圆方程-圆的方程典型例题教案资料

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆与方程 -圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1 , 4)、B(3 , 2)且圆心在直线y0 上的圆的标准方程并判断点P(2 , 4)与圆的关系分析：欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点 P 与圆的位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径， 则点在圆外； 若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为(xa)2( yb) 2r 2 圆心在y0上，故 b0 圆的方程为 ( xa)2y 2r 2又该圆过A(1, 4) 、 B(3 , 2

2、) 两点(1a) 216r 2(3a) 24r 2解之得： a1， r 220 所以所求圆的方程为( x1)2y220 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 A(1 , 4)、 B(3 , 2) 两点，所以圆心C 必在线段 AB 的垂直平分线l 上，又因为421 ，故 l 的斜率为1，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线l 的方程为：kAB31y 3 x2 即 xy1 0 又知圆心在直线y0 上，故圆心坐标为C ( 1 , 0)半径 r AC(11)24220 故所求圆的方程为(x1)2y 220 又点 P(2, 4)到圆心 C( 1,0) 的距离为dPC(21)

3、24225r 点 P 在圆外说明： 本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除例2求半径为 ，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程4分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa) 2( y b) 2r 2圆 C 与直线 y0相切，且半径为4，则圆心 C 的坐标为 C1( a , 4) 或 C 2 (a ,4) 又已知圆 x2y24 x2

4、 y40的圆心 A 的坐标为 (2 ,1) ，半径为 3若两圆相切，则CA437 或CA431(1) 当 C1(a , 4) 时 ， (a2)2(41)272， 或 (a2)2(41) 212(无解)，故可得a2 210所求圆方程为( x2210 )2( y4)242 ，或 (x 22 10)2( y4) 242 (2) 当 C 2 ( a ,4)时 ， (a2)2(41)272 ， 或 (a2) 2( 41) 212(无解)，故a226所求圆的方程为(x226 ) 2( y4) 242 ，或 ( x226) 2( y4) 242 说明： 对本题，易发生以下误解：由 题 意 ， 所 求 圆 与

5、 直 线 y0 相 切 且 半 径 为4 ， 则 圆 心 坐 标 为 C ( a , 4) ， 且 方 程 形 如( x a) 2( y 4)242 又圆 x2y24 x2 y 40 ，即(x2)2( y1)232 ，其圆心为A(2 ,1) ，半径为3若两圆相切， 则 CA43 故 (a2) 2(41) 272，解之得 a2 2 10所以欲求圆的方程为( x22 10)2( y4)242 ，或 (x 22 10)2( y4)242 上述误解只考虑了圆心在直线y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线y0下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例 3 求经过点A( 0 , 5) ，且

6、与直线x2 y0 和 2xy0 都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径， 由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标 又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线x2y0与 2xy0 相切，圆心 C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y0 和 2xy0 的距离相等word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除x2 yx2 y55两直线交角的平分线方程是x3y0 或 3xy0 又圆过点A(0 , 5) ，圆心 C 只能在直线3xy 0 上设圆心 C (t , 3t ) C 到直线 2xy0 的距离等于AC ，2t 3tt 2(3t5)

7、2 5化简整理得 t 26t50 解得： t 1或 t5圆心是 (1, 3) ，半径为5 或圆心是 (5 ,15) ，半径为 55 所求圆的方程为(x1)2( y 3)25 或 ( x 5)2( y15)2125 说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满足：(1)截 y 轴所得弦长为2； (2) 被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为3 :1 ，在满足条件(1)(2) 的所有圆中，求圆心到直线l： x2 y0 的距离最小的圆的方程分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径

8、，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一： 设圆心为 P(a , b) ，半径为 r 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b 和 a 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90 ，故圆截 x 轴所得弦长为2r r 22b2又圆截 y 轴所得弦长为2 r 2a 21word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除又 P(a , b) 到直线 x2y0 的距离为a2bd5 5d 2a22ba 24b24aba24b2

9、2(a2b2 )2b 2a21当且仅当 ab 时取“5=”号，此时 dmin5这时有ab2b2a21a1a1或b1b1又 r 22b22故所求圆的方程为(x1)2( y 1)22 或 ( x1)2( y 1)22解法二： 同解法一，得a2bd5 a 2b5d a24b24 5bd5d 2 将 a22b21代入上式得：2b24 5bd5d 21 0 上述方程有实根，故8(5d 21)0 ， d55word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除将 d5b代入方程得51又 2b2a 2 1 a 1 由a2b 1b同号知 a 、故所求圆的方程为(x1)2( y 1)22 或 ( x 1)2(

10、y 1)22 说明： 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆 O： x2y24 ，求过点 P2，4与圆 O 相切的切线解： 点 P 2，4不在圆 O 上，切线 PT 的直线方程可设为yk x 24根据 d r2k421k 2解得k34所以y3x244即3x4 y100因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2 说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏解）还可以运用x0 xy0

11、yr 2 ，求出切点坐标x0 、 y0 的值来解决，此时没有漏解例 6 两圆 C1： x2y2D1 xE1 yF10 与 C 2： x2y2D 2 xE2 yF20 相交于 A 、 B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程分析： 首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆 C1 、 C 2 的任一交点坐标为(x0 , y0 ) ，则有：22x0y0D1 x0E1 y0F10x0 2y0 2D2 x0E2 y0F20word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除得： ( D1 D 2

12、)x0(E1E2 ) y0F1F2 0 A 、 B 的坐标满足方程(D1D 2 ) x( E1E2 ) y F1 F20 方程 ( D1 D2 )x (E1E2 ) yF1F20 是过 A 、 B 两点的直线方程又过 A 、 B 两点的直线是唯一的两圆 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直线的方程为 ( D1 D 2 )x( E1 E2 ) y F1 F2 0 说明： 上述解法中，巧妙地避开了求A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解

13、以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例 7、过圆 x2y21外一点 M (2,3) ，作这个圆的两条切线MA 、 MB ，切点分别是A、B，求直线 AB 的方程。练习：1求过点 M (3,1) ，且与圆 ( x1)2y24 相切的直线 l 的方程 解：设切线方程为y 1 k(x3) ，即 kxy3k10 ，圆心(1,0) 到切线 l 的距离等于半径2 ， | k3k1|2 ，解得 k3，2241k切线方程为y13 (x3)，即3x4y130 ，4当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为x3，圆心 (1,0) 到此直线的距离等于半径2，故直线 x 3也适合题意。0 或 x3所以，所

14、求的直线l 的方程是 3x4 y132、过坐标原点且与圆x 2y 24x2 y50 相切的直线的方程为2( y 1)2 5解：设直线方程为ykx ，即 kxy0 .圆方程可化为 ( x2) 2，圆心为（2，2-1 ），半径为102k110 ，解得 k3或 k1y3x 或.依题意有，直线方程为2k 2123y 1 x .33、已知直线5x12 ya0 与圆 x 22 xy 20 相切，则 a 的值为.word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除解：圆 ( x 1) 2y 21的圆心为（ 1， 0），半径为1，5a1，解得 a8 或 a 18.5212 2类型三：弦长、弧问题例 8、求直

15、线 l : 3x y 60 被圆 C : x 2y22 x 4 y 0 截得的弦 AB 的长 .例 9、直线 3x y2 30截圆 x 2y 24 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d3，故弦长AB2 r 2d 22 ，从而 OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3例 10、求两圆x2 y2 x y 2 0 和 x2 y2 5 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线 3x y 2 30 和圆 x2y24 ，判断此直线与已知圆的位置关系 .例 12、若直线 yxm 与曲线 y4 x 2有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围 .解：曲线 y4x 2表示半

16、圆 x2y 24( y0)，利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是 2 m2或 m2 2.例 13 圆 (x3)2( y 3)29 上到直线 3x4 y110 的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l 2 的方程，从代数计算中寻找解答解法一： 圆 ( x3) 2( y3) 29 的圆心为 O1 (3 , 3) ，半径 r3设圆心 O1 到直线 3x4y113343113 0 的距离为 d ，则 d32422如图， 在圆心 O1 同侧，与直线 3x4 y110 平行且距离为1 的直线 l1 与圆有两个交点，这两个交点符合题意word 可编辑资料收集于网络，如有侵

17、权请联系网站删除又 r d 3 2 1与直线 3x4 y110 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4 y110 ，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为 3x4ym0 ，则 dm111，3242 m115，即 m6，或 m16 ，也即l1：3x 4 y6 0，或 l2：3x 4 y 16 0 设圆(3)2(y3) 29的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d2 ，则O1：xd13343633431632423 ， d232421 l1 与 O1 相切，与圆 O1 有一个公共点；l2 与圆 O1 相交，与

18、圆 O1 有两个公共点即符合题意的点共 3个说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心 O1 到直线 3x4y33431111 0 的距离为 d ，则 d322 3 42圆 O1 到 3x 4 y110 距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的d 是圆心到直线 3x 4y11 0的距离， dr ，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断练习

19、 1：直线 xy1 与圆 x 2y 22ay0 (a0) 没有公共点，则a 的取值范围是word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除a1a21 . a0 ， 0 a 2 1.解：依题意有a ，解得2 12练习2 ：若直线y kx 2 与圆 (x2) 2( y3) 21 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.2k14， k 的取值范围是 (0,4 ) .解：依题意有1 ，解得 0 kk 21333、圆 x2y22 x4 y30 上到直线 xy10 的距离为2 的点共有（）（A ）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个分 析 ： 把 x2y 22x4 y30 化 为x1 2y2 28

20、 ， 圆 心 为1，2 ，半径为r22 ，圆心到直线的距离为2 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2 ，所以选 C4、过点 P3， 4 作直线 l ，当斜率为何值时，直线l 与圆 C：x1 2y2 24 有公共点，如图所示分析： 观察动画演示，分析思路解： 设直线 l 的方程为yy4k x3即Oxkxy3k4 0根据 dr 有Ek23k41k 22P整理得3k 24k0解得0 k43类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除例 14、判断圆 C1 : x2y 22x 6y 260 与圆 C 2 : x2y 24 x 2

21、 y 4 0 的位置关系，例 15：圆 x 2y 22x0和圆 x2y 24 y0 的公切线共有条。解：圆 (x1) 2y 21的圆心为 O (1,0)，半径 r11，圆 x 2( y2) 24的圆心为O2 (0, 2)，1半径 r22， OO25,rr23, r2r1. r2rO O2r1r2，两圆相交 .共有 211111条公切线。练习1：若圆 x2y 22mxm24 0 与圆 x2y 22x4my4m280 相切，则实数 m 的取值集合是.解：圆 (x) 2y24的圆心为O1 ( m,0) ，半径 r12，圆 (x1)2( y2m)29 的圆心为mO2 ( 1,2m)， 半 径 r23

22、， 且两圆相切， O1O2r1r2或 O1O2r2r1， (m1) 2(2m) 25 或( m1)2(2m) 21，解得 m12或 m2 ，或 m0 或 m5，52实数 m 的取值集合是 12 ,5,0,2.522：求与圆 x2y 25外切于点 P(1,2) ，且半径为25 的圆的方程 .解：设所求圆的圆心为O (a, b) ，则所求圆的方程为( xa) 2( yb) 220 .两圆外切于点P，1 OP1OO1 ， (1,2)1 (a, b) ， a3,b6 ，所求圆的方程为( x3) 2( y6) 220 .33类型六：圆中的对称问题例 16、圆 x2y22x6y90 关于直线 2xy50

23、对称的圆的方程是y例17 自点A 3，3发出的光线 l射到 x 轴上，被 x 轴反射，反射光线所在M的直线与圆 C： x2y 24x 4yAC7 0相切N（ 1）求光线 l 和反射光线所在的直线方程（ 2）光线自 A 到切点所经过的路程分析、略解：观察动画演示， 分析思路 根据对称关系， 首先求出点Aword 可编辑G OBxA图资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除的对称点 A 的坐标为3， 3 ，其次设过A 的圆 C 的切线方程为yk x33根据 dr ，即求出圆 C 的切线的斜率为43k 或 k34进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30 或 3x4 y30最后根据入射光与反射光

24、关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3 y30 或 3x4 y30222光路的距离为A' M ，可由勾股定理求得 A MAC CM7说明： 本题亦可把圆对称到x 轴下方，再求解类型七：圆中的最值问题例 18：圆 x 2y 24x4 y10 0 上的点到直线 xy 140 的最大距离与最小距离的差是解 ： 圆 ( x2)2( y2) 218 的 圆 心 为 （ 2 ， 2 ）， 半 径 r3 2，圆心到直线的距离d105 2 r ， 直 线 与 圆 相 离 ， 圆 上 的 点 到 直 线 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是2( d r ) (d r ) 2r6 2

25、 .例 19(1) 已知圆(3)2(y4)21，P(x , y)为圆O上的动点，求d x2y2的最大、最O1：x小值(2) 已知圆 O2：(x2) 2y 21， P( x , y) 为圆上任一点 求 y2 的最大、 最小值， 求 x2 y 的x1最大、最小值分析： (1)、 (2) 两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解： (1)( 法 1)由圆的标准方程 ( x 3) 2( y 4) 21 可设圆的参数方程为x3cos,是参数）y4sin（,则 d x2y296 coscos2168sinsin 2266 cos8 sin2610 cos() （其中 tan4）3所

26、以 dmax261036， d min261016word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除( 法 2)圆上点到原点距离的最大值d1 等于圆心到原点的距离'1，圆上点到原点距离d 1 加上半径的最小值 d2 等于圆心到原点的距离'd 1 减去半径 1所以 d1324216 d2324214 所以 dmax36 dmin 16 (2) ( 法 1)由 ( x2) 2y 21 得圆的参数方程：x2cos ,是参数ysin,则 y2sin2 令 sin2t ，x1cos3cos3得 sint cos23t， 1t 2sin() 23t23tsin()133t33 1 t

27、244所以 tmax3333， t min44即 y2 的最大值为 33 ，最小值为 33 x144此时 x2 y2 cos2 sin25 cos() 所以 x2 y 的最大值为25，最小值为25 y2k ，则 kxyk20由于 P(x , y) 是圆上点，当直线与圆有交点时，如(法 2)设1x图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值2kk 2133由 dk 2，得 k14word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除所以 y2 的最大值为 33 ，最小值为 33 x144令 x 2y t ，同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值由 d2m1，得 m25 5所以 x 2y 的

28、最大值为25 ，最小值为25 例 20：已知 A(2,0)， B(2,0)，点P在圆(x3) 2( y4) 24 上运动，则 PA22PB的最小值是.解：设 P(x, y) ，则2PB2(x2) 2y2(x2) 2y22(x2y2 )8228设圆心PAOP.为 C(3,4) ，则 OP minOCr523 ，PA2PB2的最小值为 232826 .练习：1：已知点 P( x, y) 在圆 x 2( y1) 21上运动 .（ 1）求 y1 的最大值与最小值； （ 2）求 2xy 的最大值与最小值 .x2解：（ 1）设 y1k ，则 k 表示点 P( x, y) 与点（ 2， 1）连线的斜率 .当该直线与圆相切时，k 取得x2最大值与最小值 .由2k1，解得 k3， y1 的最大值为3 ，最小值为3.k 213x2332ym ，则m表示直线2x ym 在 y 轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最（ ）设 2x1m1，解得 m15 ， 2xy 的最大值为15 ，最小值为15 .大值与最小值 .由52 设点