直线、平面平行地判定与性质

1、第4讲直线、平面平行的判定与性质教材回顾 T 夯实基础课本M敝追根卓駕治知课梳理.1 .直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言付号语言判定 定理平面外一条直线与这_个平面内的一条直线i因为1 / a, a? a , l ? a ,所以1 /a平行，则该直线与此 平面平行（线线平行?线面平行）/_/性质 定理一条直线与一个平面 平行，则过这条直线 的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 （简记为“线面平行？ 线线平行”）因为1 / a ,l ? 3 , aCl卩=b,所以1 / b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言付号语言判定定 理一个平面内的两条相_ 交直线与另

2、一个平面 平行，则这两个平面 平行（简记为“线面平 行？面面平行”）k /因为 a/ 3 , b/ 3 , a C b= P, a? a , b?a,所以a/ 3性质定 理如果两个平行平面同 时和第三个平面相 交，那么它们的交线 平行因为 a/ 3 , aCy =a, 3 C y= b,所 以 a / b要点整合1. 辨明两个易误点（1）直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件.（2）面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.2. 线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺

3、序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”.取基自測1. （2016 大连模拟）对于直线 m n和平面a,若n? a,则“ m/ n”是“ nV/ a”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：D2. a、b、c为三条不重合的直线，a、卩、Y为三个不重合的平面，现给出四个命题：c/a/a丫ya/c )a/y其中正确的命题是()A. B.C.D.解析：选C.正确.错在a与卩可能相交.错在 a可能在a内.3. 若平面a/平面卩，直线a/平面a,点B，则在平面卩内过B点的所有直线中( )A. 不一定存在与a平行的直

4、线B. 只有两条与a平行的直线C. 存在无数条与a平行的直线D. 存在唯一与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面卩内且经过B点时，a/平面a,但这时在平面 卩内过B点 的所有直线中，不存在与 a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.4. 过三棱柱 ABC ABC任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA平行的直线共有条.解析：各中点连线如图，只有平面 合题意.EFGH与平面 ABBA1平行，在四边形 EFGH中有6条符EB答案：65. (必修2P56练习T2改编)在正方体 ABCDABCD中，E是DD的中点，贝U BD与平面ACE的位置关系为解析：如图，连接 AC B

5、D交于O点，连接 OE因为OE/ BD,而OE?平面ACE BD? 平面ACE所以BD /平面ACE答案：平行典例剖析澤考点突破丄考点一线面平行的判定与性质(高频考点)学生用书P132平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线 面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中.高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：(1) 判断线面的位置关系；(2) 线面平行的证明；(3) 线面平行性质的应用.(2015 高考四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意 图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M GH的中点为N(1)请将字母F,

6、 G H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);证明：直线MN/平面BDH解点F, G H的位置如图所示.2Yg(2)证明：如图，连接 BD设0为BD的中点，连接 OH OM MN 因为M N分别是BC GH的中点，1所以 OM/ CD 且 0M= qCD1HIN/ CD 且 HN= 2CD所以 OM HN OM= HN 所以四边形MNH是平行四边形，从而 MN/ OH 又MN平面BDH OH平面BDH所以MN/平面BDH(1) 证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行.(2) 应用线面平行性质的关键是如何确定交线

7、的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线|通关练习】1.如图，已知点P是平行四边形 ABCD所在平面外的一点，E F分别是PABD上的点且 PE： EA= BF： FD 求证：EF/平面PBC证明:B法一：连接 AF并延长交BC于 M连接PM 因为AD/ BC又由已知EA= FD所以PE_MFEAT Fa.由平面几何知识可得 EF/ PM 又EF?平面PBC PM平面PBC所以EF/平面PBC法二：作 FN/ BC交 AB于 N因为NF?平面PBC BC?平面PBC 所以NF/平面PBC因为AD/ BC 所以NF/ AD ntBF BN则 FDT NAPE BF 又一=EA= FD所以

8、PE BNea=Na连接EN贝U EN/ PB又EN?平面PBC PB?平面PBC 所以EN/平面PBC又 ENn NF= N,所以平面EFIN/平面PBC而EF?平面ENF所以EF/平面PBC考点二面面平行的判定与性质学生用书P132典例2 如图，在三棱柱 ABC A1B1G中，E, F , G H分别是AB AC AB , AC的中点, 求证：(1) B, C, H, G四点共面；平面EFA/平面BCHG证明(1)因为6卜是厶ABC的中位线，所以 GH/ BC.又因为BiCi / BC所以GH/ BC所以B, C H, G四点共面.因为E F分别为AB AC的中点，所以 EF/ BC因为E

9、F?平面BCHG BC?平面BCHG所以EF/平面BCHG因为AG綊EB所以四边形AEBG是平行四边形，所以 AE/ GB因为AE?平面BCHG G平面BCHG所以AE/平面BCHG因为AEQ EF= E,所以平面 EFA/平面BCHG 八训和 在本例条件下，线段 BC上是否存在一点 M使得EM/平面AACC 解：存在当M为BC的中点时成立.证明如下：连接 EM图略)，在 ABC中，E, M分别为AB BC的中点，1所以EM綊gAC，又EM平面AACCAC?平面AACC 所以EM/平面 AACC判定面面平行的方法(1) 利用定义，即证两个平面没有公共点 (不常用)；(2) 利用面面平行的判定定

10、理(主要方法)；(3) 利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4) 利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).跟踪训练 2.如图，已知ABCDABCD是棱长为3的正方体，点E在AA上，点F在(1)求证：E B, F, D四点共面；求证：平面 AGH/平面BEDF.证明：(1)因为 AE= Bi* 1，所以 BGf AE= 2,因为BG/ AE,所以AG/ BE又因为CiF綊BG,所以FG/ CB/ DA,所以四边形 AGFD是平行四边形.所以 AG/ DF,所以 DF/ EB故E、B、F、D四点共面.3因为H是BC的中点，所以 BH= 2

11、.B1G 2又1，所以3.FC 2又 Bc= 2 且/ fcb=z gbh= 90,所以 BHGpA CBF所以/ BGH=/ CFB=Z FBG所以HG/ FB又由(1)知 AG/ BE,且 HGQ A* GFBn BE= B,所以平面 AGH/平面BEDF.考点三平行关系的综合应用学生用书P133典例3 (2016 洛阳月考)如图，ABCD与 ADEF为平行四边形，M N G分别是AB AD EF的中点.求证：BE/平面DMF求证：平面BD/平面MNG证明 如图，连接AE则AE必过DF与GN的交点O,连接MO则皿(为厶ABE的中 位线，所以BE/ MO又BE?平面DMF MO平面DMF所以

12、BE/平面DMF(2)因为N G分别为平行四边形 ADEF的边AD EF的中点，所以 DE/ GN又DR平面 MNG GN 平面 MNG所以DE/平面MNG又M为AB中点，所以 MNA ABD的中位线，所以BD/ MN又BD?平面MNG MN平面MNG所以BD/平面MNG又DE与 BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE/平面MNG在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成 立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤|跟踪训练3如图，在正方体 ABCDABGD中，S是BD的中点，E、F、G分别是BC DC SC的中点, 求证：直线EG/平面BDEB;

13、(2)平面 EF(/ 平面 BDEBi.证明：如图，连接SB因为E、G分别是BC SC的中点，所以EG/ SB又因为SB?平面BDD1,EG 平面 BDEBi,所以直线EG/平面BDEBi.连接SD因为F、G分别是DC SC的中点，所以FG/ SD又因为St?平面BDEBi, FG?平面BDGB, 所以FG/平面BDDB，又EG 平面EFGFG?平面 EFG EGH FG= G 所以平面EFG/平面BDDB.拓展升华肚娄旁逋AB上是否存在名师讲坛凶素养提升*方法思想立体几何中的探索问题典例 如图所示，在三棱柱 ABC ABC中，D是棱CC的中点，问在棱一点E,使DE/平面ABC?若存在，请确定

14、点 E的位置；若不存在，请说明理由.解点E为AB的中点时DE/平面ABC ,证明如下:法一：取AB的中点F,连接DE EF FC, 因为E、F分别为AB AB的中点，1所以 EF BB且 EF= 2BB.在三棱柱ABC A1B1C 中,1DC / BB 且 DC= qBB,所以EF綊DC,四边形EFCD为平行四边形，所以 ED/ FC. 又ED?平面ABC, FC?平面ABC,所以ED/平面ABC.法二：取BB的中点H连接EH, DH DE所以E, H分别是AB BB的中点，贝U EH/ AB.又EH?平面ABC ,AB?平面 ABC ,所以EH/平面ABC,又 HD/ BiC ,同理可得HD

15、/平面ABC ,又 EHn HD= H,所以平面EH/平面ABC,因为ED?平面EHD, 所以ED/平面ABIC.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和 结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并 探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到 矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”.1跟蹋训练】如图所示，在四棱锥P- ABCDK底面ABCDI平行四边形，PA!平面ABCD 若M N分别为BC PA的中点在线段 PD上是否存在一点

16、 E,使NM/平面ACE若存在，请 确定点E的位置；若不存在，请说明理由.解：当E为PD的中点时有NM平面ACE 证明如下：如图，取PD的中点E,连接NE EC AE 因为N, E分别为PA PD的中点，1所以NE綊qAD1又在平行四边形 ABCD , CM綊qAD所以NE綊MC即四边形 MCE是平行四边形.所以NM/ EC又EC?平面ACE NM平面ACE所以MN/平面ACE即在PD上存在一点E ,使得NM/平面ACE知能训练轻松I I学生用书单弹成册通基础达标&1. 在空间内，下列命题正确的是 ()A. 平行直线的平行投影重合B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一平面的两个平面

17、平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A,平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故 A错误；对 于B,平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C,垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故 C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确.2. 设平面a /平面3 , Aa , C是AB的中点，当A B分别在a ,卩内运动时,所有的点Q )A. 不共面B. 当且仅当A, B在两条相交直线上移动时才共面C. 当且仅当A, B在两条给定的平行直线上移动时才共面D. 不论A B如何移动都共面解析：选D.根据平面平行的性质，不论 A, B如何运动，动点 C均在与a ,卩都平行

18、的 平面上.3. （2016 惠州模拟）已知两条不同的直线 I , m两个不同的平面 a ,卩，则下列条件能推出a /3的是（)A.l ?am?a ,且lI /3 ,m/3B.l ?am?3 ,且lI /mC.l丄aml3 ,且lI /mD.l /am/3，且lI /m解析：选C.借助正方体模型进行判断.易排除选项A, B, D,故选C.4. （2016 长沙模拟）用a, b, c表示空间中三条不同的直线，丫表示平面，给出下列命题： 若a丄b, b丄c,贝U a / c； 若a / b, a / c,贝U b / c ； 若a / y, b / y,贝U a / b.其中真命题的序号是（）B.

19、D.A.C.解析：选D.若a丄b, b丄c,则a/ c或a与c相交或a与c异面，所以是假命题；在 空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以是真命题；若 与b相交或a与b异面，所以是假命题，故选5.FD= 1 :D.如图所示，在空间四边形 ABCD中, E, F分别为边AB 4，又 H,a / y, b / y, 则 a / b 或 aAD上的点，且AE： EB= AF：A.B.C.D.BD/平面EF/平面BCD且四边形HG/平面ABD且四边形EH/平面ADC且四边形解析：选B.由AE： EB= AF：EFGH1梯形EFGHU菱形EFGH!平行四边形1FD= 1 : 4知EF綊匚BD所以5EF

20、/平面BCD又H, G分别为1BC CD的中点，所以 HG綊2BD所以EF/ HG且 EF* HG所以四边形 EFGH1梯形.6 .设l , m n表示不同的直线,a , 3， y表示不同的平面，给出下列命题： 若 m/ l ,且 ml a ,贝y l丄a ; 若 m/ l ,且 m/ a ,贝 y l /a ; 若 aQp= l ,卩门丫 = my Qa = n ,贝 Ul/m/ n; 若 aA 3= m 3门丫 = l ,y Qa = n ,且n/卩，贝 Vl / m其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选B.由题易知正确；错误，l也可以在a内；错误，以墙角为例即可

21、说明; 正确，可以以三棱柱为例说明，故选 B.7.如图，在空间四边形ABCDK ME AB N AD若磐A,则直线MN与平面BDC的位 MB ND置关系是解析：在平面ABD中,AMANMB ND所以MN/ BD 又MN平面BCD BD? 所以MN/平面BCD平面BCD答案：平行8.棱长为2的正方体 ABCD ABCD中，M是棱AA的中点，过C, M D作正方体的截面, 则截面的面积是.解析：由面面平行的性质知截面与平面AB的交线MNA AAB的中位线，所以截面是梯9形CDMN易求其面积为2.9答案：99. 设a , 3 , Y是三个不同的平面，a, b是两条不同的直线，有下列三个条件： a/

22、y , b? 3 ； a / y , b / 3 ; b / 3 , a? y 如果命题a n 3 = a, b? y ,且,则a / b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是 （把所有正确条件的序号者 ）.解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当 b/ 3 , a? 丫时，a和b在同一平面内， 且没有公共点，所以平行，正确.故填入的条件为或答案：或10. 已知平面a / 3, P? a且P?3分别交于B, D且解析：如图1，因为A8 BD= P,P的直线n与a,卩，过点P的直线m与 a ,卩分别交于A, C,过点PA= 6，AC= 9, PD= 8，则 BD的长为.图1所以经过直线AC与 B

23、D可确定平面 因为a / 3, a3门平面PCD= CDPA pb所以AB/ CD所以ac= BD68 BD24即6 =贡，所以BD=亍如图2,同理可证AB/ CD门平面PCD= ABPCDPA PB 6 BD- 8 所以PC=而即3 = 丁，所以BD= 24.综上所述，BD=百或24.5答案：电或2411.如图，在长方体 ABCDABCD中, 过EH的平面与棱BB, CC相交，交点分别为E, H分别为棱 AB, DC上的点，且 EH/ AD,F, G,求证：FG/ 平面 ADDA.证明：因为 EH/ AD, AD/ BiC,EH?平面 BCCi, B C ?平面 BCCB, 所以EH/平面B

24、CCB.又平面FGHB平面BCCB = FG所以 EH/ FG 即 FG/ Ai D .又 FG?平面 ADDA , AD?平面 ADDA , 所以FG/平面ADDA.能力提升.1 . （20 1 6 湖南省长沙一中高考模拟 ）如图所示,正方体 ABCD A B C D的棱长为a，点Pa是棱 AD上一点，且 AP= 3,过B、D、P的平面交底面 ABCDF PQ Q在直线 CD上 ,贝U PQ=DC拓0,解析：因为平面A B CD /平面 ABCD而平面 BD PQ平面 ABC母PQ平面 B D PQ平面AB CD = B D,所以 B D / PQ又因为 B D / BD所以BD/ PQ 设 PCT AB= M 因为 AB/ CD 所以 APWA DPQ所以PQPDPM AP2,即卩 PQ= 2PM又知 APMbA ADB所以PM AP 1 bDT ADT 3,所以PM 1bD又BDT 0，所以PQ竽a.2.如图，已知四棱锥P- ABC啲底面为直角梯形,且 PA= AD= DC 2aB=1, M是 PB的中点.AB/ CD / DAB 90, PA!底面 ABCD/r证明：1(1)在直角梯形 ABCD , AD= DC= -AB= 1 ,(1)求证：AM CM若N是PC的中点，求证:DIN/平