形为 2x -By + y + 3= 4 ,然后求 十一二的最小值。2x+2 y y + 31 2x例3： （1）已知*,丫豆，x + y = i,求 + 的最小值； x y1（2）已知x曰（0,1），求一+一二的最小值；X 1 X【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2x一 的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式,y但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。【解析】1+y（1）_ +笈 =1一y=升y+% >

7、1 42孑当且仅当 -2x =时取等号x y x yx yy x12（2）因为x+（Lx） = l，然后求+的最小值X 1 - X三、达标与拓展基础过关（第15题）1 .若正数x , y满足x +3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）2428A .B.C. 5D. 655 【解析】正数X，y满足X +3 y=5xy '/+31, 1 y5x 5y3x +4 y = f-3- +l（3x +4 y）=9+L2yi»Jlx之L3. h2 Ily5 ,I 5x 5 y J5 5 5x 5 y 5、3x 5 y12 y 3x当且仅当=一时取等号 5x 5y即3#4 y的最小值是5【

8、答案】C.2x y2.已知x, y均为正实数，且x +3y =2，则二的最小值为 xy7+在 2 /%2即，时，等号成立，即29的最小值是xy【解析】试题分析：2* '= &+3y)( 1+f) 2 =_- L> IZ_1=1+JT, xyx y 2222x - y =当且仅当，3y 2x I X y【例1】3.设a >0 , b>0 ,若亦是3a与3b的等比中项，则 L+的最小值为（）a b1A . 8B . 4C . 1D . _4解析因为C是3a与3b的等比中项，所以a +b = 11111、 a b-+ =( +)(a +b) 2 + + >2

9、-e =4a b a bb a【答案】B.的最小值是 3b4.已知 a >0, b >0, a + b =1,则 1+2a +b a +2【解析】 令 a+)=x(2a+b)+y(a +3b),解得 x = 一，Y= 455S + 3b).J+T)- 12a +b 广 3b Jr211+1 =修 +b)+ 2a *b a +3b 1-553 , a+3b 上 2(2a+b)、3* ； a + 3b 2(2a+b) (+)(+)2 y+5 5 2a b 5 a 3b 55(2a b) 5 (33b)3 +25当 a +3b =2&+即(尸+3“=战 2a世)取等号.5(2a

10、+b ) (5 a+3b )）+_，则 +5已知头数x，y满足4X2y 2+3xy 2x y的最大值为【解析】:实数x, y满足 42十2+3 =1, x yxy二 4x2 + y 2 + 4xy 4 克y ,、11 Qx+yY二(2x 2 ) = +-2-x41+- J ,22、2 '解关于2x + y的不等式可得2x + y <、2 ；故答案为：14 .智能拓展（第 610题）6.已知 a >0，b>0, a-b 2b _1 ,则 1+ 1取到最小值为3a + 4b a + 3b【解析】试题分析：a + 2b =九(3& +4b) +N (a+3b)=(认

11、 + N)a + + 3)b ,科九十 »= 1,4九+3以=21 +L= (_1+ 3a +4b a -§b 3a + 4b-JLa +3b).(3斗4b)+_ + 3b) =3. +1LHa+3b) +3a b55 3a + 4b a + 3b3a +4b+ P _Q_ 乙5a +2b =1 ，当且仅“112(3 +3b)3a + 4b时，等号成立,3a + 4ba+3b3a +4b+ -a + 3b的最小值是7.已知正数x, y满足xy -1,则M1的最小值为 ly【解析】M)(计x) + (l + 2y) >4则M >_ 24,令 t=2 + 0x 2

12、yx+2y ,即 y=22xy = x (一一L + L t -1) W 1 恒成立，由 W 0 22得2吃,怪勺2北.M之二一 r= = 2石 22+ x 2 y *2+2+ 2z8.若正数x, y, z满足3x + 4 y+ 5z = 6 ,则 一t 十一的最小值为.2 y" z x + z【解析】 1 4-/L-2_z-= 1 + 6 二-二1+2y 与 x +z 2 rz x +z 2 y+z xa令 2y+z=a,x + z= b,则 2(2y+z)+3(x+z)=3x+4y5z =2a+ 3b= 6，即 +b = l,3 21 b、，a b、 原式=(_+_ )_C+_ )_3I+3+9 之？3 2a b 319 .已知x >0, y>°，且_+_