中国剩余定理正式版

1、§4 中国剩余定理民间传说着一则故事一一“韩信点兵”.秦朝末年，楚汉相争.一次，韩信带1 500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营当行至一山坡， 忽有后军来报，说有楚军骑兵追来只见远方尘土飞扬，杀声震天汉军本来已十分疲惫， 这时队伍大哗韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵 5人一排，结果多出 3名；他又命令士兵 7人一排，结果 又多出2名.韩信马上向将士们宣布：我军有 1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下， 以众击寡，一定能打败敌人汉军本来就信服自己

2、的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下 凡”“神机妙算”.于是士气大振.一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作 一团交战不久，楚军大败而逃.你知道韩信是怎么算出士兵人数的吗？这要用到今天我们要学习的知识.1 “物不知数”这个题目最早出现在我国古老的数学名著孙子算经之中，原题是： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”实际上这 个问题用现代数学语言表示，就是求一次同余式组的解的问题：求正整数x，满足条件为这个同余式等价于求下面不定方程组的正整数解 .2 .“物不知数”问题的解法分3步：(1) 设P满足两个条件：5|P,7|P&设Q满足两个条件：3

3、|Q,7|QQ-;设R满足两个条件：3|R,5|R甘.(2) 把它们叠加起来，就得到 解：2P+ 3Q+ 2R.因为2P+ 3Q+ 2R除以3余2，除以5余3, 除以7余2.(3) 我们来求P的值由P= 5X 7X m(m是自然数)，令 m= 1, P= 35= 2( mod3);令 m= 2, P= 70= 1( mod3). P=.同理求得 Q=, R=.故 2+ 3Q+ 2R=.因为问题的解不唯一，且3X 5X 7= 105，所以最小正整数解为 满足条件的所有解为.3 我国南宋时期数学家 在数书九章第一章“大衍术”中给出了 “物不知数”的一般形式及其解法.因为所用的一次同余方程右边均为1

4、,所以他称这种方法为“大衍求一术”.4 .德国人首先发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的，这一发现受到当时数学史学家们的高度重视，从此，西方将关于一次同余方程组求 解的剩余定理称为“ '.x = 2(mod 3),千x = 3a + 2,答案：1. x- 3(mod 5),x = 5b+ 3,x 三 2(mod 7).x = 7c+ 2.2. 1(mod 3) 1(mod 5) 1(mod 7)702115 P 233233- 105X 2= 2323 +105n(其中n为自然数)3 .秦九韶4 .马蒂生中国剩余定理、冋题来源之中.（）【例1】“物不知数”这个

5、驰名中外的问题最早出现在 A.九章算术B.周髀算经C.孙子算经D.数书九章答案：C【例2】韩信点兵问题就是今天数论中的 （）A.函数问题B.拓扑问题C.运筹问题D.同余问题答案：D“物不知数”等价于下列哪个不定方程的正整数解（）x =3a 2,x=3a 1,A. x =5b 3,B. x=5b 1,x = 7c 2x=7c 1二、问题的解【例3】“物不知数”问题的最小正整数解是A. 13B. 23x = 3a 2,x = 3a 1,C.x = 5b 2,x = 5b 2,x = 7c 31x = 7c 3()C.105D. 233答案：B【例4】“物不知数”问题给出解法“三三数之剩二，置一百四

6、十；五五数之剩三，置 六十三；七七数之剩二，置三十并之，得二百三十三以二百一十减之，即得.”的著作 是（）A.九章算术B.孙子算经C.墨经D.周易答案：B“物不知数”的解法口诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝.七子团圆正半月，除 百零五便得知.”出自（）A.算法统宗B.孙子算经C.数书九章D.九章算术三、秦九韶与大衍求一术【例5】下列哪部著作是秦九韶所写 （）A.九章算术B.海岛算经C.数书九章D.五经算术答案：C【例6】秦九韶疋我国（)A.北宋时期数学家B.南宋时期数学家C.唐朝时期数学家D.明朝时期数学家答案：B第一个发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的德国人是

7、 （ ）A.斐波那契B.伟烈亚力C.马蒂生D.康托关于一次同系方程组求解的剩余定理在西方被称为“中国剩余定理”，在中国又称为a?1. 韩信点兵问题实际上出自数学名著孙子算经中的“物不知数”问题.2. “物不知数”问题的一般解为23+ 105n（其中n是自然数），最小正整数解为 23.3 .秦九韶在数书九章一书中给出了 “物不知数”问题的一般形式及一般解法：“大衍求一术”4“大衍求一术”失传了500 多年，清朝黄宗宪等人经过艰苦努力使其重新出现在世人;/:、八面前51876 年，德国人马蒂生首先发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般答案： 1 A 2.A3. C 4. 孙子定理解法一

8、致著名的数学家 程组求解的剩余定理称为M康托高度评价了“大衍求一术” 从此，西方将关于一次冋余方“中国剩余定理”，充分展现了中国古代数学算法精神的魅力学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： “今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽 量往前甩，然后再尽量往后甩。 ”说着，苏格拉底示范做了一遍， “从今天开始，每天做 300 下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生： 每天甩手 300 下，哪个同学坚持了，有 90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉

9、底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个 重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具 有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，

10、它告诉 无们，做事要有恒心。旬子讲： “锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条 慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确 很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归 到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测

11、试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和 视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法 章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最 适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面” ，全书都是由一篇篇短文、图表集

12、成，更像是一本博 文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时 间规划” 、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有 力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法” 、“

13、错误的方法”和“积极的行为” 、“消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码 在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌

14、晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技 能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分 别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的

15、拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此， 说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要 应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里 做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇

16、开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了 一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近 的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们 人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习 习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的

17、收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历 程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统， 游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的 表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到 提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不 要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维， 对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语