多边形知识点及经典习题

1、多边形一.考点：三角形的角度，边长关系，内角和与外角和，用正多边形铺设地板二.热点：内角和与外角和三.知识讲解主要知识点：1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形.2、三角形的分类.三角形（按角分）不等边三角形三角形（按边分）''等腰三角形（等边三角形）3、一般三角形的性质（1）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180° .推论1:直角三角形的两个 锐角互补。推论2:三角形的一个 外角等于不相邻 的两个内角的和。推论3:三角形的一个 外角大于与它不相邻的任何一个内角。（2） 三角形的三边关系：三角形任亘两边之和

2、大于第三边,色|两边之差小于第三边.（3）边与角的西商应关系：在一个三角画?等边对等与；等人对等边。（4）三角形具有稳定性（5） 三角形的主要线段的性质（见下表）：名称基本性质角平分线三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边跑离相 等；角平分线上点到角的两边跑离相等。中线三角形的三条中线相交于一点。（重心）；性质：到顶点的品目离等于到对边 中点的距离的2倍。高三角形的三条高相交于一点。（垂心）边的垂直平 分线三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；外心到三角形三个顶点 的距离相等。中位线连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；性质：中位线平行第三 边并且等于第三边的一半（

3、1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1:三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。3.几种特殊三角

4、形的特殊性质1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）这条线段所在的直线是等腰三角 形的对称轴。推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60°。（1）直角三角形的特殊性质：A/ 直角三角形的两个锐角互为余角；B/ 在直角三角形中如果 有一个角等于30° ,那么这个角的对边等于斜边的一半； 如果有一条边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角等于30。C/直角三角形斜边上的中线等于斜边

5、的一半D/直角三角形两直角边a, b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c24. 三角形的面积一般三角形：S=-a h （ h是a边上的高）24、多边形、1、任意多边形的 外角和恒为360°2、多边形及多边形的对角线正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.凸凹多边形：画出多边形的 任何一条边所在的直线、若整个图形 必这条直线的 同一侧,这样的多边形称为 凸多边形；,若整个多边形 不都在这条直线的同一侧, 称这样的多边形为凹多边形。多边形的对角线的条数：A.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。B.n边形共有 迪二3条对角线。

6、29、边形的内角和公式及外角和多边形的内角和等于（n-2） x 1800 （n >3）0多边形的外角和等于3600 o10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。平面镶嵌的 组生：有公共 顶点、公共理；在一个顶 点处各多边形的 内角和为360°。例1:（基础题）（度）在 ABC 中，已知/ B = 40° , / C = 80° ,则/ A =如图， ABC中，Z A = 60C = 50° ,则外角/ CBD =已知，在 ABC中，Z A +/B =/C,那么 ABC的形状

7、为（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、以上都不对下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3cm , 4cm, 8cm B.5cm , 6cm, 11cmC.5cm, 6cm, 10cm D.3cm , 8cm, 12cm如果一个三角形的三边长分别为x, 2, 3,那么x的取值范围是。小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的 三根木棒的长度分别是已知等腰三角形的一边长为6,另一边长为10,则它的周长为在 ABC 中，AB = AC , BC=10cm, / 人=80°,贝1!/8=，/ C =BD=,CD=如

8、图，AB = AC , BC ± AD ,若 BC = 6 ,贝U BD =例3:（提高）4ABC 中，/ C=90° , / B-2/A=30° ,则/ A=在等腰三角形中，一个角是另一个角的2倍，求三个角？ ：在等腰三角形中，周长为40cm,一个边另一个边 2倍，求三个边？ 例6.ABC为等边三角形,D是AC中点，E是BC延长线上一点，且 CE = 2 BC求证：BD = DE、选择题:等腰三角形中，一个角为50。，A.150 °B.80°2 .在 4ABC 中，Z A = 50 ° , A.65°B.3 .如图，如果/

9、 1 = / 2= / 3, AN为/的角平分线。三、解答题：则这个等腰三角形的顶角的度数为（C.50° 或 80°D.70°ZB, Z C的角平分线相交于点 115° C.130°则AM为的角平分线，O,则/ BOC的度数是（）个，两个14、如图 4, / 1 + /2+/3+/4=15、如图；ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在 上钉上一根木条，现量得 AB=80 cm, BC=60 cm,CD=40 cm, AD=50 cm,试问所需的木条长度至少要多长？16、图 1-4-27,已知在 ABC 中，AB=AC , / A

10、=40 / ABC的平分线 BD交AC于D.求：/ ADB和/ CDB的度数.18。已知等腰三角形的周长是25, 一腰上的中线把三角形分成两三角形的周长的差是 4。求等腰三角形各边的长。23.、如图，BE CD相交于点 A, CF为/BCD的平分线，EF为/ BED的平分线。试探求/ F与/ B、/D 之间的关系，并说明理由。例1、填空:(6)正二十边形的每个内角都等于 。(7) 一个多边形的内角和为1800° ,则它的边数为。(8) n多边形的每一个外角是 36° ,则n是。(9)多边形的每一个内角都等于150° ,则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。(

11、10)如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的内角和是2160。，那么原来的多边形的边数是 O(11) 一多边形除一内角外，其余各内角之和为25700 ,则这个内角等于。与三角形有关的线段三角形的基本概念:三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性.三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角.在同一个三角形内，大边对大角.三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.三角形的分类：直角三角形：三角形中有一个角是直角三角形（按角分）斜二角形J锐角三角形：三角形中三个角都是锐角 禾'一

12、 ''f屯角三角形：三角形中有一个角是钝角不等边三角形：三边都不相等的三角形三角形（按边分）生丽一个什底边和腰不相等白等腰三角形：有两条边相等的三角形 等腰二角形i等边三角形（正三角形）：有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）.与三角形相关的边三角形中的三种重要线段三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且

13、它一定在三角形 内部.三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内 部.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心.锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，直角三角形有两条高分别与两条直角边重合.反之也成立.画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足

14、的线段就是该边的高.三角形三条边的关系三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边.三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边.即 a、b、c三条线段可组成三角形=bc <a<b+c=两条较小的线段之和大于最大的线段.注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形.三角形的周长小于13,且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（A.2个B.3个C.4个D.5个、为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离

15、如图所示（距离单位：公里）,则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5三、下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（A.3 , 8,4B.4, 9,6)C.15, 20, 8为估计池塘两岸 A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m, PB=12m,那么AB间的距离不可能是（）A.5mC.20mB.15mD.28m四、如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形, 依次类推，则第6个图中共有三角形 个.图3图1五、已知三角形的两边为 8、10,求第三边的范围，求周长的范围.六

16、、下列长度的三条线段能组成三角形的是()5 cm , 9 cmC. 5cm , 8cm , 15cmD. 6cm ,8 cm , 9 cm11、已知三角形的三边长分别为4、5、x,则x不可能是()A. 3B. 5C. 7D.14、已知三角形中两边长为 2和7,(1)若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 .(2)若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为 .15、有三条线段，其中两条线段的长为3和5 ,第三条线段的长为 x,若这三条线段不能构成三角形,则x的取值范围是16、已知AABC有两边长为a、b,其中a<b,则其周长l 一定满足().A . 2b <l <2(a+b)B ,

17、 2a <l <2bC, a <l <a+bD , a<l<2a+b17、a、b、c为三角形的三边长，化简|a bc+bc a +ca b ,若此三角形周长为11,求上面 式子的值.18、下列长度的线段能否组成三角形:a2+3、a2+4、a2+7(a#0)；21、周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x,且x满足不等式lx1>2,这样的三角形有个.3x <2722、如图，在MBC中取一点P，使CP =CB，求证：AB >AP ,已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形, 求证：AB AC BP PQ QC多边形的内

18、角和与外角和1 .n边形的内角和=度，外角和=度。2 .从n边形（n>3）的一个顶点出发，可以画 条对角线，这些对角线把n边形分成 三角 形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和 。.3 .如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是 边形。4 .如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是 边形。5 .若n边形的每个内角都是 150。，则n=。6 . 一个多边形的每个外角都是 36。，这个多边形是 边形。7 .如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是 度，其内角和等于 度。8 .若一个多边形的内角和是 1

19、800。，则这个多边形的边数是 。9 .若一个多边形的边数增加1 ,则它的内角和（）.A.不变B.增加1C.增加180° D.增加360°A .增加B .减少 C .不变D .不能确定10 .当一个多边形的边数增加时，其外角和（）11 .某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（）A.180 °B.540°C.1900°D.1080°12 .分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1 ）试写出用 n边形的边数n表示对角线总条数S的式子： 。（2）从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线，十五边形共

20、有 条对角线:（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数。13 .n边形的内角和等于 度。任意多边形的外角和等于 度。14 . 一个多边形的外角和是它的内角和的4 ,这个多边形是 边形。15 .如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于 度，每个外角都等于 度。16 .若多边形的内角和是 1080° ,则这个多边形是 边形。17 .如果一个多边形的内角和是720° ,那么这个多边形的对角线的条数是（）A.6 B .9 C.14 D .2018 .如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是（）A .nB .2n-2C .2n

21、D .2n+219 .一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和是2520。，那么原多边形的边数是（）A .13B .14 C .15D .13 或 1520 .若两个多边形的边数之比为1 : 2,两个多边形的内角和之和为1440° ,求这两个多边形的边数。21 .判断：外角和等于内角和的多边形一定是四边形。（）22 .一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是（）A.四边形B.六边形C .八边形D .十边形23 .一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120。，则这个角的度数是（）A .60 °B .80 °C .100 °D

22、.120 °24 .如果一个多边形的内角和等于18000 ,则这个多边形是 边形；如果一个n边形每一个内角都是135° ,则=n ;如果一个n边形每一个外角都是36° ,则=n 。25 .某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z,111_ +_ +_求x y z的值。多边形及镶嵌同步练习1 .n边形所有对角线的条数是 （）A. n（n/）B. n。C. n（n 3 D. n（n4） 2222 .如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（）A.k B.2k+1C.2k+2D.2k-23 .若把一个多边形的顶点

23、数增加一倍，它的内角和是2520°,那么原多边形的顶点数为（）A.8B.9C.6D.104 .下列命题中，正确的有（）没有对角线的多边形只有三角形内角和小于外角和的多边形只有三角形边数最少的多边形是三角形三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和A.0个B.1个C.2个D.3个5 .某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是A 正方形 B 正六边形 C正八边形D 正十二边形4、C6 .某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）.A 正方形 B 矩形C正八边形D正六边形7