《空间向量与立体几何小结》导学案

1、数学迭修2-1 編V SX-2011-009撰稿：魏华审核：高二数学组班级：组别：组需:空间向量与立体几何小结导学案姓务【学习目标】(1) 熟练掌握空间向量的四种运算(包括坐标形式)(2) 能灵活选择向量法、坐标法解决立体几何问题。【S点难点】直点：利用向虽解决立体几何问题难点：法向量的确定，角的转化【学法指导】1. 空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法 则以及相关的运算律仍然成立.空间向虽的数量积运算、共线向量左理、共面向量宦理都是 平面向量在空间中的推广，空间向S基本立理则是向量由二维到三维的推广.2. a-h=oa丄/是数形结合的纽带之一，这是运用

2、空间向量研究线线、线而、而面垂直 的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题.3. 公式cos (a, h)是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以|4|.|"|求两异而直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范圉上的区別)， 再结合平而的法向量，可以求直线与平而所成的角和二而角等.4. 直线的方向向量与平而的法向量是用来描述空间中直线和平而的相对位置的重要概念， 通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以来确左直线与直线、宜线与平而、平而与平面 等的位置关系以及有关的计算问题.【学习过程】一:知识梳理1. 用空间向;g判断空间中的

3、位置关系的常用方法：(1) 线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向S.(2) 线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即&丄2a.“0.(3) 线而平行 证明直线的方向向:g与平而的法向S垂直： 证明可在平面内找到一个向量与直线方向向疑是共线向量， 利用共而向量宦理，即证明可在平而内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4) 线而垂直 证明直线方向向量与平而法向量平行：利用线而垂直的判左定理转化为线线垂直问题.(5) 面而平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题.(6) 面而垂直证明两个平面的法向量互相垂

4、宜：转化为线面垂直、线线垂直问题2. 运用空间向虽求空间角(1) 求两异面直线所成角利用公式COS (rt. h)=上丄，但务必注意两异而直线所成角的范围是(0, y ,I a II hl/故实质上应有：cos 0 = I cos (a , b )|.求线而角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影宜线的方向向量，通过数量积求出直 线与平而所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹 角杖即可求出直线与平面所成的角B其关系是sin 0 =|cosc|>|.求二而角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平而角的左义，在两个而内先求出打棱垂 直的两条

5、直线对应的方向向量，然后求岀这两个方向向;g的夹角，由此可求出二面角的大小: 另一种方法是转化为求二而角的两个而的法向量的夹角，它与二而角的大小相等或互补.3. 运用空间向虽求空间距离空间中的外种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离.(1) 点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模.(2) 点与而的距离点与面距离的求解步骤是：求出该平面的一个法向S;求出从该点出发的平而的任一条斜线段对应的向量：求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离.(3) 两异而直线的距离转化为点与面的距离来求解。问题一：空间非零向量方

6、、h. a-h =a/h存在实数入使问題=；设d =(ch，02，6)5 =(bi» £>2* bj,则2) cosh )=(1) a-h =. I a I =(3) a -Lh O (4) a b0问题三：进行空间向量的线性运算，首先要选取适当的基底，选取基底的一般原则是什么？二:题型探究-、空间向*的概念与计算空间向*中的所有概念都是严密、精练、准确的。空间向*有关概念的辨析题往往改变、 缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况，所以对基本概念的理解要做到全面、 准确、深入.例1给出下列命题： 若则必有C重合，万与27重合，AB与CD为同一线段; 若a -

7、b<0. <a, b>是钝角： 若a是直线2的方向向量，则a(人eR)也是2的方向向量: 非零向量a, b, c满足a与b, b与c, c与a都是共而向量，则a, b, c必共面. 其中错误命题的个数是()A. 1 B. 2C. 3 D. 4解析错误，如在正方体ABCDABCn中，AB=a5：.但线段AB与AR不重合：错a.误，a - b<0 HP cos (a. b) <0=>y«a, b>W n ,而钝角的取值范用是(守，n)；错误, 当人=0时，a=0不能作为直线2的方向向量：错误，平行六面体ABCD扎BCD,中令AB=a AD=b A

8、Ai=c则它们两两共而但显然AB, AA、是不共面的.二、空间向*的线性运算向*共线与向*共面的概念，共线向*定理与共面向*定理，是解决向*问题和用向*解 决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向*共面、线面平行 等等都需要运用这两个基本原理.例2已知非零向M©1, e；不共线，如果AS=ei+e：. AC=2ei+8e：，A5=3®3s求证:A、B. C、D 共而证明 令人(01+o?) + " (26+8©2)+ "(36362)=0,则(人+ 2+ 3 )01 + (人+ 8 “一3 少)©2=0人=一5是

9、苴中一组解，则“ =1A、B、C、D 共而.问鬆0：已知空间四边形0ABC,队N分别是对边0A、BC的中点，点G在线段MX上,MG看=2,设65=x6A+y丽+zX,则X、八2的值分别是D111B x=-, y=3> =6八111C x=y y=g，z=2h111D x=m y=3* z=§O三、利用空间向解决平行与垂亶问题利用向可以解决空间中的平行与垂直关系，是常见的賣点题型，有些问题中的线面平行 与垂直关系使用向量会变得很简捷，将几何证明与计算转化为纯代数运算，也使问题得以 简化*M 3如图，长方体ABCDAbCD中，E, F分别是而对角线BD, A：B上的点，且D

10、3;= 2EB：, BF=2FAl(1) 求证：宜线EFAS(2) 若EF是两异而直线BJX, AB的公垂线，求证：该长方体为正方体.解析 证明：以DA, DC, DD二所在的宜线分别为X轴、y轴、Z轴建立如上图所示的空间直角坐标系.设DA=a, DC=b, DD. = c ,则得下列各点的坐标A (a, 0.0), Ci(0. b. c), E(.竽，c). F(a.号，爭.从而FE=(,),ACi= (bt c),AFE= 疋又FE卜jAG不共线，所以直线EFAG(2) VDi(0, 0. c), Bl (at b, c)» At (a, 0» c), B(a»

11、; b,0)./-DiB： (3f b, 0), AqB=(,EF是两异面直线BD，AjB的公垂线,re 隠=0,flT(a, bt c) (a. b, 0) =00,FE a5=0.化简得§(a, b, c) (0, bt c) =0.有着相a, 0), M(*, Ot 导)，A-COS豆=所以该长方体为正方体.四、利用空间向:求角度与距K问题利用向求空间中的夹角及距离问题是高考的重点.解题的关键是会找直线的方向向*及 平面的法向量，并用它们表示空间中的角及距离，所有空间距离问题用向*求时， 同的表现形式.应加强理解与掌握，求角时，要弄漬向量夹角与所求角的关系.例4如图所示，己知ABCD是正方形，过A作AP丄平而ABCD,.AP=AB=a, M, N分别为BP、AC的中点.求证MN丄CD(2)求二而角M-BN-C的大小的余弦值-解析(1)证明：建立如图所示的空间宜角坐标系，则A(0, 0, 0),B(a, 0, 0), D(0, a, 0), P(0, 0, a), C(a,N(U，0) 总=(0 寻一釦 S=( a, 0,0),董 *3=0, MX 丄 CD.解:豆=(一歩一刖a)侃=伶刖0),血豆= 显然，二而角M-BN-C