B知识讲解曲线与方程最新修正版

1、最新修正版曲线与方程编稿：张希勇【学习目标】1了解曲线与方程的对应关系;2.进一步体会数形结合的基本思想;3.掌握求曲线方程的基本方法f直接法)，了解求曲线方程的其他方法f待定系数法、定义法、转化 法、参数法等)【学习策略】借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义;理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件(或其坐标满足的x f或y)的取值范围.条件)转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量【要点梳理】要点一、曲线与方程概念的理解般地，在直角坐标系中，如果某曲线C f看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)= 0的实数解建立

2、了如下的关系:(1)曲线C上所有点的坐标都是方程Kx, y) 0的解;(2)以方程f(x,y) =0的解为坐标的点都在曲线 C 上.那么，方程f(x, y) = 0叫做曲线C的方程；曲线 C叫做方程f(x,y) = 0的曲线.要点诠释:f (X, y) = 0正是这一定条件的解析表示(1 )如果曲线C的方程为f(x,y)= 0,那么点P(xo,yo)在曲线C上的充要条件为f(xo, y。)= 0 ；(2)曲线C可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而因此我们可以用集合的符号表示曲线C : C =( X, y)| f(X, y) = 0.(3)曲线C也称为满足条件 f(x,y) = 0的点的轨迹

3、.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程f(X, y) = 0的解的点不在曲线 C 上;条件叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上 .纯粹性”和 完备性”是针对曲线C是否为满足方程 f(x,y) = 0的点的轨迹而言(4 )区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是形”轨迹方程是 数”要点二、坐标法与解析几何2.通过方程，研究平面曲线解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程;的性质.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的

4、性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化,这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法定义:在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 f(x, y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质这就是坐标法.要点三、用直接法求曲线方程的步骤坐标法求曲线方程的一般步骤:建立适当的直角坐标系，并设动点P (x,y).写出动点P满足的几何条件. 把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=O. 化方程F(x, y)=

5、O为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。证明方程F(x, y)=O是曲线的方程。 判断点是否在曲线上的方法把点的坐标代入曲线的方程:点 P(xo,yo)在曲线 C： f(x，y)=0 上二 f(Xo,yo)=O点 P(Xo,yo)不在曲线 C： f(x，y)=O 上u f(xo, yO)HO .求两曲线f (x, y) =0与g ( x, y) =0的交点坐标方法联立f (x, y) =O与g (x, y) =O,方程组f(X,y)=O的解即为两曲线的交点坐标，解的个数为交.g(x,y) =o点的个数要点诠释:求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标

6、系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题, 分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点 M有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解要点四、求轨迹方程的常用方法:又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一, 的方法主要有以下几种(1)直接法;间接法;(3)参数法.经典例题透

7、析类型一：曲线与方程的概念例1.已知坐标满足方程 (x,y)= 0的点都在曲线C上,那么(A)曲线C上点的坐标都满足方程f(x, y)0(B)(C)不在曲线C上的点，其坐标必不满足方程f(x,y)=0坐标不满足方程f (X, y) = 0的点都不在曲线 C上不在曲线C上的点，其坐标有些满足方程Kx,y) 0，有些不满足方程Kx, y) 0.【解析1由曲线与方程的定义，f A)、(B)不一定正确，(C)命题是原命题的逆否命题，它们是等价 命题，故选f C).【总结升华】在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可，是不可分割的整体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象所迷惑，应根据曲线的方

8、程”与方程的曲线”的概念逐一辨别其选项的真假.举一反三:【高清课堂：曲线与方程 例11【变式11下列命题正确的是f )A.到X轴距离为5的点的轨迹方程是 X = 5B.方程釘1表示的曲线是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线C.方程D.曲线2 2(X y) + (xy-1) =0表示的曲线是一条直线和一条双曲线2x2 3y2 2x + m =0过原点的充要条件是 m = 0【答案1【变式21( 2016春 成都校级期中)方程X2xy+2y+1=0表示的曲线经过 4个A( 1, 2) , B( 2,3), C(3, 10), D(0,2)中的()B . 2个C. 3个 D . 4个(1， 2)，

9、代入方程 x2xy+2y+1=0 ,1+2 4+1=0 ,满足方程，所以点 A在曲线上。23),代入方程 x xy+2y+1=0 , 4+6 6+1 M 0，不满足方程，所以点210),代入方程 x xy+2y+1=0 ,9 30+20+1=0，满足方程，所以点1 2A.【答案】可得：B (2,可得：C (3,可得：B不在曲线上。C在曲线上。D(0)代入方程 x xy+2y+1=0 ,可得：0 0 1+1=0 ,满足方程，所以点故选CoD在曲线上。2 2例2.已知方程(x-a) +(y-b) =36的曲线经过点 0 (0, 0)和点A(0, 12),求 a、b 的值.【思路点拨】若点在曲线上，

10、则点的坐标满足曲线的方程2 2【解析】点0、A都在方程(x-a) +(yb) =36表示的曲线上,点0、A的坐标都是方程(x-a)2 +(y-b)2=36的解.鷹:豐b)，解得仁06即a=0, b= 6为所求.【总结升华】方程与曲线的问题也就是解与点的关系，判断点是否在曲线上,只需将点的坐标代入方程，等号成立即在曲线上，否则就不在.举一反三:【变式1】曲线2X + 2xy-by =0上有点 Q(1,2)，贝U b =【答案】52【变式2】已知0 <a v2兀，点 P(cosa,sin a)在曲线(x 2)2 + y2=3上，则a的值为()兀A .3【答案】兀 、JID .或一36例3.求

11、证：圆心为P(a,b)、半径等于r的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2 = r2.【解析】(1 )设M(Xo,yo)是圆上任意一点，则点M到圆心的距离等于 r,即 J化a)2 +卜0 -b)2 =r，也就是(X0 a)2 +(y0 b)2 = r2,2 2 2因此(X0,y0)是方程(x-a) +(y-b) =r的解.QOOQQQ(2 )设(x0,y0)是方程(x-a) +(y-b) =r 的解，则有(xoa) +(yob) =r ,两边开方取算术平方根，得J(x0 -a)2 +(y0 b)2 = r ,于是点M(X0,y0)到点(a, b)的距离等于r,点(Xo, yo)是这个圆上的点.由

12、(1)( 2)可知(x-a)2 +(y -b)2=r2是圆心为P(a, b)，半径为r的圆的方程.【总结升华】证明方程的曲线或曲线的方程需证明纯粹性和完备性两方面：曲线上的点的坐标都是 方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上举一反三:【变式11证明圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点Mi(3,-4), M2(-2j5,2)是否在这个圆上.【解析】(1)设M(x o，yo)是圆上任意一点,因为点M到原点的距离为5,所以 Jxo + yo =5，即 Xo + yo = 25 ,2 2所以(xo，yo)是方程X +y =25的解.(2)设(Xo, yo)是方程 x2+

13、y2=25 的解，那么 Xo + yo = 25,所以找 =5，也就是说，点 M到原点的距离为5,所以点M在这个圆上.2 2由(1) ( 2)知，X +y =25是圆心在坐标原点，半径为 5的圆的方程.把Mi(3, -4)代入x2+y2=25,等号成立，所以点 Mi在圆上，把M2(-2>/5,2)代入x2+y2=25，等号不成立，所以点M2不在圆上.【变式21设A (2, o)、B (o, 2),能否说线段 AB的方程是x+y 2=o?为什么？【答案1不能.以 A (2, o)、B (o, 2)为端点的线段 AB上的点的坐标都是方程 x+y 2=o的解，但以方程x+y 2=o的解为坐标的

14、点并不都在线段AB上，而是直线 AB.类型二：坐标法求曲线的方程【高清课堂：曲线与方程例21I PA I 1例4.已知点A与B为平面内两定点，若平面内动点P到点A与B的距离之比 >，求动点P| PB |2的轨迹.【思路点拨】求动点P的轨迹方程，即是求P点的横、纵坐标所满足的关系式， 因此应先建系设点 P( x,y).【解析】以线段 AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图设 |AB| = 2,则 A(_1,0),B(1,0)，设 P(x,y)则由=1得| PB| 2J(x+1)2 +y2 1 乔产7电化简整理得(x+m+y2-!639所以动点P的轨迹是圆【总结升

15、华】(1)求曲线的方程一般有下面几个步骤建立适当的直角坐标系，并设动点P (x,y).写出动点P满足的几何条件.把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0. 化方程F(x, y)=0为最简形式. 证明方程F(x, y)=0是曲线的方程.(2 )求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单(3 )根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点 M有关的相等关系，结合基本公式列出等式， 并进行化

16、简.(4)证明可以省略不写.举一反三:【变式1】设A、B两点的坐标分别是(1，0)、(一 1 , 0)，若kMA 'kMB = 1，求动点M的轨迹方程.【答案】方程x? + y2 =1(X H ±1)是点M的轨迹方程.【变式2】若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.【答案】取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P=M|MR|=|MQ|,其中Q、R分别是点M到X轴、y轴的垂线的垂足.因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值,所以条件|MR|=|MQ|可写成|X|=|y|，即X

17、77;y=0.下面证明是所求轨迹的方程.(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解;(2)设点Mi的坐标(Xi,yi)是方程的解，那么 X1 ±% = 0,即1 Xi冃yi I，而|xi |、I yi |正是点Mi到纵轴、横轴的距离,因此点Mi到这两条直线的距离相等，点Mi是曲线上的点.由(1)( 2)可知，方程是所求轨迹的方程，图形如上图所示 【变式3】(2015 满足 OAOB=0,南阳校级三模改编)AOM ."AB =0，则动点和B是曲线y2=8x上除原点以外的两个动点，0是坐标原点且M的轨迹方程为(2 2A . X +y 8x=0B. y=6x22 _C

18、. X +4y =1D.【答案】【解析】设 P (Xi, yi),Q (X2, y2),M (X, y),Xi X2+yi y2=0 ，y yi -y2iX X - X2=1,l垂直于X轴时，M ( 8, 0),l斜率存在时，由题意可知斜率 k不会为设Iab ： y =kx +b，代入曲线方程可得k2X2 2+(2kb 8)x+b =0, Xi+X2 二詈Xi8byi r Xi X2+yi y2=0,y kX 又点 由得：(X 4)2+y2=I6 , 而M (4, 0)满足上式，=-i ,M 满足 y=kX+b,点M的轨迹方程为：（X 4）2+y2=16。 即 X2+y 2 8x=0 ,故选：

19、A。【变式4】设两定点F1（-4,0）, F2（4,0），求到F1和F2的距离的平方和是 50的动点轨迹方程.【答案】x2+y2=9.类型三：由方程画曲线例5. （2015春玉溪校极期末）方程 （x + y -lMx2+y2-4=0所表示的曲线是（C-A,C .【答案】 D【思路点拨】原方程等价于:lx + y-0，或x2+y2=4 ；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断jX +y >4出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分。【解析】IX + y -1 =02 2L2<22 ，或x2+y2=4 ；其中当x+y 1=0需Jx2 + y2 4有意义，等式才成立， x+y >4即x2+y2>4,此时它表示直线 X y 1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节。故选D。【总结升华】已知方程研究曲线，首先要对所给的方程进行同解变形，化为我们所熟悉的方程，进一步研究曲线的特点和性质，进而作出图形.举一反三：原方程等价于:【变式1】画出方程logj X+log1_y X =2log勺刊X Tog1_y X