1990考研数三真题及解析

1、修正版1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题填空题(本题满分15分,每小题3分把答案填在题中横线上)极限 lim( Jn + 3 一 yjn-y/H) =”T»设函数/(Q有连续的导函数，/(O)=OJ"O) = A若函数在x = 0处连续，则常数/1 =曲线y = x-宜线y = x + 2所罔成的平而图形的而枳为.X, +%2 =-«p若线性方程组勺+兀3="2'有解,则常数勺心心宀应满足条件X3+A4 =-«3'円+召=山on-射手对同-目标独立地进行四次射击，若至少命中-次的槪率为肝，则该射手的命中率为二.选择题

2、(本题满分15分,每小题3分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 把所选项前的字母填在后的括号内)仃)设函数/(x) = xuinr严”，则/是(A)偶函数(B)无界函数CC)周期函数(D)单调函数设函数/(Q对任意兀均满足等式/(l + x) = 0(x)，且有广(0)=人其中“0为非零常数,则(A) /(X)在x = l处不可导(B) /G)在x = l处可导，且广山=a(0 /(X)在x = l处可导，且广W = b(D) / 在x = l处可导，且/(!) = «/?向量组e，如a$线性无关的充分条件是(A)aidp均不为零向量(B)中任意两个向量的分量不成比例(0

3、QiSS中任意一个向量均不能由苴余S-1个向量线性表示（D）中有一部分向量线性无关设AB为两随机事件，且uA,则下列式子正确的是(A) P(A + B) = PA)(B) P(AB) = P(A)（0 PBA）= P（B）设随机变量X和Y相互独立,实概率分布为(D) PB-A) = P(B-PA)in-1 1PX=m1 12 2m-1 1py="!1 12 2则下列式子正确的是(A) x=y(B) PX=Y = Q(0 P x = y = i(D) PX=Y = 计算题（本题满分20分,每小题5分）求函数=； + /"在区间匕*，上的最大值.计算二重积分jjxe->d

4、xdy，其中D是曲线y = 4和y = 9,在第一象限所用成的区域.求级数£0;丁的收敛域求微分方程十+ ycosx = （In Q严油“的通解.四、（本题满分9分）某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用X,（万元）及报纸广告费用心（万元）之间的关系有如下经验公式:R = 15 + I4-V| +32也一8久齐一2彳一lOx：（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略：（2）若提供的广告费用为L 5万元，求相应的最优广告策略.五、（本题满分6分）设/（Q在闭区间O,c±连续，戻导数广（Q在开区间（0«）

5、内存在且单调减少:/（0） = 0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f（a+h）f（a） + f（h）.n中常数“、h 满足条件0<a<h<a+b<c.（本题满分8分） 已知线性方程组X| +%2 +3 +斗 +5 =4 3片 +2x, +兀3 + 耳一35 = 0,X, + 2“ + 2口 + 6%5 = h, 5x, +4-x +33 +3只4 -Vj = 2.念b为何值时,方程组有解？方程组有解时，求岀方程组的导出组的一个基础解系; 方程组有解时，求出方程组的全部解.（本题满分5分）已知对于阶方阵A,存在自然数匕使得A'=0,试证明矩阵E-A可逆,并写出

6、英逆 矩阵的表达式（£为”阶单位阵）.八、（本题满分6分）设4是阶矩阵，入和是A的两个不同的特征值，XpX,是分别属于右和的特征 向量试证明X, + 不是A的特征向量.九.（本题满分4分）从0丄2,9十个数字中任意选出三个不同数字，试求下列事件的概率:人=三个数字中不含0和5： 4 = 三个数字中不含0或5.十、（本题满分5分）一电子仪器由两个部件构成，以X和y分别表示两个部件的寿命（单位:千小时），已知X和y的联合分布函数为：1-严-严+严g），若X > 0, y > 0,0,其他（1）问X和y是否独立？（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率a.十一.（本题满分7

7、分）某地抽样调査结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2. 3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.附表00.5 L0 L 52.02.53.0e（x）0.500 0.6920.8410.9330.9770.9940.999表中e（x）是标准正态分布函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一.填空题(本題满分15分,每小题3分)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化，分子分碌同乘以有理化因予£ + 3肩+ &-長.Jn + 3眉 - Jn-亦、_ 1_ （Jfi + 3乔-Jn - 麻

8、） （+ 3乔 + J"_ 亦） lim（） = limn*00nn + 3yfn - « + yfn=lim 厂,2* J”+ 3& + yn-yfn再分子分碌同时除以JF,有原式=limOTW/4丙为Hm£ = O,苴中d为常数，所以原式=二！- = 2* Jn1 + 1(2)【答案】b + a【解析】由于F在“0处连续故A = F(O巴时(X).limF(x)为“2”型的极限未定式，又/(X)在点0处导数存在，所以 D0A = lim心)+ '皿兀=恤广(对+ "曲=方+。DYI【柑关知识点】函数y = /(%)在点x。连续：设函数

9、y = f(x)在点旺的某一邻域内有定义,如果Hm /(x) = /(兀).则称函数/(X)在点如连续.【解析】由于方程组有解r(A) = r(A),对A作初等行变换, 第一行乘以(-1)加到第四行上，有'1I00一®'1100一®0I10“201I0>0011一碼00I1一10015_0-101«|+«4_第二行加到第四行上，再第三行乘以(-1)加到第四行上，有"1I00-4"1 1 000I101 10001I一I1一如_0011吗+ 4 +50+ 偽 + 4 + 4>为使尸(A) = r(A),常数勺

10、.(/"仆应满足条件：q +«2 + “3 +“4 =0.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判宦定理：设A是X «矩阵，线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵A =(A:h)的秩，即是r(A) = r(A)(或者说，b町由A的列向虽同,勺,a”线表出, 亦等同于是等价向量组).设A是WX«矩阵，线性方程组Ax = h,则(1)有唯一解 Of(A) = r(A)=儿(2)有无穷多解Of (A) = rA) < n.(3)无解r(A) + l = r(A). O/?不能由A的列向量心“线表出.【答案】-3【解析】这是一个

11、四重伯努利试验概率模型，设试验的成功率即射手的命中率为则进行 80四次独立的射击，设事件y为“射手命中目标的次数服从参数/i=4,p=的二项分81布，由二项分布的概率公式，事件“四次均不中”的概率为(l-p)它是至少命中一次的对 立事件依题意480I 2(1 n) = 1=>1n = -=>n = 8133本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数，P表示一次射击的命中率，则X B(4.P),依题意pX=Q = -XPX = k = -,17即(1_ “)" = => p =813【柑关知识点】二项分布的概率公式:若则pY = £

12、=c：”(i-p)"r £=o丄”二. 选择题(本题满分15分,每小题3分)【答案】(B)【解析】由于雲严弓“而盹E十,所以,XTUmxtanxyg =+>o,故/(x)无界.x->或考察/(x)在耳=2血+兰(“ = 12)的函数值，有lim/(旺)=1曲兀涪=乜，可见°4«-*»''/(X)是无界函数应选(B以下证明貝他结论均不正确.'兀、<4>51/1=r F<"4,代 i7n 1=-丘I 4丿，知(A)不正确:414丿由 / = >0J - >0,而/(0) =

13、 0,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设岸=,于是 £(x)的定义域为 D = xIxH += 0,±1,±2,-,且gO的全部零点为x°=m,” = 0,±1,±2,'若/(x) = xg(x)以T(T>Q)为周期，则(x+T)gx+T)= xg(x).fxD.令x = 0.有心(T)= 0,即g(T) = O从而T = S 其中R为某一正数于是2R兀也是 xgx)的周期代入即得，对Va sD有(x+2£r)g(x+2A7r) = (;v+2A7r)g(x)=蚣(力)这表明"龙g(x)三

14、0在xD±成立，于是g(x)三0在xeD上成立，导致了矛盾.故 f(x) = xsx)不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则：若 Um f(x) = A, Iimg(x) = B，贝i有 lim f (x)-g(x) = AB.【答案】(D)【解析】通过变量代换t = x+或按泄义由关系式f( + x) = af(x)将/G)在X = 1的可导性与/(%) X = 0的可导性联系起来令f = x+l,则=由复合函数可导性及求导法则，知/(f)在f = l可导且广(f )|冋=吋 g 1)(/-= 0(0) = ab,因此，应选(D).【柑关知识点】复合函数求导法则：如果H

15、 = g(x)在点X可导，而y = /(X)在点“ =&(力可 导则复合函数y = fg(JC)点X可导，且其导数为知或另畔弓【答案】(0【解析】本题考査线性无关的概念与理论，以及充分必要性条件的概念.(B) (D)均是必要条件，并非充分条件也就是说，向疑组eOp,q线性无关，可以推导出(A) (B) (D)选项，但是不能由(D)选项中的任意一个推导出向量组少心24,线性无关.例如：(h0)9(0J)(lJ)显然有(t0) + (0,l)-(lJ) = (0,0),该向量组线性相关但 (A) (B) (D)均成立.根据勺线性相关的充分必要条件是存在某a( = 12“)可以由 a厂Q-d

16、z，,a$线性表出”或由Gs线性无关的充分必要条件是任意个 %0 = 12均不能由a厂0“匕+,勺线性表出”故选(C).【答案】A【解析】由于BuA，所以A + B = A，于是有P(A + 3) = P(A)故本题选A.对于B选项，因为BuA,所以事件S发生,则事件A必然发生，所以PAB) = PB).而不是PAB) = P(A),故B错.对于C选项，因为BuA,由条件概率公式P（B|A）= ¥,当RA是相互独立的事件时,才会有P（B|A）= P（5）：所以C错.对于D选项，因为3uA，所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件，故P(B-A) = O,所以(D)错.【答案】（0【解

17、析】由离散型随机变量概率的定义，有PX=Y = PX=-UY = - + PX=UY = i= Px=_ipy=-i+px = iPy = i= x +x = 2 2 2 2 2故本题选（C） 而（B）、（D）选项是错误的.对于（A）选项，题目中只说了随机变量X和y相互独立，且他们的概率分布相同,但是二 者是不同的事件，并不能说事件X与事件y是同一事件故（A）错.三、计算题（本题满分20分,每小题5分）【解析】在xke-±,厂（x）=故函数/（X）在2”上单虻 一2兀 + 1（X-I）'调增加，最大值为/（，）由(17)2 一 (1-X)-有In/心叮芒护一叫占丿Inz(ft

18、Inf,+ + ln(/_l)-2-nn(e-l)-le L=丄+心e【柑关知识点】1对积分上限的函数的求导公式:若F（f） = J：/（xW a（f）,戸（0均一阶可导，则2.假泄“ =H(x) V = v(x)均具有连续的导函数，则J uvdx = - J livdx 或者 J/6/v = HV-J vcht.(2)【解析】区域D是无界函数，设2 =Dn0<y</? = (x,y)|0<y<h£不难发现，当”T+R时有DbfD,从而Jp-Wv = to JX =忌必 Q 吨I)IKxdxL Ihn rJo44 杭Jolim«*00=limZZ +

19、 1)-=liinnH + )'【解析】因系数绻=(” = 12)，故 tr这样，幕级数的收敛半径/? = - = !.因此当-lvx-3vl,即2VXV4时级数绝对收敛. P当x = 2时，得交错级数：当X = 4lf4得正项级数工一，二者都收敛，于是原级数的收敛域为Z4【柑关知识点】1求收敛半径的方法：如果p = lim««/lU)相邻两项的系数，则这幕级数的收敛半径P+S,0,0 < P < +OO,Q = 0,P = +8.2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数为(-1)”"叫满足: /C >"卄/ = 12；(2)

20、liniH =0.fl+I'则工(-1广收敛，且其和满足0<工(-1严叫<5余项k|<叫 ”人|* 13p级数:工当p>l时收敛，当p<l时发散./I-I H(4)【解析】方法1：所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.-Itosxrft y = e J-sinx=eJlnxtZv + C -e7%lnx-x+C方法2:用函数JP(M-同乘方程两端，构造成全微分方程.方程两端同乘严”，得严V + wgcosx = (y严y=>()严“yint再积分一次得y严"=C + JlnAzZv = C + xlnx-x.报后，再用e&qu

21、ot;”*同乘上式两端即得通解y = c-"""xlnx-_v + C.【柑关知识点】一阶线性非齐次方程y + P(x)y = Q(x)的通解为eZv + c其中C为任意常数.四. (本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本，所以利润函数为牙=15 +14X| + 2X|" 1 Ox；(片 + 兀，)= 15 + 13xj + 31 AS 8X|X-> 2xj" 1 Ox；.由多元函数极值点的必要条件，有a兀» = *|-8x. + 13 = 0, dV"X| =0.75,x-, = L25.=一8比一 20

22、屁 +31=0,丙驻点惟一，且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0. 75万元,报纸广告费用L 25万元可获最大利润(2)若广告费用为1. 5万元，则应当求利润函数(与(1)中解析式相同);r = I5 + 13x,+31%2 -8%,%2 一2斤-iOx；,在x,+x,=3时的条件最大值拉格朗日函数为Lx,x,A) = 15 +13Xj +3Ix, -8x宀 一2彳一lOx； +几3 +%? 15),=+13 + 1 = 0,dr,"A/ = -8Xj-20%,+31 + 2 = 0, dxdL=X| +-1.5 = 0dX => %, = 0,= 1.5.丙驻点惟一，且

23、实际问题必有最大值,故应将广告费1. 5万元全部用于报纸广告，可使利润最 大.【柑关知识点】拉格朗日乘数法：要找函数Z = /(X, y)在附加条件0(圮)=0下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数厶(血 y) = /(X, y) + A(p(x, y其中2为参数求其对天与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与附加条件联立超来:£(x,y) + /?®(x)= O./y(x,y) + /l0y(x,y) = O,yg y) = 0.由这方程组解出矩y及入这样得到的(工y)就是函数/(x,y)在附加条件仇儿y) = 0卜的可能极值点五. (本题满分6分)【解析】方法1:当4 = 0

24、时，/(«+/?) = f(h) = f(a) + /(/?), HP不等式成立:f(a + h)-f(a)-f(b) + f(O)= f(a + h)-f(h)-f(a-f(G)=/G)d-广©)24广(知-广©儿其中0 <§<"<b<§2<u + b又/©)单调减少，故广(§2)Sfe)从而有f(a + h)-f(a)-f(b) + f(0)<0.即/(« + b)</(“) +/(b).方法2:构造辅助函数，将式子移到不等式右边，再将b视为变量兀，得辅助函数

25、 令F(x) = f(x) + f(a)-f(a + xxelO.b,由于/(0) = 0,所以F(0)=0,又因为 r(x) = f(x)-f(a + x),且>0,广(X)在(0")单调减少，所以 Fx) > 0,于是 F(x)在 0"上单调递增，故F(b) > F(0) = 0,即f(a + b)<f(a) + /(/?),其中0<a<b<a+h<c.【柑关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数/(x)满足在闭区间仪0上连续：在开区间(“/)内可导，那么在("“)内至 少有一点§(“<§&

26、lt;/»,使等式 f(b)-f(a) = f()(h-a)成立.六、(本题满分8分)【解析】本题中，方程组有解o(A) = r(A)(相关过理见第一题)第二行乘以、对增广矩阵作初等行变换，第一行乘以(一3)、(一5)分别加到第二、四行上，有"11111a1111a321I-30>0-I-2-2-63a01226b01226h_5433-12_0-1-2-2-62 - 5".(一 1)分別加到第三、四行上，第二行再自乘(一 1),有"11111a12 2 63ah-3a2-2匕->仃)当b-3“ = 0且2-2" = 0,即 = 1

27、上=3时方程组有解. 当a = th = 3时，方程组的同解方程组是X, +大2 +大3 +*4 +大5 = 1，Xj + 2“ + 2 些 + 6%5 = 3,由n-r(A) = 5-2 = 3.即解空间的维数为3取自变量为兀3.心 则导出组的基础解系为7 =(1.-2 丄 0,0f 4 =(1,-2.0 丄 0/仏=(5-6Q0lf （3）令0,得方程组的特解为a = -2,3,0,0,0/ 因此，方程组的所有解是 a + kg + k曲+ £*3，其中k也卡3为任意常数.【柑关知识点】若aa?是对应齐次线性方程组A工=0的基础解系，则Av=/?的通解形式 为匕巾+ §

28、苴中.弘是. = 0的基础解系，§是Ax = h的一个特解.七. （本题满分5分） 【解析】若A. B是川阶矩阵，且AB = E.则必有BA = EF是按可逆的定义知at=B如果对特征值熟悉，由A* = 0可知矩阵A的特征值全是0,从而E-A的特征值全是1,也就能证明£-A町逆.由于/C=0,故(£；-人)(£+4 + 屮+aI) = F-?C =£所以E-A可逆，且（£-4）7 =£+人+屮+屮“A.（本题满分6分）【解析】仮证法）若+ 是A的特征向量，它所对应的特征值为入则由世义有:A(X| + ?2)=几(X + 乂2

29、)由已知又有 A(X, + X) = AX,+AX,=A,X,+Z,X.两式柑减得（几一人）A+（/l人）X2=0.由人式入，知2-入以一人不全为0,于是线性柑关，这与不同特征值的特征向量线 性无关相矛盾所以，X, + X2不是A的特征向量【柑关知识点】矩阵特征值与特征向量的总义：设A是”阶矩阵，若存在数兄及非零的“维 列向量X使得AX = AX成立，则称A是矩阵A的特征值，称非零向量X是矩阵A的特征 向量 九、（本题满分4分）【解析】样本空间含样本点总数为G；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件A的样本点数为C；：十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.有利于事件4的样本点

30、数为2C；-C；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字 除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数，即是事件人被加了两次，所由古典型概率公式p号"沪苍J罟【相关知识点】古典型概率公式：P=有利黑2X篇点数 十.(本题满分5分)【解析】(1)由连续型随机变量边缘分布的;义,且lim e-*" = 0J«为常数)有Awoe1_严迁若x>0,0,若X V 0;1 -严化若yM0, 若 < 0.X和Y的边缘分布函数分別为Fx(X)= Fx, +cc) = lim F(x、y)=> I 00Fy (y) = F(+oo, y) = lim

31、 F(x, y)=t > *00由于对任意实数兀y都满足F(x.y) = F(x)Fy(x).因此X和y相互独立.(2)因为X和y相互独立,所以有a = pX>0l">0l = PX>0lPy>0l= 1-F, (0,1)1-/>(0,1)=严0, 严 05 =严卜一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差，在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关槪率，通过e(x)表ii 算但是正态分布的参数“与b，未知时，则应先根据题设条件求出“与<7-的值，再去ii 算有关事件的概率.设X为考生的外语成绩，依题意有X N(“c2),且“

32、 =72,但b，未知所以可标准y _79化得d_tN(0J)由标准正态分布函数概率的讣算公式，有 <7PX >96 = 1-PX <96 = 1-(96-72=1 一24I b丿I b丿=0.023,(24= 1-0.023 = 0.977.査表可得 兰= 2c = 12,即X N(72J22), <7P60<X<84 = P«X-7212<B = 2 (1)一1 = 06821990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一. 填空题(本题满分15分,每小题3分)(1) 【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分碌同乘以有理化因子Jn

33、 + 3丽+ &-麻. “J"+ 3亦 一 Jn - 亦、(Jn + 3Jn - Jn - Jn) - (Jit + 3Jn +Jii-Jn) lim(-) = limnnJi+ 3 肩 + J"-侖n + 3y/n -n + yfn=lim - 厂,2*+ 3 長 +_ yfn再分子分碌同时除以有原式=UmOTW/4丙为lim孚=0,苴中d为常数，所以原式=二_ = 2 i y/fj1 + 1【答案】b + a【解析】由于F(x)X = 0处连续，故A = F(O) = limF(x)limF(x)为“2”型的极限未定式又/(X)在点0处导数存在，所以 D0A =

34、恤型土沁=恤广(对+处曲"+找x-*orI【柑关知识点】函数y = /(%)在点x。连续：设函数y = /(%)在点心的某一邻域内有定义,【解析】由于方程组有解or(A) = NA),对A作初等行变换,如果lim /(X)= /(%,).则称函数/(X)在点如连续.第一行乘以(-1)加到第四行上，有'1I00如'11000I10么201I0>0011一 600I1_1001«4_0-101«|+«4_第二行加到第四行上，再第三行乘以(-1)加到第四行上，有"II00"1 1 000I10I 10“2001I一11

35、一_001I0纠+ 4 + 佝为使r(A) = r(A),常数®应满足条件：4 +«： +© +“4 =°【柑关知识点】非齐次线性方程组有解的判；定理：设A是X «矩阵，线性方程组Ax = h有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵A =(A:h)的秩，即是r(A) = r(A)(或者说可由A的列向量线表出, 亦等同于与仪|42勺上是等价向量组).设A是WX«矩阵，线性方程组Ax = b.则(4)有唯一解r(A) = r(A) = /.(5)有无穷多解f(A) = r(A) < n.(6)无解z(A) + I = r(A)

36、. O/?不能由A的列向:Sq.aj,线表出.2(5)【答案】-3【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型，设试验的成功率即射手的命中率为"，则进行on四次独立的射击，设事件F为“射手命中目标的次数”，丫服从参数“ =4,卩=晋的二项分布，由二项分布的概率公式，事件“四次均不中”的概率为(l-p)它是至少命中一次的对 立事件依题意8133本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行対击中命中目标的次数，P表示一次射击的命中率，则X 3(4"),依题意PX=0 = l-gPX = = -,17即(1_ “)" = =>P = -013【柑关知识点】二项分布的

37、概率公式:若则 py = k=c：”(i-p)iM=(u”二. 选择题(本题满分15分,每小题3分)【答案】【解析】由于lim X 严"= 0,而lim tan x = +oo,所以,42 Vlimx-UmrwE =*0,故/(x)无界4或考察/在x”=2血+兰(“ =12)的函数值，有lim/(旺)=1曲兀£当=乜，可见4«->»«->»/(X)是无界函数应选(B)以下证明英他结论均不正确.Z <4>=-e I "丿，知(A)不正确:414丿由/ = >0J - >0,而/(0) = 0

38、,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设 g(x) = tanx-e如，于是£(X)的楚义域为D = blxHR;r +彳木=0,±1,±2,卜且巩兀)的全部零点为如=亦申=0,±1,±2,若/a)= xg(x )以T(T>Q)为周期，则(_v+r)g(%+r)=xg(%).VxeP.令x = 0,有心(T) = 0,即g(T) = (K从而T = k;r,苴中为某一正数于是2Qr也是 xg(x)的周期代入I!卩得，对VxeD有x+2k7r)gx+2k7r) = (x+2k7r)gx) = xgx).这表明2«恋(刈三0

39、在xeD上成立，于是g(x)三0在xeP I;成立,导致了矛盾.故f(x) = xgx)不可能是周期函数.【柑关知识点】极限的四则运算法则：若 Hm f(x) = A. Iimg(x) = B，贝i有 lim f(x)-g(x) = AB. Y->P)X-*AbX-*X|)【答案】(D)【解析】通过变量代换t = x+或按定义由关系式f + x) = af(x)将/(X)在x = l的可导性与f(x)x = 0的可导性联系起来.令f = x+l,则/(0 =妙(/一 1).由复合函数可导性及求导法则，知/在f = l可导，且f(f) Z-1)(/一 1)'冋=妙(0) = ah,

40、因此，应选(D).【柑关知识点】复合函数求导法则：如果H = g(x)在点X可导，而> =f(x)在点u = g(x)可 导，则复合函数y = /g(x)在点“可导，且其导数为务畑如或占【答案】(0【解析】本题考査线性无关的概念与理论，以及充分必要性条件的概念.(A) (B) (D)均是必要条件，并非充分条件也就是说，向量组q,如，,a*线性无关，可以推导出(A) (B) (D)选项，但是不能由(A) (B) (D)选项中的任意一个推导出向量组少,勺Gj线性无关.例如：(1,0),(0J),(1J)显然有(t0) + (0J)-(lJ) = (0,0),该向量组线性相关但 (A) (B)

41、 (D)均成立.根据“QiS，心线性相关的充分必要条件是存在某a& = 12“)可以由，勺线性表出或由“4,如,勺线性无关的充分必要条件是任意一个«应=12均不能由a厂QiGm9勺线性表出”故选(C).【答案】A【解析】由于BuA，所以A + B = A，于是有P(& + 3) = P(A)故本题选A.对于B选项，因为BuA,所以事件B发生,则事件A必然发生，所以P(AB) = P(B) 而不是P(AB) = P(A).故B错.对于C选项，因为BuA,由条件概率公式P(B|A)= ¥,当E4是相互独立的事件时才会有P(BA)= PB)i所以C错.对于D选项，

42、因为BuA，所以事件8发生事件A不发生是个不可能事件，故P(6-A) = 0,所以(D)错.【答案】(0【解析】由离散型随机变量概率的定义，有pX=Y = PX=-tY = - + PX=tY = = px=_ipy=-i+px = ipy = i= x +x = 2 2 2 2 2故本题选(C)而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项，题目中只说了随机变量X和Y相互独立，且他们的概率分布相同,但是二 者是不同的事件,并不能说事件X与事件y是同一事件故(A错 三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)T11 YI 、【解析】在xke-±, r(x) = -= >0,故函数/

43、(X)在上单x-2x + (X-I)-调增加，最大值为l(e-).dx -d(l X)由云厂希百亍有In/心(苛TI叫勻Inz(itInf+ 1 7(r-l)r-1.+ + In(02_l)-2-nn(e-l)-l e-l e-I , e + =h Ine【相关知识点】1对积分上限的函数的求导公式:若 F(f) = J：y'(xW a(f), /7(O 均一阶可导，则F=0(f) / 0(/) - 7(f) / a(”2假泄“ =“(x) ljv = v(x)均具有连续的导函数，则J uv'dx = UV - J HWv,或者 = vdlt.(2)【解析】区域D是无界函数，设2

44、=Dn0<yd = g)|0<s£不难发现，当bT+8时有D” T D,从而、b 2£JJ xe dxdy = lim JJ xe' dxdy = Jim £xdxDb=丄 lim (扌 y-£y)QS2f+»=lim f ye- dy t = y" lim f eli 72 方ic Jo -丿1AA I Jo-144J44 ft*»-»J 44【解析】因系数0 =2=12)，故rrlim90=lim/? + !)"=liin /r这样，幕级数的收敛半径/? = - = !.因此当-l

45、vx-3vl“即2VXV4时级数绝对收敛. P当x=2时，得交错级数y(-ir4：当x=4时,得正项级数y二，二者都收敛，于是原级数的收敛感为24 【柑关知识点】1求收敛半径的方法J如果p = hmn««，其中务卫Z是幕级数为耳/'的JlU)0< P < +O0,p0,相邻两项的系数，则这慕级数的收敛半径p = o,P = +O02.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数为(-1)”"叫满足: /C >"卄/ = 12；(2) liniH =0.fl+1 -则工(T严叫收敛，且如和满足0<工(-1严知<5余项W<

46、叫3. p级数：当p>i时收敛；当"<1时发散. n-l n(4)【解析】方法1：所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.-fcosxrftv = e Jr-sinx =eJlnAY/x + C =e7n”xlnx-x + C方法2:用函数加=<?'贬同乘方程两端，构造成全微分方程.方程两端同乘严S得严V + wgcosx = ()严J=>(wgy = ln再积分一次得y严"=C + Jln xdx = C + x In x x 最后，再用e""同乘上式两端即得通解=e-nqxlnx-x + C【柑关知识点】一

47、阶线性非齐次方程y + P(x)y = Q(x)的通解为PE必厶 + (： ,其中C为任意常数.四. (本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本，所以利润函数为TT = 15 + 14X| + 32才，&1屁2X|" lOx； （Xj + 总）= 15 + 13X| + 3 8X|X-> 2xj" lOx；由多元函数极值点的必要条件，有=一4片-8X2 + 13 = 0, dXy"=075,花=125=一8比 一 20%2 + 31 = 0,因驻点惟一，且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0. 75万元,报纸广告费用1. 25万 元可获

48、最大利润.(2) 若广告费用为1.5万元，则应当求利润函数(与(1)中解析式相同);r = I5 + 13x,+31%2 -8大宀 一2彳-iOx；,在大|+电=1.5时的条件最大值拉格朗日函数为厶(心心几)= 15 + 13%, +31%2一 2斤一lOx； +yl(X +%2 -15),dL=一4斗一8勺+13 +兄=0,dv,"6L=-8%j - 20%2 +31 + 2 = 0,=> X, = 0, %2 = 15因驻点惟一，且实际问题必有最大值,故应将广告费1. 5万元全部用于报纸广告，可使利润最 大.【柑关知识点】拉格朗日乘数法：要找函数Z = /(%, y)在附加

49、条件0(x)= O卜的可能极值点，可以先作拉格朗日函数厶(X, y) = fx, y + Ax, y).英中2为参数求英对兀与y的一阶偏导数，并便之为零，然后与附加条件联立起来:y) + 2®(x) = 0. 人(兀y) +久约(儿y) = 0, 0(x)= O由这方程组解出矩y及兄，这样得到的(X)就是函数/(兀,)在附加条件俠矩刃=0卜的 可能极值点五. (本题满分6分)【解析】方法1:当4 = 0时，f(a+b) = f(h) = f(a) + f(h), HP不等式成立:f(a + b)-f(a)-f(b) + f()= l/(« + /)-/Wl-/(«

50、)-/(0)=广©)4-广(§*=“广©)-广点几其中0 <§<a<b<§2<a + b又广(X)单调减少，故广(§2)Sf©)从而有/("+ 仍一/(“)一/(”)+ /(0)<0,即 “+)</(“)+ /方法2:构造辅助函数，将式子移到不等式右边，再将b视为变量小得辅助函数 令 F(x) = /(x) + /(«)-/(n + xXxe0,Z>.由于/(0)=0,所以F(0)=0,又因为F(x) = /Xv)-广(G + X),且>0,广(戈)在

51、(0")单调减少，所以Fx) > 0,于是F(x)在（O,Z>1上单调递增，故F（b） > F（0） = 0,即fa + b< f (a) + f(b),其中 0 <a<h<a+b<c.【柑关知识点】拉格朗日中值泄理:如果函数/（X）满足在闭区间4,切上连续：在开区间（4）内可导，那么在（“”）内至 少有一点 <§</?),使等式 f(b) - f(a)=广(g)(b - a)成立 六、（本题满分8分）【解析】本题中，方程组有解u>r（A） = HA）（相关定理见第一题）第二行乘以1、对增广矩阵作初等行变换，第一行乘以（一3）、（一5）分别加到第二、四行上，有"11111a'11111a3211-30>0-1-2-2-6一3«01226h01226h_5433-12_0-1-2-2-62-5a_（一 1）分别加到第三、四行上，第二行再自乘（一1）,有'1111 Ia12 2 63ah-3a2-