因式分解的应用——初中数学竞赛讲义教学提纲

1、因式分解的应用初中数学竞赛讲义精品文档因式分解的应用一、利用因式分解判断整除性例 1 2n1 和 2n+1 表示两个连续的奇数 (n 是整数 )，证明这两个连续奇数的平方差能被 8 整除证明 (2n1) 2 (2n1) 2 =(2n12n 1)(2n 1 2n1)=4n·2=8n 这两个连续奇数的平方差能被8 整除例 2 x 3 +y 3 +z 3 3xyz 能被 (x+y+z) 整除证明 因式分解，得原式即(x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 xyyzzx)， x3+y3+z3 3xyz 能被 (x+y+z) 整除例 3 设 4xy 为 3 的倍数，求证： 4x 2 +7xy

2、2y 2 能被 9 整除证明 4x 2 +7xy2y 2=(4x y)(x+2y)，又 x+2y=4x y3x+3y=(4x y)3(xy)原式 (4xy) (4x y)3(xy) (4xy) 2 3(4x y)(x y)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档4x y 为 3 的倍数 4x 2 +7xy 2y 2 能被 9 整除例 4 设实数 a<b<c<d，如果 x=(ab)(cd)，y=(ac)(bd)，z=(ad)(bc，那么 x 、y、 z 的大小关系为 ()A. x<y<zB. y<z<xC. z<x<yD. 不能确定解：

3、a<b<c<d， xy=(a b)(cd)(a c)(bd)=acbdab cd=(ad)(cb)<0，即； x<y。同理 yz=(ab)(d c)<0，即 y<z。 x<y<z，选 A 。说明：因式分解能使x y 和 yx 两个差式显示出正负性质，达到可比较的目的。二、 因式分解解计算题例 5计算下列各题：(1)23×3.145.9×31.4180×0.314(2)解： (1)适当变形之后，提取公因式：原式 23×3.1459×3.1418×3.14收集于网络，如有侵权请联系管理

4、员删除精品文档 3.14×(235918)=3.14×100=314(2)原式说明：上述这些计算，巧妙应用了因式分解，使运算过程显得灵活、简捷。例 6 积的整数部分为 ()A.1B.2C.3D.4分析：这道题，要求 99 个括号里的数值的乘积，当然不能用常规方法去实乘。观察其特点：每个分母是相邻奇数或偶数的积，记为n(n 2)；每个括号的分子相加又都是n(n 2)1=(n1)2，于是，设所求式子之积为S，则有1<S<2，应选 A 。说明：这时用了因式分解，使隐含的数量关系明显化。三、利用因式分解化简求值收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例7已知 acb

5、d=0，则 ab(c2d2)cd(a2b2)的值等于_。解：原式 =(abc2 a2cd) (abd2 b2cd)=ac(bcad)bd(adbc)=(adbc)(ac bd)=(adbc)×0=0说明：利用因式分解，先化简代数式，上述的求值题变得十容易了。例 8 已知 ab=3, ac=3 26 , 求(cb)(ab) 2 +(ac)(a b)+(a c) 2 的值分析：所求的代数式中含有cb，可以通过已知的ab=3 与 ac= 3 26 来推得c b解：由已知得 cb=3 3 26所以 原式=（3 3 26 ）323 263(3 26)2 = 32 (3 26)3=2726=1四

6、、利用因式分解解方程例 9 解方程（ x24x)22(x24x)15=0解：将原方程左边分解因式，可得x24x 3)(x2 4x5)=0收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(x1)(x3)(x 1)(x5)=0由此得 x+10 或 x 3=0，或 x 1=0，或 x 5=0原方程的解是 x1=1，x2=3，x3=1，x4=5例 10 求方程 4x24xy3y2=5 的整数解。解：原方程或化为 (2x3y)(2x y)=5因为 x、 y 是整数，故 2x3y 和 2x y 必是整数。又 5=5×1=(5)×(1)，因此原方程可化为四个方程组：解这四个方程组，便可得原方

7、程的四组解为：说明：因式分解的运用，使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。五、利用因式分解化简例 11化简31(111.1 333.3000.0)3分析 1111=103n1933330000=3×(11110000)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档=3×(1111 1111)=3×(10 2n1 10n1)99解： 1(111.1333.3000.0)3=1103n13102 n1310 n13(999)=11(103n310 2n3 10 n1)39= 1(10n1) 327 原式=31(10n1) 327= 1(10 n1)=333 33六、利用

8、因式分解证明等式（不等式）例 12 已知三角形的三边a、b、c 满足等式 a3b3c33abc ，证明这个三角形是等边三角形分析 要证明以 a、 b、 c 为边的三角形是等边三角形，只要能证明a=b=c 即可，题中给出了关于a、b、c 的关系式 a3b3c33abc ，利用因式分解将它变形，在利用非负数的性质即可。解：已知 a 3b3c 33abc即 (a+b+c)( a 2b 2c 2 ab bcca)=0a+b+c0 a 2b2c 2 abbcca=0收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档( a 22abb 2 )+( b22bcc2 )+( c 22aca 2 )=0 ( ab)

9、2 = (bc) 2 = (ca) 2 =0a=b=c这个三角形是等边三角形例 13 设 a、b、c 为 ABC 的三边，求证 a 2b 2c 22bc <0证明： a2b 2c 22bc = a 2(b 2c22bc)= a 2(b c) 2=(a+b+c)(abc)a、 b、 c 为 ABC 的三边a+b+c>0ab c<0 (a+b+c)(abc)<0 a 2b2c 22bc <0七、利用因式分解证明几何问题例 14 已知： a、 b 为两圆的半径， c 为两圆的圆心距，若方程 x2- 2ax+b2-(b- a)c=0 有相等的实数根，求证：两圆相等或外切证

10、明 对于方程x 2 - 2ax+b 2 - (b- a)c=0，有 =4a 2 - 4b 2 +4(b - a)c=0，即 (a- b)(a+b- c)=0，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档a=b 或 c=a+b 所以两圆相等或外切例 15 在 ABC 中， BAC=90 °， AC AB ，AD 是高， M 是 BC 的中点，求证：AD 2=BM 2-DM 2BDM证明 BM 2-DM 2=(BM+DM)(BM- DM)AC=(CM+DM)(BM- DM)=CD · DB=AD 2 ， AD 2=BM 2-DM 2注：若用CM 替代 BM ，则：CD=CM+D

11、M ，DB=BM - DM练习题1求证： 14 6 +1 能被 197 整除2如果 xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1975 ，试求自然数 x、 y、 z3在 ABC 中，三边 a、b、c 满足 a 3 +b 3 +c 3 3abc=0，试判定三角形的形状4m 为何值时，方程 2x 2 xy6y 2 +mx+17y 12=0 的图象是两条直线？5求 x 2 y 2 =1979 的整数解6设 p 是质数，且 p 2，求方程收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2 1 1 的正整数解（ xy） p x y7计算199619971998199918计算 9999×9999199

12、99已知 x 2xy2 y 2 =7，求整数 x、y 的值10求出方程 x2 y 2x3y 3xy49 的全部正整数解11已知 x 2x 10 ，求 x8x41的值12证明 45455454 是合数13如题图， M 为线段 CB 的中点，D 为 MC 上异于 M 的一点，过点 D 作直线 l BC， A 为 l 上任意一点，（ 1）求证 AB>AC, （2）若 BC=83.25，MD=12 , 求 AB 2AC 2C14如题图，在 ABC 中， ABC> ACB,AD BC 于 D，P 是 AD 上任一点，求证： AC+BP<AB+PCBlABDMAPCD答案或提示收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1.证明原式 =(14 2 ) 3 +1=196 3 +1=197(196 2 - 196+1) 能被 197 整除2. (x ， y， z)为 (7 ，12， 18)； (7， 18， 12)； (12， 7， 18)； (12，18， 7)， (18， 7， 12)， (18， 12，7)共 6 组解3. ABC 为等边三角形4.m2或 m5 时， 方程 2x 2 xy 6y 2 +mx+17y12=0 的图象是两条直6线5. x=± 990,y= ± 9896. x y，以及 p 是质数，则只能是2xp=1或2