数列的综合问题

1、第 39 讲数列的综合问题1. (2016 浙江卷)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知5=4, a*+1= 2Sn+ 1, n N .(1) 求通项公式 an；(2) 求数列|an n 2|的前 n 项和.a1+ a2= 4,a1= 1,E3B (1)由题意得则|a2= 2a1+ 1,a2= 3.又当 n2 时，由 an+1 an= (2Sn+ 1) (2Sn1+ 1) = 2an，得 an+1= 3an,所以数列an的通项公式为 an= 3n1, nN*.设 bn= |3n1 n 2|, nN，贝Ub1= 2, b2= 1.当 n3 时，由于 3 n + 2,故 bn= 3 n 2, n

2、3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 T1= 2, T2= 3,9(1 3n 2 (n + 7fn 2 当 n3 时，Tn= 3 +1 323n n2 5n+ 11= 2 ，又当 n= 2 时，T2= 3 也满足上式.2,所以Tn=3n n2 5n + 11i21n + 12.已知数列an的前 n 项和为 Sn,且a1=1為+1=an.22n(1)证明：数列半是等比数列；求通项 an与前 n 项的和 Sn.所以当 n N*时，辭 0，an+1n+11*又二=7(n 3 )为常数， an2n所以為是以 2 为公比的等比数列.因为=2，所以曽是以 2 为首项，1为公比的等比数列. 所以罟=1X

3、(|)nS 所以 an= n(1)n.1 121n所以 Sn= 1 (?) + 2(p2+ + n Q)n,112131n+12Sn= 1(2)+ 2(2)+ + n(2)+,n= 1,n2, nN .CIS (1)证明：因为 a1= 2,n+ 1an+1= 2n an.11121n1n+1所以 qSn=2+(2)+(2)nq)+11n21 -Q(1)n+1n(2)+112=1-(2)n-n1,(1)n-1- n(1)n1 =2 (n+ 2)矿1 1综上，an= n(2)n, Sn= 2 (n+ 2) g)n.所以 Sn= 2 *1 1 23. (2016 天津卷)已知an是等比数列，前 n

4、项和为 Sn(n N )，且才才=二，&=63a1a2a3(1)求an的通项公式；(2)若对任意的 n N*, bn是 log2an和 log2an+1的等差中项，求数列( 1)哦的前 2n 项 和.(1)设数列 an的公比为 q.112由已知，有一一=,a1a1qag 解得 q= 2 或 q= 1.1 q6又由 S6= a1= 63，知 q 工一 1,1 q1 261所以 a1= 63,得 a1= 1,所以 an= 2n.1 21由题意，得 bn= 2(log2an+ log2an+1)=*(log22n-1+ log22n)1=n2，1即bn是首项为1，公差为 1 的等差数列.设数

5、列( 1)nb的前 n 项和为 Tn,则T2n= ( b1+ b2)+ ( b3+ b4)+ + ( b2n1+ b2 n)=+ b2+ b3+ b4+ + b2n1+ b2n2n b1+ b2n2=2n .24. (2017 天津卷)已知an为等差数列，前 n 项和为 Sn(n N ), bn是首项为 2 的等比 数列，且公比大于 0, b2+ b3= 12, b3= a42a1, S= 11 b4.(1)求an和bn的通项公式；*求数列a2nbn的前 n 项和(n N*).堪 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q.由已知 b2+ b3= 12,得 b(q + q2)

6、= 12.而 b1= 2，所以 q2+ q 6 = 0，解得 q = 3 或 q = 2.又因为 q 0，所以 q = 2所以 bn= 2n.由 b3= a4 2ai,可得 3d ai= 8.由 Sii= 11b4，可得 ai+ 5d = 16，联立，解得 ai= 1, d= 3,由此可得 an= 3n 2.所以，数列an的通项公式为 an= 3n 2，数列bn的通项公式为 bn= 2n.设数列a2nbn的前 n 项和为 Tn.由 a2n= 6n 2，得Tn=4X2+10X22+16X23+ +(6n2)X2n,2Tn=4X22+10X23+16X24+ +(6n8)X2n+(6n2)X2n+1. 上述两式相减，得Tn=4X2+6X22+6X23+ +6X2n(6n2)X2n