51基础_空间向量的坐标运算(理)126最新修正版

1、最新修正版空间向量的直角坐标运算编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2. 掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。3. 能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.【要点梳理】 要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc .如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 a、b、c生成的，所以我们把a、b、c称为空间 b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.2 .基底、基向量概念： 由空间向量的基本定理

2、知，若三个向量a、b、ca、p|p=xa+yb+zc , x、y、z R，这个集合可看做是由向量 的一个基底.要点诠释：(1) 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；(2) 由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面, 就隐含着它们都不是 0;(3) 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.要点二、空间向量的坐标表示(1) 单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用ibk表示;(2 )空间直角坐标系在空间选定一点 O和一个单位正交基底i, j,k，以点O

3、为原点，分别以i, j,k的方向为正方向建立0 - xyz，点0叫原三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系4 4 4点，向量i, j, k都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面;(3)空间直角坐标系中的坐标 给定一个空间直角坐标系和向量a,其坐标向量为i, j, k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组(a1, a2,a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作 a= (a1, a2, a3).在空间直角坐标系 Oxyz中，对于空间任一点 A,对应一个向量 0A，若OA=xi +yj +zk，则有

4、序数组(X, y, Z)叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A (X, y, z),其中x叫做点A的横坐标，y叫写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒.点A的纵坐标，Z叫点A的竖坐标.要点诠释：(1) 空间任一点P的坐标的确定. 过P作面xOy的垂线，垂足为垂线，垂足分别为 A、C,则x=|P /p/,C|,(2) 空间相等向量的坐标是唯一的；另外,在面xOy中，过P/分别作X轴、y轴的 y=|AP / |, z=|PP / | .如图.零向量记作0= (0,0,0)。要点三、空间向量的坐标运算(1)空间两点的距离公式若 A(Xi,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2)，则 AB=oB

5、0A = (X2,y2,Z2) (Xi,yi,Zi) =(X2 -Xi,y2 yi,Z2 Zi)即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。|AB|=7a?=/x2-Xi)2 + (y2-yi)2 +(z2-zi)2 ,或 dA,BAB的坐标表示，然后=J(X2 Xi)2 +(y2 yi)2 +(Z2 Zi)2 要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 再用模长公式推出。(2)向量加减法、数乘的坐标运算若 a=(Xi,yi,Zi), b=(X2,y2,Z2)，则 a+b=(xi+x2, yi+y2,Zi +z2); ab =

6、(xi X2,yi -y2,乙Z2); ka =(AXi,Ayi,AZi)(A壬 R)；(3 )向量数量积的坐标运算右 a =(Xi, yi,zi), b = (x,y2,Z2)，则a b =XiX2 +yiy2 +ziZ2;即:空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 (4 )空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式卄呻片若 a=(ai,a2,a3), b=(b,b2,b3)，贝U|a= Jaj +&22+&32 , |b|= cos<a>=l|3| |b| "肩2 +a22+ a32(0,0).Jd +b2 +b3要点诠释:(1)夹角公式可以根

7、据数量积的定义推出:a b =| a |b| cos c a b >= cos c aIa ba 卜,其中0的范围是0,兀|a| |b|<AC,BDAC,DB >=兀 一9=< CA, BD >=兀一日=<CA, DB >=日.用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与(5)空间向量平行和垂直的条件卄呻"+右 a =(X1,y1Z), b =(X2,y2,Z2),则0的关系(相等，互余，互补)。 a/b=a Ab 二 X = AX2,y1 =二丫2,Z1=Zz2(A R)uxX2y1乙=(x2 y2Z20)y2Z2片4 ab=0u X

8、1X2+y1y2+z1Z2 =0I规定：0与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直【典型例题】类型一、空间向量的坐标表示例1 .已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A、B、DC、DC1、DD1、DA1、DB1 及 DD 的坐C、D、Ai、Bi、Ci、Di各点的坐标，并写出 DA、DB、【思路点拨】一个向量的坐标等于表示这个向量的终点坐标减去起点坐标。【解析】A (1 , 0, 0), B(1, 1 , 0), C( 0,1 ,0),D (0 ,0 , 0),A1 (1, 0 , 1),B1 (1 , 1, 1),C1( 0 ,1,1

9、), D1(0 , 0 ,1 )。DA =(1,0,0), DB =(1,1,0) , DC =(0,1,0) , DG =(0,1,1),DDi=(0,0,1) , DA =(1,0,1), DB (1,1,1), DD = 0= (0,0,0)。【总结升华】要求空间某一点 M的坐标，只要求出以原点 0为起点、M为终点的向量 OM的坐标即可.设i, j, k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向模相同的单位坐标向量.举一反三：【变式1】已知 示的空间直角坐标系,E【答案】 C ( 0, 2 , 0), D (0 , 0, 0)且F为DC的中点， 二 F (0, 1, 0)o又 B (2, 2 ,

10、0) , Bi (2, 2 , 2),且 E 为 BBi 的中点， E ( 2 , 2 , 1)o【变式2】(2015春三峡区校级期中) 如图所示，在空间直角坐标系中BC=2,原点0是BC的中点，点A的坐标是(2J3 17-,0),点 D 在平面 yOz 上,且/ BDC=90°2DCB=30°，则向量 AD的坐标为(A.(一 2B.芈将)DSAJC.D.2)ABCDAiBiCiDi是棱长为2的正方体，E、F分别为BBi和DC的中点，建立如图所 试写出图中E、F点的坐标。【答案】【解析】因为在空间直角坐标系中BC=2,原点0是BC的中点，点A的坐标是75 1(-丁)，点D在

11、平面yOz上，且/ BDC=90°,/ DCB=30°, B0=1,1 Jq 所以 BD=1,/ DBC=60°, D 在平面 yOz上坐标(一，、)2 21 75所以D的坐标为：(0, -一，2 2 AD十，1出,2 2故选：Bo类型二：空间向量的直角坐标运算【高清课堂：已知空间向量的坐标运算4a =(1,1,0),399iii例题1】4-4 4 44b=(0,1,1), c=(1,0,1), p =a-b ,+q =a +2b -c，求【思路点拨】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积 等于它们对应坐标乘积的和。【解析】P

12、 =a-b =(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1)q =3+2b-2 =(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1) = (0,3,1)P q =(1,0,1) (0,3,1) =1 咒0+ 0咒3 +(-1)x1 = -1【总结升华】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积 等于它们对应坐标乘积的和。举一反三：【变式】A.( 0，已知a =1 , 2)(1, 0,1), b= (1,B. (4, 5, 5)2，2)，c = (2, 3，1,那么向量 a-b + 2c等于()C. (4，8， -3) D. ( 2， 5, 4)【答案】4例 3

13、 已知 a =(1,2,2)，b =(1,0,1)44(1 )求 |a|,|b| ；(2 )求(3 )若【解析】(1)64|a|=求 <a,b>.=Ji2 +22 + 22 =3,ibi"2 +o2 + 乎=724b=x1X2+y1y2+ziZ2 =11+20 + 2><1=3Ib_3|a|b| 3 忑 0 < 匕,b<兀，a,b= 4【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用.举一反三：【变式1】已知向量a = ( 4, 2 , 4), b = (6 , 3, 2),求:(1)(2 a +3 b) ( a 2 b)。(2) | a |,

14、| b |;(3)【答案】(1) a b =4X 6+( 2) X ( 3)+( 4) X 2=22(2) |a | = Ja2 = J42+(-2)2+(7)2 =6 ；| b戶 Tb2 =祚2 +(-3)2 +22 =7 ；(3) (2 a+ 3b) (a- 2 b) =2a2 +3a b-4a b- 6 b2 = 2 62 -22 -6 72 = -244。【变式2】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，B1E D1F1 =A1B14ArF7-C,求BEi与DFi所成的角的余弦值.【答案】不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，且设DA = i, DC = j, DD1 = k.

15、以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D xyz，则点B、E1、D、F1的坐标分别为3 1B(1,1,0)，E1(1, ,1), D(0,0,0) , F1(0, ,1)4 4-31-BE1 = (1, ,1) (1,1,0) = (0, ,1),4411DF1 = (0,1) (0,0,0) = (0, ,1).44|df7卜乎4BE1 DF11516二 cos< BE1 , DF1BE1 DF1= . -| BE1 | ! DF1 |15仃例4 .已知空间三点(2, 0, 2), B ( 1 , 1,2), C ( 3, 0, 4)。设 a - AB, b=7C4 4(I)求 &l

16、t;a,b>(n)若向量ka +b与ka -2b互相垂直，求k的值。【思路点拨】 (I)利用数量积定义求cosa,b，再求a,b ；(n)先求出k+b与k2b坐标表示，利用数量积为0求k【解析】呻 rTT呻 TrT(I) a=AB=OB-OA =(11 ,0) , b = AC =OC-OA = (-1,0,2)(1,1,0) (1,0,2) ab 議|a|b| 訥2 +2 +02 'J(-1)2 +02 +22”-cos 吒a,b 二一_1(-1)+1.o+o.2 _ 一一 "10< Ibrrccos(-五)"-arccos血10 104 H-t 4(

17、n) ka + b=(k1,k,2) , ka2b=(k +2,k,4),(ka +b)丄(ka -2b)= (ka+b) (ka-2b) = 0 =(k -1)(k +2) +k、k + 2(_4) =05.=k =或 k = 22【总结升华】若 a= (a1,bi,c1) , b= (a2,b2, c2)，那么：a 丄 b= a1a<Hbib2 +CiC = 0 o举一反三:【变式1】已知向量a =(1,1,0), b=(1,0,2)且 kl+b 与 2a-b 互相垂直，则 k 值是()1A. 1B.-5【答案】DD. 75ka +b = k(1,1,0)+(1,0,2)= (k-1

18、,k,2),2a-b= 2(1,1,0)-(-1,0,2)= (3,2, 2) o. 两向量垂直，3(k1)+2k2x2=0 ,. k=7 o【高清课堂:5 空间向量的坐标运算399111例题3】【变式2】已知 3=(2, 2,0) , b = (2,0, 2)，求一个向量4设 n =(xr-44、禹！n丄a y,z)，由 Jrn丄b-2x2y =-2x+ 2z= 00,令 x=1 得 n = (1,1,1).(2,1 , 6) C (1 , 1, 5) o3), B【变式3】已知空间三点 A( 0，2，(1)求以 忌AC 为边的平行四边形的面积;(2)若Ia |= J3，且a分别与AB ，

19、AC垂直，求向量a的坐标。【答案】(1)由题中条件，可知 AB=(2,1,3) , AC=(1,3,2), cosAB,AC人星佥=青学丄o| AB| AC | 如 xJ14142 si nAB,AC= o2以Ab , AC为边的平行四边形面积SAB I | AC I sinAB,7C 仆丰= 73 o(2)设a = (x, y,z)，由题意得X2 +y2 + z2 = 32x y + 3z = 0 ,X-3y +2z = 0x=1解得.y =1或“1/. a =类型三、* y = -1。z = -11 )或 a =(1,1,1 )。例5.(1, 1,空间向量的共线与共面TTT已知 OA=(2

20、,4,1),OB =(3,7,5),OC =(4,10,9)，求证：A、B、C三点共线.【解析】法-： AB=(1,3,4),AC =(2,6,8),则 ABJ7C, AB| AC，又 aB>AC 有公共点 A 2 A、B、C三点共线.T T T法二：OA =xOB +yOC (x,y C R),则：(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)"3x+4y=2.丨 2x + 5y=-1l4y=-4丨 x = 2<7x+10y =4= « y 二 L =42x+y=3 2x-1=3 y =-15x+9y=

21、1JJIT T T- OA =20B -OC 且 x+y=1, A、B、C三点共线.【总结升华】在空间直角坐标系下，两向量的共线,举一反三：【变式】可利用向量的共线定理，通过列方程求解若 a= (2x，AX=1 ，y=11, 3), b= (1 , 2y, c 11B.x= , y=229)，如果a与b为共线向量，则C 13C.x=- , y=62【答案】 a= (2x,1，3 )与 b=( 1, 2y, 9)2x 1共线，故有仝13-2y 933应选C.21x= - , y=6斗耳F叫例 6.已知 a=(123),b =(2,1,0),c=(0,5,6)，证明：向量 a【思路点拨】要证三向量 a b C共面，即证存在x,y C R,使得c = xa + yb .Ib c共面。I解析】假设存在x,y C R使得C鳥+ yb.444则 c =xa +yb =(x, 2x,3x) + ( 2y, -y, 0) = ( x + 2y, 2x y,3x )又 C =( 0,5,6 )x+2y =0 得 bx -y =5 =3x =6存在 x=2, y=-1,I H 4 使得 c = xa + yb .4 4二向量a、D C共面。【总结升华】在向量坐标运算中，要注意方程思想的应