因式分解知识点总结及巩固练习

1、知识梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式T几个整式的积1 11例： 一ax+ -bx=-x(a + b)333因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法:(1) 提公因式法: 定义：如果多项式的各项有 公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数一一取各项系数的最大公约数 字母一一取各项都含有的字母指数一一取相同字母的最低次幕12、-8、6，它们的最大公

2、约例：12a3b3c-8a3b2c3 +6a4b2c2 的公因式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是数为2；字母部分a'b'c, ab c3,a b c 2都含有因式a3b2c，故多项式的公因式是 提公因式的步骤 第一步：找出公因式;第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1：把 12a2b 18ab2 -24aV 分解因式.2233解：12ab18ab -24a b= 6ab(2a

3、-3b-4a2b2)例2：把多项式3(x-4) +x(4-x)分解因式解析：由于4x = (X4)，多项式3(x 4)+x(4 X)可以变形为3(x 4) x(x 4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(X-4),所以我们可以提取公因式(X-4 )后,再将多项式写成积的形式 解: 3(x 4) + x(4 X)= 3(x-4) -x(x-4)= (3-x)(x-4)2例3：把多项式-X +2x分解因式解: -X2 +2x = -(x2 -2x) =-x(x-2)(2) 运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方 法叫做运用公式法。a. 逆用平方差公式

4、：a2 -b2 =(a+b)(a-b)b. 逆用完全平方公式：a2 ±2ab + b2 = (a ±b)2c. 逆用立方和公式：a3 +b3 =(a + b)(a2 -ab + b2)(拓展)d. 逆用立方差公式：a3 -b3 =(a -b)(a2 +ab + b2)(拓展) 注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 选择使用公式的方法： 主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。2例1:因式分解a -14a+49解: a2 T4a +49=(a7)2例 2：因式分解 a2 + 2a(b+c)+(b+c)22 2

5、 2解：a + 2a(b+c)+(b+c) =(a +b+c)(3) 分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解;例：把多项式ab-a+b-1分解因式解：ab-a +b-1 = (ab-a) +(b-1) = a(b-1) +(b-1)=(a + 1)(b-1)将多项式分组后能运用公式进行因式分解例：将多项式a2-2ab-1 +b2因式分解2 2解: a -2ab -1 +b= (a2 -2ab+b2) -1 =(a -b)2 -1 =(a-b+1)(a-b -1)2(4)十字相乘法(形如x +(p +q)x + pq=(x + p)(x +q)形式的多项式，可以考虑运用此种方法)

6、方法：常数项拆成两个因数 p禾口 q，这两数的和 p + q为一次项系数2X +(p +q)x + pq22X +(P +q)x + pq =(x + p)(x + q)例：分解因式X2 X 30分解因式x2+52x + 100补充点详解补充点详解我们可以将-30分解成px q的形式,我们可以将100分解成px q的形式,使 p+q=-1, P x q=-30,我们就有 p=-6,使 P+q=52, p x q=100,我们就有 p=2,q=5 或 q=-6 ,p=5。q=50或 q=2,p=50。所以将多项式 X2 + (p +q)x + pq可以分2所以将多项式X中(P + q)x+ pq

7、可解为(x+ p)(x +q)以分解为(X + p)(x +q)-62x -x 30 =(x 6)(x +5)502x +52x+100 =(x + 50)(x + 2)3. 因式分解的一般步骤:如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是“一提”、“二四项或四项以上的多项式,通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为: 套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解,若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解,此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

8、例题解析提公因式法 提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面 确定公因式的方法: 系数一一取多项式各项系数的最大公约数;字母(或多项式因式)一一取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幕.【例1】分解因式:【巩固】【例2】【巩固】求代数式的值：(3x 2) (2x+l)(3x2)(2x+l) +x(2x+1)(2 3x)，其中2X =一315a (a -b字+ -10ab(b -a亍(n为正整数)4a2Xbm-6an电bmr m、n为大于1的自然数)分解因式：(X-y)2n*-(x-z)(x-y)2n+2(y-x)2n (y-z)， n 为正整数.1先化简再求值，y(

9、x+y)+(x+ y)(x-y)-x2，其中 x=-2， y =-【例3】2 2221已知：b+c-a =-2，求一a(a -b -C)+b(-c-a +b) +c(2b+2c-2a)的值.3 3333【巩固】分解因式：x3(x +y -z)(y + z a) + xz(z-x- y) + x2y(z - x-y)(x -z - a).公式法平方差公式：a2 -b2 =(a +b)(a -b)公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反;每一项都可以化成某个数或式的平方形式; 右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积完全平方公式：a2 + 2ab +b2 =(a +b)2a2 2ab +b2 =(a -b)2左边相当于一个二次三项式;左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式; 左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负; 右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和